基于超拉普拉斯模型的图像去模糊算法

基于超拉普拉斯模型的图像去模糊算法

运动模糊是光学图像中普遍存在的现象。如何去除运动模糊,提高相机成像的质量是图像处理领域中重要的研究课题。图像复原过程并非简单可逆的复原过程,目前仍然无法用统一的数学模型来精确描述图像模糊过程。图像运动模糊复原的主要思路是尽量获取运动信息,并最大可能地估计得到清晰的图像,即运动去模糊(motiondeblurring)。基于自然图像统计信息的图像复原研究是近年来的研究热点。基于贝叶斯理论的概率统计分析方法得到的复原结果一般优于其他复原方法。该方法需要事前获得或估计一个关于未知量的先验知识。一般有两种方式获取先验知识:a)通过增加相机以外的硬件设备获取拍摄场景的某种先验知识;b)通过对相似场景或图像进行自然统计得到的先验知识。前者需要额外硬件设备条件,实现起来相对复杂,但得到的先验知识更接近真实,计算相对简单;后者更符合一般性,但精度相对较低,计算更复杂。本文算法采用的是b)。是否获得一个好的关于清晰图像的先验知识是采用贝叶斯理论复原法成败的关键。经过多年的研究表明,一幅清晰自然图像的梯度服从长尾分布。这一结论是目前基于概率统计分析图像复原的重要依据。如何用数学模型进一步描述这种长尾分布,目前已有许多研究。常见的有高斯分布模型、混合高斯分布模型(Gaussianscalemixtures,GSM)、拉普拉斯模型等。本文综合分析了近年来相关研究的优缺点,采用了超拉普拉斯模型来描述这种长尾分布,并得到了效果较优的复原结果。1图像模糊性分析记y是观察到的模糊图像,x是待复原的清晰图像,k是点扩散函数,n是高斯白噪声,图像复原模型可以用以下的线性卷积表示:y=k⨂x+n(1)式(1)模型描述是个病态问题,原因是当点扩散函数k估计稍有偏差时,将导致复原结果发生很大的变化。假设点扩散函数k已知,以下将详细介绍本文图像运动模糊非盲反卷积的算法过程。基于贝叶斯理论的图像复原方法描述为p(x|y,k)∝p(y|x,k)p(x)(2)模糊图像的复原问题描述为求式(2)最大时所对应的x。似然函数可以通过噪声模型得到,其对数形式为logp(x|y,k)∝-λ‖k⨂x-y‖2(3)本文采用超拉普拉斯模型来描述清晰自然图像的长尾分布,其对数形式为logp(x)∝-∑i(|ᐁxi,1|α+|ᐁxi,2|α)(4)其中:ᐁxi,1和ᐁxi,2分别是水平和垂直方向的梯度。式(4)中当α=2时即为高斯型;当α=1时即为拉普拉斯型;当0<α<1时即为超拉普拉斯型。经过统计拟合,一般取α∈[0.5,0.8]。式(2)最大化p(x|y,k)等价于最小化能量函数-logp(x|y,k):上式一般是非凸函数(non-convex),其关键(ᐁxi,1,ᐁxi,2)是未知的。可以采用总变分法(totalvariation)展开上式,但是计算很复杂。一种折中的解决办法是使用交替迭代法,将分步独立优化的结果作为最小化的结果。为此,引入辅助变量Ψ=(Ψi,1,Ψi,2)将ᐁx=(ᐁxi,1,ᐁxi,2)从|·|α中分离出来,并把上式改写为其中:β描述了辅助变量Ψ与真实值ᐁx之间的差异,其值将在算法迭代过程中从小到大逐渐增加,以达到优化的目的。2分散和最大限度对式(5)使用交替迭代法分步独立最小化Ex和EΨ,并将最后的结果作为Ex,Ψ最小化的结果。实验证明这种方法是很有效的。2.1优化两者操作对于固定的Ψ,影响式(5)结果的只有一项,即ᐁx=(ᐁxi,1,ᐁxi,2),此时式(5)可以写成:上式包含有卷积操作,利用傅里叶变换转换到相应的频域进行,可以大大减少计算量。令F(·)和F-1(·)分别表示傅里叶变换和反傅里叶变换操作,结合上式可得:根据Plancherel理论,一个函数的平方之和等于其傅里叶变换后的平方和,即Ex·=EF(x)F(x)。因此可以通过最小化EF(x)来达到优化Ex的目的,即ˆx=F-1(argminF(x)EF(x))(6)令∂EF(x)/∂F(x)=0并解出F(ˆx):结合式(6)得到:ˆx=F-1(F(ˆx))(7)其中¯F(⋅)表示复数的共轭。式(7)就是分步独立优化ˆx的公式,将得到的结果ˆx作为已知量代入式(5)可以再进一步优化ˆΨ。2.2元三次方程根的求解把式(5)中x看做已知量,那么与ˆΨ无关的项可以去掉,得到优化结果:ˆΨ=argmin|Ψ|α+β(Ψ-ν)2(8)其中ν=∇ˆx。式(8)中α描述的是清晰图像梯度长尾分布的量,通常设为某一固定的常量。本文令α=0.5,并令式(8)的导数等于0,注意sign(Ψ)=sign(ν),整理后得到以下一元三次方程:Ψ3-2νΨ2+ν2Ψ-sign(ν)/16β2=0(9)关于一元三次方程根的详细求解不属于本文的研究范围。在实际的计算过程中有多种办法可以求解式(9)的根,如牛顿迭代法(Newton’smethod)。已知一元三次方程根R有三种情况:a)三个虚根;b)三个实根;c)两个虚根和一个实根。情况a)最终导致ˆΨ=0;情况b)c)需要把实根和Ψ=0重新代入式(8),并最终决定ˆΨ的选取。这中间需要考虑一个约束,即ν<Ψ<0(ν<0)或者0<Ψ<ν(0<ν)。整理后得到根的最终判别条件为:R>23ν,ν<0或R<23ν,ν>0(10)2.3求解算法的有效性式(7)由于使用了傅里叶变换和反傅里叶变换,使得计算量大大减少。算法的主要计算量在于一元三次方程的优化求解上。利用牛顿迭代法交替迭代可以求解,但是这种方法的收敛速度并不是最好。本文使用查询表法(lookuptable,LUT)。类似金字塔形状搜索求解方法,让β从1开始,每次增大βκ倍,到βmax=256结束。β每变化一次都作为新的常量代入式(8)重复迭代。整个过程由粗到细,计算速度很快,对于一幅中等大小的图像,其求解的速度可以降低到数秒内。式(9)的根可表示如下:3基于模糊核的复原算法将本文算法与经典的维纳滤波法和Richardson-Lucy迭代非线性复原法作比较。表1列举20组实验数据,从信噪比(SNR)和运行时间(cost-times)方面分别作客观对比。运行环境Pentium®4CPU3.0GHz,RAM1GB,使用中等大小图片。结果显示,本文算法能较大幅度提升信噪比,远优于维纳滤波法和Richardson_Lucy复原法,运行时间在数秒内完成。图2是三种算法的主观比较,用于复原的模糊核为真实的模糊核。结果显示,本文算法能较好地保持图像的清晰边缘信息,并有效地抑制了振铃效应。图3的实验考虑了噪声项的影响,分别加入了1%和2%的随机噪声。实验表明本文算法对噪声的抑制能力优于Richardson-Lucy迭代法和维纳滤波法。图像复原当中模糊核通常是未知的,当估计的模糊核与真实的模糊核存在微小差异时,式(1)所描述模型的病态性就凸显。尤其是维纳滤波法,其病态性严重影响了复原后的视觉效果。Richardson-Lucy算法复原的效果虽然比维纳滤波法好,但振铃现象同样明显;相比之下本文算法复原的结果要清晰很多,对振铃现象的抑制也较好,如图4所示。图4当估计的模糊核与真实的模糊核存在微小差异时,维纳滤波法和Richardson-Lucy迭代法会凸显式(1)的病态性;在同等条件下,本文算法能较好地抑制振铃。4优化算法与求解优化x本文引入了超拉普拉斯模型来描自然图像梯度统计信息的长尾分布特性,并作为待复原图像x的先验知识。结合贝叶斯概率统计理论给出了关于待复原图像x的优化函数。在优化过程中,采用了分离交替迭代方法,分别单独优化ˆx和辅助分离量ˆΨ。算法的计算关键在于优化辅助分离量ˆΨ时一元三次方程根的求解和确定上。本文