4.2.2等差数列前n项和第1课时+【高效备课精讲精研】高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

4.2.2等差数列的前n项和

（第1课时）人教A版（2019）选择性必修第二册新知导入据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：1+2+3+4+…+100=？其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=10150=5050高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3，…，n，…

①前100项的和的问题.新知讲解思考你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗？你能从中得到求数列①的前n项和的方法吗？答：高斯在计算中利用了这一特殊关系即上节课例5性质的应用

若{}是等差数列，,且.则

1，2，3，…，n，…

①等差数列中，下标和相等的两项和相等新知讲解将上述方法推广到一般，可以得到：当n是偶数时，有

于是有

当n是奇数时，有

首尾配对要分奇、偶数讨论所以，对于任意正整数n，都有

合作探究思考

在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦.能否设法避免分类讨论？如果对公式

作变形，可得

它相当于两个相加，而结果变成n个（n+1）相加.受此启发，我们得到下面的方法：合作探究

将上述两式相加，可得

所以

倒序相加法可避免分类讨论合作探究探究上述方法的妙处在哪里

？观察左图，从几何上体会倒序求和的方法.

将两式相加，得到n个相同的数（即n+1）相加，从而把不同数的求和转化为n个相同的数求和.合作探究对于等差数列

，因为探究

由上述方法得到启示，我们用两种方式表示

①

②①+②,得

新知讲解由此得到等差数列的前n项和公式(1)把等差数列的通项公式代入公式（1），可得(2)合作探究等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式

合作探究思考1.等差数列前n项和的公式（1）和公式（2）有什么共同点和不同点：提示：

不同点是

还需知道，

还需知道d，

解题时根据已知条件决定选用哪个公式.注：①两个公式一共涉及

五个量.通常已知其中三个，可求得其余两个，而且方法就是解方程（组），这也是等差数列的基本问题形式之一

②当已知首项，末项，项数n时，用公式.用此公式时，有时要结合等差数列的性质，如,从而有

合作探究思考2．等差数列中，

与

相等吗？表示什么意义？提示：相等，表示等差数列前n项的平均数.3.不从公式（1）出发，你能用其他方法得到公式（2）吗？提示：从等差数列前n项和的定义及通项公式入手

合作探究例6已知数列是等差数列.（1）若，，求

；（2）若，，求；（3）若，,，求n.分析：

（3）已知公式

中的，合作探究解：（1）若，，求

；（2）若，，求；（1）因为，，根据公式，可得.（2）因为，，所以

根据公式，可得

合作探究（3）若，,，求n.把，,代入得整理，得解得

n=12，或n=-5（舍去）所以

n=12解：解：合作探究例7已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？分析：把已知条件代入等差数列前n项和的公式（2）后，可得到两个关于的二元一次方程，解解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得.解：由题意，知，.把它们代入公式，得

解方程组，得

所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差.合作探究探究

为常数，且

观察数列的特点，研究它是一个怎样的数列，并证明你的结论.提示：观察C列，显然，是等差数列。合作探究思考：

为常数，且

那么这个数列一定是等差数列吗？若是，则它的首项与公差分别是多少？分析：

当n=1时，又∵当n=1时，∴

当且仅当r=0时，满足故只有当r=0时，该数列才是等差数列，此时，首项，公差当

时，不满足，此时，数列不是等差数列.合作探究结论：数列是等差数列(p、q为常数)课堂练习1（改编例7）已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和吗？解法1：由题意知，.∴

解得:于是

得∴解法2：设

则得：

∴课堂练习2在等差数列中，（1）已知，，求；（2）已知，求.解：（1）法1：∵，

∴，得，

∴法2：

∴

即∴，

∴课堂练习2在等差数列中，（2）已知，求.（2）法1：∵，∴

∴法2:∵∴

解：课堂练习3已知是数列的前n项和，根据条件求.(1);(2).解：（1）当n＝1时，，当

时，又

不适合上式，所以课堂练习3已知是数列的前n项和，根据条件求.(1);(2).解：（2）当n＝1时，，

当

时，

显然，

适合上式.所以.注:(1)已知求，其方法是

，这里常常因为忽略条件“”而出错

课堂练习4若等差数列的前n项和为，则该数列的公差为________．解法1：

当n＝1时满足，所以d＝2A.解法