中考复习证明题

2016重庆中考复习---证明题【命题规律与趋势】分析重庆近8年真题发现，08~14年两问都为证明题考查4次，一问证明一问计算考查5次，15年A/B卷都加入一个拓展开放性的问题，有一定的难度，属于一种新题型。且该题位的证明计算题都涉及到作辅助线，即：过角平分线上一点作角两边的垂线；（2）有等腰三角形，作底边上的高、中线或是顶角角平分线；（3）有直角三角形，作斜边上的中线；（4）截长补短，构造特殊三角形或特殊四边形；（5）倍长中线【延长加倍中线】。同学们需掌握以上几种辅助线作法。预计2016年会延续15年的这种考查方式。1.如图，在△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，垂足为D，E是CB上一点，且CE=AC，EF⊥CD，垂足为F求证：AD=CF若G是AE的中点，连接GD、GF，求证：GD⊥GF2、在Rt△ABC中，∠BAC=90°,D为BC的中点，连接AD，E为AB上一点，过E作EF//BC交AD于F。求证：EF=AF若H为EC的中点，连接FH，DH，求证：DH⊥FH。3、如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上一点，连接DE、DF，且AE=AF，∠DAE=∠BAF。求证CE=CF若∠ABC=120°，点G是线段AF的中点，连接DG，EG，求证：DG⊥GE4、如图，在四边形ABCD中，AB//CD，F为BC中点，且AF⊥AD，E在CD上，满足AF=EF。求证：∠AFE+∠D=90°连接AE，证明AE⊥CE若AD=5，AF=6，求AE的长5、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，取BC中点D，连接AD，BE是∠ABC的角平分线交于AD于点E，在BC上取一点F,使得∠BFE=∠BAE，连接AF证明：AB=BF;求证：BE⊥AF证明：30°-∠EFA=∠EBD11.如图，在等腰中，，，为斜边延长线上一点,过点做的垂线交其延长线于点，在的延长线上取一点,使得=，连接.（1）若=2，=3，求的长度（2）为中点，连接，求证：.12.如图1，在△ABC中，AB=BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作▱APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC=∠AEP=α（0°＜α＜90°）．（1）求证：∠EAP=∠EPA；

（2）▱APCD是否为矩形？请说明理由；

（3）如图2，F为BC中点，连接FP，将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN（点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点）．猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论．

分析：（1）根据AB=BC可证∠CAB=∠ACB，则在△ABC与△AEP中，有两个角对应相等，根据三角形内角和定理，即可证得；（2）由（1）知∠EPA=∠EAP，则AC=DP，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明；（3）可以证明△EAM≌△EPN，从而得到EM=EN．解答：（1）证明：在△ABC和△AEP中，

∵∠ABC=∠AEP，∠BAC=∠EAP，∴∠ACB=∠APE，

在△ABC中，AB=BC，∴∠ACB=∠BAC，∴∠EPA=∠EAP．（2）解：▱APCD是矩形．理由如下：

∵四边形APCD是平行四边形，∴AC=2EA，PD=2EP，

∵由（1）知∠EPA=∠EAP，∴EA=EP，则AC=PD，∴▱APCD是矩形．（3）解：EM=EN．证明：∵EA=EP，∴∠EPA=0.5(180°−∠AEP)=0.5(180°−∠ABC)=90°-0.5α，

∴∠EAM=180°-∠EPA=180°-（90°-0.5α）=90°+0.5α，

由（2）知∠CPB=90°，F是BC的中点，∴FP=FB，∴∠FPB=∠ABC=α，

∴∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°-0.5α+α=90°+0.5α，∴∠EAM=∠EPN，

∵∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN，∴∠AEP=∠MEN，

∴∠AEP-∠AEN=∠MEN-∠AEN，即∠MEA=∠NEP，

在△EAM和△EPN中，∠EAM＝∠EPN,EA＝EP,∠MEA＝∠NEP∴△EAM≌△EPN（ASA），∴EM=EN．13.【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．【变式探究】如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD﹣PE=CF；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：【结论运用】如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且AD•CE=DE•BC，AB=dm，AD=3dm，BD=dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．15.如图1，在等腰中，，；在等腰中，，；点、分别在边、上，连接、，点是线段的中点，连接与交于点.若，，求的值.求证：.（3）把等腰绕点转至如图2位置，点是线段的中点，延长交于点，请问（2）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由.图2图2图1图1如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点（点P与点C不重合），连结BP，将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，连结AA1，射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F。（1）如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在____关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；

（2）如图2，设∠ABP=β，当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合，已知AB=4，设DP=x，△A1BB1的面积为S，求S关于x的函数关系式。解：（1）相似，

由题意得：∠APA1=∠BPB1=α，AP=A1P，BP=B1P

则∠PAA1=∠PBB1=

∵∠PBB1=∠EBF

∴∠PAE=∠EBF

又∵∠BEF=∠AEP

∴△BEF∽△AEP。

（2）存在，理由如下：

易得：△BEF∽△AEP

若要使得△BEF≌△AEP，只需要满足BE=AE即可

∴∠BAE=∠ABE

∵∠BAC=60°

∴∠BAE=

∵∠ABE=β，∠BAE=∠ABE

∴

即α=2β+60°。（3）连结BD，交A1B1于点G，

过点A1作A1H⊥AC于点H

∵∠B1A1P=∠A1PA=60°

∴A1B1∥AC

由题意得：AP=A1P，∠A=60°

∴△PAA1是等边三角形

∴A1H=

在Rt△ABD中，BD=

∴BG=

∴（0≤x＜2）。解：（1）相似，

由题意得：∠APA1=∠BPB1=α，AP=A1P，BP=B1P

则∠PAA1=∠PBB1=

∵∠PBB1=∠EBF

∴∠PAE=∠EBF

又∵∠BEF=∠AEP

∴△BEF∽△AEP。

（2）存在，理由如下：

易得：△BEF∽△AEP

若要使得△BEF≌△AEP，只需要满足BE=AE即可

∴∠BAE=∠ABE

∵∠BAC=60°

∴∠BAE=

∵∠ABE=β，∠BAE=∠ABE

∴

即α=2β+60°。（3）连结BD，交A1B1于点G，

过点A1作A1H⊥AC于点H

∵∠B1A1P=∠A1PA=60°

∴A1B1∥AC

由题意得：AP=A1P，∠A=60°

∴△PAA1是等边三角形

∴A1H=

在Rt△ABD中，BD=

∴BG=

∴（0≤x＜2）。16、在中，于点，于点，连接.（1）、如图（1），若，，，求的周长；（2）、如图（2），若，，的角平分线交于点，求证：;（3）、如图（3），若，，将沿着翻折得到，连接，请猜想线段之间的数量关系，并证明你的结论。图（3）图（2）图（3）图（2）图（1）图（1）17、如图1，在正方形中，点为边上一点，将沿翻折得，延长交边于，连接。（1）求证：；（2）若的中点，求的值；（3）如图2，射线、分别交正方形两个外角的平分线于、，连接，若以、、为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论。18、如图1所示，在中，，点是线段延长线上一点，且．点是线段上一点，连接，以为斜边作等腰，连接，满足条件．（1）若，，，求的长度；（2）求证：；（3）如图2，点是线段延长线上一点，探究、、之间的数量关系，并证明．19、在正方形ABCD中，点E是对角线AC的中点，点F在边C