数学美的客观因素对安岛直圆术的影响

数学美的客观因素对安岛直圆术的影响

在计算中，累圆法最初是在宋永良碧（1744）生活的时代开始的。累圆术是指直线与圆之间,或圆与圆之间,逐次的内接或外切的问题。到了关流四传安岛直圆(AjimaNaonobu,1732～1798)初次系统的给出了各种“累圆”情况的方程式,可以说安氏是和算累圆术研究集大成者,他的代表著作有《廉术变换》(天明4年1784)、《圆内容累圆术》(天明4年1784)、《线上累圆术》(宽政2年1790)、《圆内容累圆术后编》(宽政3年1791)、《累圆术起源》(成书时间不详)等。安岛直圆通称万藏,字伯规,号南山。安岛初学于中西流算学,后学于关流三传山路主住(YamajiNushisumi,1704～1773),受关流“皆传”。本文通过对安氏“累圆术”方面工作的阐述,主要从数学美的视角,探讨数学家在创造过程中对称性、和谐性、简单性等美的客观因素对其研究的影响。1安氏的对称思想—累圆术的研究首先《廉术变换》。如图所示1,安氏构造了内、外两圆,且以轴线对称,主要讨论与外、内圆相切,相邻圆又互相相切,且已知外圆、内圆、某个圆的直径,以及矢(外圆和内圆的最大距离)的长度,递次求累圆的直径的方法。由原文可知:已知外圆O的直径为d,内圆O′的直径为d′,矢AB为c,地圆O2的直径为d2,求天圆O1的直径d1与人圆O3的直径d3。可推得方程:其中A=dd′+c(d-d′)-c2=(d-c)(d′+c),B=dd′+c2若设d1为x,(1)式变为:实际d1,d3是上述方程的两个根,此表达式与安岛所构造直观图形相呼应,关于根具有对称性,这成为后面推导过程的核心与出发点。通过以上的准备,可解决下面的问题。如图2所示,内、外圆之间容有甲、乙、丙、丁、……,黑圆与乙是反对侧圆。已知外圆径d,内圆径d′,矢c,甲圆径D1,求乙圆径D2,丙圆径D3,……这样利用(1式)逐次求出圆径。安氏经过讨论得到下面结论:原文称其为“基式”。通过把(1)式中的d1、d2换成D1、D2,就可求得D2。下面求丙圆直径D3,在“基式”中,把d3=D1,d2=D2,x=D3进行交换,即:-D1+D3{-1+2D1(d-d′)A+4dd′D1AD2-2D1D2}=0。其中丙的因数名为“丙率”:丙率=-1+2D1(d-d′)A+4dd′D1AD2-2D1D2此式叫做“第二基式”。即求出丙圆直径:D1丙率=D3。其中,令甲率=1,乙率=D1D2,则有4dd′A-1=因法,2D(d-d′)A=增率即:丙率=乙率×因法+增率-甲率若内圆径大于外圆径,增率变为负,则称为损率。由甲乙丙与乙丙丁的循环对称性,利用“第二基式”可得出:-D2+D4{-1+2D2(d-d′)A+4dd′D2AD3-2D2D3}=0此式称为“第三基式”。将此式乘以乙率,得-D1+D4{-乙率+增率+丙率×因法}=0其中:丁率=丙率×因法+增率-乙率即求出丁圆直径D1丁率=D4。这样继续下去,可求出D5,D6,……。此推导过程不仅显示了安氏的推理能力、计算水平,更主要的是体现了他对对称美的直觉把握,使得在代数运算与逻辑推理中表现出自然与和谐,为计算与推理带来了便捷。进而他对对称性进行了更深入的讨论,主要分为以下四种情况:(1)甲圆的直径等于矢:D1=c(如图3a);(2)甲圆与矢相切。(如图3b);(3)内圆比外圆大。(如图3c);其中当内圆径d′→∞时,内圆周成为直线。这就成为弓形内容累圆(如图3d)。(4)内圆与大圆相切:c=d-d′(如图3e)。在这一情况下,若外圆径无限增大(d→∞),则外圆变为直线,内圆,甲圆,乙圆,……成为与直线相切的累圆,即线上累圆问题(图3f)。在(3)与(4)情形中安氏提出内与外、有限与无限的对称关系,若外圆径无限增大(d→∞),则外圆变为直线;当内圆径d′→∞时,内圆周成为直线。其中结合了无穷思想,展现了安氏的高超的想象力与创造力。其次《圆内容累圆术》。《廉术变换》是讨论累圆术一般的场合以及特殊情况的变换,《圆内容累圆术》仍是特殊情况的讨论,即以对称思想为核心,详细的论述了甲圆的直径是矢和甲圆与矢相切的两种情况。第一甲圆的直径是矢,如图4所示。外圆直径为d,内圆直径为d,矢为c,且甲径=c,则把前面给出公式A=(d-c)(d′+c)可写成A=(d-D1)(d′+D1)其中D1=甲径。由增率μ=2D1(d-d′)A,因法=4dd′A-1,设4dd′A=k,则因法=k-2。又由“廉术变换”中对称形式的第一情况,乙率λ2=12(因法+增率)故丙率:λ3=乙率×因法+增率-甲率=k(λ2-1)+1。若设λ2-1=乙率-1=h可得,丙率λ3=hk+1丁率λ4=hk2-2hk+λ2戊率λ5=hk3-4hk+4hk+1……以上属于相对一般的场合,下面是特殊情况的讨论。从甲圆为起点的累圆,一直到3,4,5,……,m个圆。(1)三圆场合(如图5所示),因丙圆和乙圆相等,所以丙率λ3=乙率λ2。故:λ2=hk+1,即hk=λ2-1=h,得到k-1=0。(2)四圆场合(如图6所示),因丁圆和乙圆相等,所以丁率λ4=乙率λ2。故hk2-2hk+λ2=λ2,得到k-2=0。(3)五圆场合(如图7所示),因戊圆和乙圆相等,丙圆和丁圆相等,则丁率λ4=丙率λ3,即hk2-2hk+λ2=hk+1,故k2-3k+1=0。(4)六圆场合,k2-4k+3=0。(5)七圆场合,k3-5k2+6k-1=0。(6)八圆场合,k3-6k2+10k-4=0。按同样的对称思想,作到16个圆场合的方程式,其中找到系数存在一定的排列规律。这样,已知甲径D1通过式4dd′:(d-D1)(d′-D1)=k求出k。第二甲圆与矢相切,如图3b所示。令4dd′:A=k,因法+增率=l,且乙率λ2=h-1,故l-2=江h。由此:丙率λ3=hk-h+1丁率λ4=hk2-3hk+2h+1戊率λ5=hk3-5hk2+7hk-3h+λ2……依此得到三圆、四圆、五圆、……的场合。(1)三圆场合λ3=λ1=1,k=1。(2)四圆场合λ3=λ2,k=2。(3)五圆场合λ4=λ2,k2-3k+1=0。这样也可找到系数排列的规律,从中看到了许多有趣的事情,比如和算家称作衰垛的级数。而在表达式的系数排列中所具有的规律与和谐正是由对称思想的内涵所引出的。之后,安氏在《圆内容累圆术后编》中讨论环圆问题,此问题的代数推理起点为“廉术变换”中的公式(1),从中找到一些规律性的结论。还有《线上累圆术》。线上累圆问题是由《廉术变换》中的外圆周无限延伸成一直线而演变来的,属于累圆术中的特殊情况。原文从下面的问题开始,如图11所示,高是指上圆最高点到基线的距离。由廉术变换可知,基线是外圆的圆周,上圆即内圆,高和上圆径的差就是矢。设高为h,上圆径d′,当d→∞时,因法=4dd′(d-c)(d′+c)→4d′(d′+c)=4d′h增率=2d1(d-d′)(d-c)(d′+c)→2d1h求得到以下结果,设因法=4d′h-2,甲率=hd′则有:乙率=hd′=√4d′(d+d1-h)+2d′d1+1-甲率丙率=乙率×因法+2-甲率丁率=丙率×因法+2-乙率……d1=h甲率,d2=h乙率,d3=h丙率‚⋯⋯安氏作为特别场合,给出以下变化图形。大圆、小圆、中圆如图12a所示,小圆为上圆,大、中圆为甲、乙圆。如图12b所示,小圆为上圆,中、大圆为丙、丁圆。如图12c,小圆为上圆,中、大圆为丁、戊圆。如图12d,小圆为上圆,中、大圆为戊、己圆。这里给出了上与下,有与无,内与外,大与小等多种对称的组合。安氏进而引出“累圆术”在方法上的起源与核心,即“四圆傍斜术”,此研究体现在《累圆术起源》中。最后《累圆术起源》。安氏在此书中利用了傍斜术。所谓傍斜,是指利用两个圆的切线研究几何图形,主要包括三圆傍斜术、四圆傍斜术等公式。安氏始创的优秀方法,被后人称为“傍斜术”,和算中特有的方法。如图13所示,安氏给出傍斜公式。设元、亨、利、贞圆的直径为d1,d2,d3,d4,傍斜幂为x,推得由此求得傍斜。安氏利用这个结果解出下面5种问题。(1)大径云,中径云,小径云,问各径。(2)大径云,小径云,甲径云,问累円径。(3)今有如图14所示,大小円相交,罅容累円若干個,假画六円,只云,大円矩若干,问累円径几何。(4)大径云,小径云,问累円径。(5)如图15所示,问累円。2以对称、描述自然、思想为中心的研究通过前面对安氏在累圆术中对称思想的研究与探讨,反映出和算的风格,同时注意到对称思想在安氏创造过程中所起的关键作用。对称的即意味着是非常匀称协调的;而对称性则表示结合成整体的好几个部分之间所具有的那种和谐性。安氏在累圆术的创造过程中,构造出许多漂亮的图形,这些图形虽然实用价值不大,但它体现的是安氏的一种创造追求,即对数学美的追求,这也是安氏对累圆术进行研究的主要动因。从上面的讨论可知,安氏对对称美的认识主要表现为以下两个方面。第一、以对称性为创造的指导思想。从直观的几何图形的构造开始,安氏所认为的对称是一种匀称与协调,而对称性则表示结合成整体的左与右、上与下、内与外等几个部分之间所具有的某种和谐性。在此思想指导下,圆与圆之间的对称表现在代数表达式上,是一种和谐与规律,比如《廉术变换》中对第一、二、三基式的推导,“傍斜术”中给出的傍斜公式的核心地位等,都是这一方面的体现。第二、以结论或结果的统一性为完美结局。从部分与部分、部分与整体之间的和谐一致的角度看,统一性与对称性是相同的。从安氏的研究可知,他认识到了数和形是有机相联的整体,而不能割裂。在《廉术变换》中通过构造出的对称图形而建立起的代数式1,作为数量推理模式的核心,即与对称图形作为图形上的中心相对应,图有图的中心,量有量的核心,两者之间又是相互关联,互为表里。安氏利用两个圆的共同切线来研究几何图形的方法,即傍斜术。此方法具有更加广泛的应用,日本数学家曾给予此种方法很高的评价,称其可