数学微专题27之20-阿波罗尼斯圆专题经典讲解

阿波罗尼斯圆专题知识点回顾：轨迹为圆的几何条件：一、一动点到一定点的距离不变，此动点的轨迹为圆；二、定角对定长，也叫“隐形圆”注意：1、定长表示线段的长度和位置不变；2、定角为90°，角的顶点的轨迹为圆，定角不为90°，角的顶点的轨迹为一段圆弧；阿氏圆定义：已知平面两个定点A、B到一动点P的比值为一定值k（k≠1），那么这个动点P的轨迹是一个圆。注意：1、此圆与直线AB交于点E和点F，点E以定比内分线段AB,点F以定比外分线段AB;2、k=1,此动点在定线段的垂直平分线上。图文：,且解题思路：1、连接动点至圆心，即连接OP，再连接其中一个定点于圆心，即连接OB,为了确定另一个定点也在直线OB上;2、计算OB和OP的长度，确定比值=K;3、在OB上取一点，A，使==K,得三角形相似即△POA∽△BOP；4、根据△POA∽△BOP，可得PA=K·PB,可将PB和PA进行转换。阿氏圆总结：遇到型的最值问题，要将系数为K的线段转化为系数为1的线段，即要考虑。求可转化为PA+PC.图1图2图3关键在于确定点C的位置，当点A、P、C三点共线时，PA+PC.最小，即PA+k·PB值最小。（提示：=（PA+PB）,所以也可以将PA转化为系数为1的线段。）相关例题：例1、如图，点A、B在圆O上，且OA=OB=6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且0D=4，动点P在圆O上，则2PC+PD的最小值为。解题思路：连接OP,圆上一动点P，OA上有一定点C，由阿氏圆可得，直线OA上肯定存在另一定点E，使得为定值。因为题目中出现了2PC，所以=将2PC转化为PE.由△POC∽△EOP可得=，OE=12.求2PC+PD的最小值，即求PE+PD最小值，当P、E。D三点共线时，PE+PD最小值为ED=。证明：此题套用“阿氏圆”模型。还用到两点之间线段最短。变式：1、如何求PC+PD的最小值？提示：可提取，即PC+PD=（2PC+PD）。2、如何求PC+PD的最小值？解题思路：关键将PD进行转化，定点E肯定在直线OD上，=,即PD=PE.由△POD∽△BOP。可得=OE=9,当C、P。E三点共线时，PC+PE最小值为EC=。例2、已知∠ACB=90°，CB=4,CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，求的最小值为求的最小值为解题思路：（1）连接PC，将BP转化为系数为1的线段，点P为圆上的动点，B是定点，那么直线CB上肯定存在另外一定点D,使得为定值，由△PCD∽△BCP可确定点D的位置，即CD=1,即BP=PD.求的最小值，即求AP+PD的最小值。当A、P。D三点共线时，AP+PD最小值为AD=。（2）连接PC，将AP转化为系数为1的线段，点P为圆上的动点，A是定点，那么直线CA上肯定存在另外一定点E,使得为定值，由△PCE∽△ACP可确定点E的位置，即CE=,即AP=PE.求的最小值,即求EP+PB的最小值。当E、P。B三点共线时，EP+PB最小值为EB=。例3、如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+PC的最小值为5；PD+4PC的最小值为．解题思路：连接PB，点P为圆上的动点，若将点C看作定点，则另外一个定点E在BC上。PD+PC最小值为DE=5(其中BE=)连接PB，点P为圆上的动点，若将点D看作定点，则另外一个定点在BD上，PD+4PC==,所以PD+4PC最小值为4EC=(其中BE=)例4、如图，AB为⊙O的直径，AB=2，点C与点D在AB的同侧，且AD⊥AB，BC⊥AB，AD=1，BC=3,点P是⊙O上的一动点，则PD+PC的最小值为解题思路：连接PO,点P为圆上的动点,将PD转化为系数为1的线段,点D是定点，则OD上肯定存在另外一定点E。则PD+PC的最小值为CE=(其中OE=.)例5、如图，在平面直角坐标系中，点A(4,0),B(4，4)，点在半径为2的圆O上运动，则的最小值为5

解题思路：取OE得中点D，由阿氏圆可得：,所以最小值为(用两点坐标公式可求的BD长)BD=5用了两次阿氏圆：

例6、正方形ABCD的边长为4，AE=DF,AN=1，求的最小值？

提示：,由阿氏圆可得：,,所以,最小值为(过点D’作AB的垂线，运动勾股定理可求得的长)其中，数学微专题27之1-阿波罗尼斯圆专题经典讲解数学微专题27之1-微专题全套27讲见：数学微专题27之1-高考热点之证明数列不等式数学微专题27之2-高考数学微专题立体几何中关于折叠的所有问题数学微专题27之3-关于三角函数最大值问题数学微专题27之4-函数放缩公式集锦数学微专题27之5-函数视角下数列的单调性与最值数学微专题27之6-衡水中学内部数学错题集数学微专题27之7-极化恒等式在向量问题中的应用数学微专题27之8-解析策略-解析几何中的数与形数学微专题27之9-精准培优专练圆锥曲线离心率数学微专题27之10-解析几何中斜率之积为定值的问题探究数学微专题27之11-立体几何求角的三角函数值（非空间向量）数学微专题27之12-平面解析几何：易错点与二级结论数学微专题27之13-求数列通项公式的11种方法数学微专题27之14-三次函数的图像与性质数学微专题27之15-数列求和的8种常用方法(最全)数学微专题27之16-数学手册数学微专题27之17-双变量的“任意性”与“存在性”五种题型的解题方法数学微专题27之18-同构思想在指对型函数中的应用数学微专题27之19-外接球的几种求法数学微专题27之20-阿波罗尼斯圆专题经典讲解数学微专题27之21-二轮复习专题