第三章静态电磁场及

第三章静态电磁场及第1页，课件共106页，创作于2023年2月3.1.1静电场的基本方程和边界条件3.1.2电位函数3.1.3导体系统的电容3.1.4静电场的能量3.1.5静电力第2页，课件共106页，创作于2023年2月3.1.1静电场的基本方程

关系式称为真空的电特性方程或本构关系

静电场的源变量是电荷

第2章中已由库仑定律引入了电荷产生的电场强度

任意电荷分布产生的电场强度

定义任意电荷分布产生的电位移矢量

第3页，课件共106页，创作于2023年2月表示闭合曲面S

对点电荷所在点张的立体角对任意闭合曲面S

积分一、电场的散度设空间存在一点电荷，则点的电位移所以在闭合面内在闭合面外若闭合面内有N个点电荷若闭合面内的电荷分布为真空中的高斯定律散度定理于是电场的散度方程（高斯定理的微分形式）第4页，课件共106页，创作于2023年2月二、电场的旋度真空中电场的基本方程在点电荷的电场中，任取一条曲线，积分当积分路径是闭合曲线，A、B

两点重合，得斯托克斯定理第5页，课件共106页，创作于2023年2月当当补充例题电荷按体密度分布于半径为a

的球形区域内，其中为常数。试计算球内外的电位移矢量。解:电场具有球对称性，于是于是第6页，课件共106页，创作于2023年2月2.边界条件第7页，课件共106页，创作于2023年2月直角坐标系3.1.2电位函数1.电位和电位差由，称为静电场的标量位函数，又称电位函数

由此可求得电位的微分在任意方向上的分量

空间A、B

两点的电位差

若选取为电位参（即），则任意点的电位为第8页，课件共106页，创作于2023年2月

对于点电荷的电场，其电位为

体电荷、面电荷、线电荷产生的电位分别为若取处的电位为零，则第9页，课件共106页，创作于2023年2月解：取如图所示坐标系，场点的电位等于两个点电荷电位的叠加而当因此由于得电偶极子的电位电偶极子的电场强度例3.1.1求电偶极子的电位(教材例3.3.1)。第10页，课件共106页，创作于2023年2月2.静电位的微分方程（泊松方程拉普拉斯方程）由在直角坐标系中电位的泊松方程若空间电荷分布为零，则有电位满足的拉普拉斯方程补充例题半径为a的带电导体球，其电位为U（无穷远处电位为零），试计算球外空间的电位。解：

球外空间的电位满足拉氏方程

电位满足的边界条件由题意可知电位及电场具有球对称性在球坐标系下直接积分因此第11页，课件共106页，创作于2023年2月电位的边界条件：第12页，课件共106页，创作于2023年2月例3.1.3两块无限大接地导体板分别位于x=0,x=a处，在两块导体板间oxyba第13页，课件共106页，创作于2023年2月补充内容：点电荷的函数表示格林函数

为表示点电荷的体密度，引入函数

于是位于处的点电荷q的体密度为

单位点电荷产生的电位满足的泊松方程

定义格林函数第14页，课件共106页，创作于2023年2月格林定理泊松方程的积分公式格林恒等式是矢量分析中的重要恒等式。由散度定理设而得格林第一恒等式同理，若设格林第一恒等式表示为——格林第二恒等式第15页，课件共106页，创作于2023年2月利用格林函数的性质和格林第二恒等式可得到有界空间中的泊松方程的积分解以上公式说明，只要知道区域内的电荷分布以及区域边界面上的电位和电位梯度值，就可求出区域内的电位分布。第16页，课件共106页，创作于2023年2月惟一性定理

静电场的边值问题是在给定边界条件下求泊松方程或拉普拉斯方程的解。

可以证明在每一类边界条件下泊松方程或拉普拉斯方程的解都是惟一的。这就是边值问题的惟一性定理

实际边值问题的边界条件分为三类第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件

惟一性定理的意义：是间接求解边值问题的理论依据。第17页，课件共106页，创作于2023年2月当电场中放入电介质时，电介质在电场的作用下发生极化现象，介质中因极化出现许多电偶极矩，电偶极矩又要产生电场，叠加于原来电场之上，使电场发生变化。

极化强度：用p表示极化的程度，即式中：N为单位体积内被极化的分子数

极化体电荷

由于电场的作用使电偶极子的定向排列，介质内部出现极化体电荷，介质表面出现极化面电荷。

极化面电荷

（为介质表面外法线方向的单位矢量）第18页，课件共106页，创作于2023年2月

小圆柱侧面积，h为无穷小量，该面积趋于零一、电位移矢量D的边界条件nh将电场基本方程用于所作的圆柱形表面。设两种不同的电介质，其分界面的法线方向为n，在分界面上作一小圆柱形表面，两底面分别位于介质两侧，底面积为，h为无穷小量。方程左边电位移矢量D的边界条件用矢量表示方程右边为分界面上的自由电荷面密度第19页，课件共106页，创作于2023年2月二、电场强度E的边界条件（其中为回路所围面积的法线方向）

因为回路是任意的，其所围面的法向也是任意的，因而有电场强度E的边界条件：或表示为在分界面上作一小的矩形回路，其两边分居于分界面两侧，而高。将方程用于此回路介质分界面两侧电场强度的切向分量连续第20页，课件共106页，创作于2023年2月对于电位由由例3.9.1半径分别为a和b的同轴线，外加电压U。圆柱电极间在图示角部分填充介电常数为的介质，其余部分为空气，求内外导体间的电场。（教材例3.9.2)解：问题具有轴对称性，选用柱坐标系，待求函数，在圆柱坐标系下于是电位满足的拉普拉斯方程其通解为同理第21页，课件共106页，创作于2023年2月其中系数A、B、C、D可由边界条件确定边界条件于是由此可知内导体表面单位长度的电荷由内导体和区域1的边界条件由内导体和区域2的边界条件得同轴线单位长度上的电容第22页，课件共106页，创作于2023年2月第23页，课件共106页，创作于2023年2月3.1.3导体系统的电容1.双导体电容的计算由物理学得知，平板电容器正极板上携带的电量q与极板间的电位差U的比值是一个常数，此常数称为平板电容器的电容，即电容为

电容的单位F（法拉）太大。例如半径大如地球的弧立导体的电容只有F。实际中，通常取F（微法）及pF（皮法）作为电容单位。第24页，课件共106页，创作于2023年2月2.部分电容

N个导体组成的导体系统，其中第i个导体的电位与自身的电荷和其他导体的电荷关系为

其中为常数，称为电位系数，与系统中所有导体的形状、位置及周围介质有关。（共有N个方程）

由以上N

个方程可解出（共有N

个方程）

当时称为电容系数，时称为感应系数，且

引入，方程可写为与导体i的电位成正比与导体i、j的电位差成正比其比值第25页，课件共106页，创作于2023年2月

例3.1.4图示的平行双线传输线，每根导线的直径为a，双导线间的距离为D(D>>a)，周围是空气。求传输线单位长度的电容。解：设平行双导线间的电压为U，单位长度的电荷为ρl，则双导线间的电场强度为将上式积分即得双导线间的电压:

第26页，课件共106页，创作于2023年2月根据电容的定义得平行双导线单位长度的电容为第27页，课件共106页，创作于2023年2月例3.1.5已知同轴线的内导体半径为a，外导体的内半径为b，内外导体之间填充介质的介电常数为

。试求单位长度内外导体之间的电容。解由于电场强度一定垂直于导体表面，因此，同轴线中电场强度方向一定沿径向方向。又因结构对称，可以应用高斯定律。ab

设内导体单位长度内的电量为q，围绕内导体作一个圆柱面作为高斯面S，则那么内外导体之间的电位差U为

因此同轴线单位长度内的电容为第28页，课件共106页，创作于2023年2月3.1.4静电场的能量

电场能量来源于建立电荷系统过程中外界提供的能量。

设系统完全建立时，最终的电荷分布为，电位为。

设充电过程中，各点的电荷密度按其终值的同一比例因子增加，则各点的电位也将按同一因子增加。即在某一时刻电荷分布为时，其电位分布为。的变化为。

整个充电过程外界对整个系统提供的总能量

用场变量表示该能量为

单位体积的能量，称为能量密度

对某一体积元，变为时（此时电位为电荷增加）外界提供的能量第29页，课件共106页，创作于2023年2月

例3.1.6在半径为a的球体内均匀分布着体电荷密度为ρ的电荷，计算电场能量。解：用高斯定理可以得到电场为(r<a)(r>a)第30页，课件共106页，创作于2023年2月所以第31页，课件共106页，创作于2023年2月解法二：第32页，课件共106页，创作于2023年2月补充例题部分填充介质的同轴线，求介质与空气中单位长度内的电场能量解：设同轴线内导体电位外导体电位，则同轴线内外导体间单位长度的能量由例3.9.2可知，内导体表面单位长度的电荷所以由例3.9.2可知，介质和空气中的电场强度相等于是介质中的能量密度、能量空气中的能量密度、能量第33页，课件共106页，创作于2023年2月3.1.5静电场力

1.两个点电荷间的相互作用力

已知某点的电场强度在数值上等于单位正电荷在该点受到的电场力。因此，点电荷受到的电场力为若上式中E

为点电荷q产生的电场强度，则

式中

为该点电荷周围介质的介电常数。那么，点电荷受到点电荷q的作用力，或者说点电荷q

对于点电荷的作用力为

式中er

为由q

指向的单位矢量。上式就是法国科学家库仑根据实验总结归纳的库仑定律。

第34页，课件共106页，创作于2023年2月2.用虚位移原理计算带电系统的静电力

已知带电体的电荷分布，原则上，根据库仑定律可以计算带电体电荷之间的电场力。但是，对于电荷分布复杂的带电系统，根据库仑定律计算电场力是非常困难的，有时甚至无法求积。为了计算具有一定电荷分布的带电体之间的电场力，通常采用虚位移法。这种方法是假定带电体在电场作用下发生一定的位移，根据位移过程中电场能量的变化与外力及电场力所作的功之间的关系计算电场力。

以平板电容器为例，设两极板上的电量分别为+q

及-q，板间距离为l。为了计算方便，假定在电场力作用下，极板之间的距离增量为dl。众所周知，两极板间的相互作用力实际上导致板间距离减小。因此，求出的作用力应为负值。dll-q+q第35页，课件共106页，创作于2023年2月既然认为作用力F导致位移增加，因此，作用力F的方向为位移的增加方向。这样，为了产生dg

位移增量，电场力作的功应为。根据能量守恒定律，这部分功应等于电场能量的减小值，即由此求得式中脚注q=常数说明当极板发生位移时，极板上的电量没有发生变化，这样的带电系统称为常电荷系统。已知平板电容器的能量为。对于常电荷系统，发生位移时电量q未变，只有电容C

改变了。第36页，课件共106页，创作于2023年2月式中S

为极板的面积，l为两极板的间距。将这些结果代入上式，求得平板电容器两极板之间的作用力为已知平板电容器的电容式中负号表明作用力的实际方向是指向位移减小的方向。如果假定发生位移时，电容器始终与电源相连，这样，在虚位移过程中，两极板的电位保持不变，这种系统称为常电位系统。根据这种常电位的假定，也可以计算平板电容器两极板之间的作用力，所得结果应该与上完全相同。第37页，课件共106页，创作于2023年2月设在电场力作用下，极板间距的增量为dl。由于电容改变，为了保持电位不变，正极板的电荷增量为dq，负极板的电荷增量为-dq。设正负极板的电位分别为

1及

2，则电场能量的增量为式中为两极板之间的电压。为了将dq

电荷移至电位为

1的正极板，将电荷-dq移至电位为

2的负极板，外源必须作的功为第38页，课件共106页，创作于2023年2月根据能量守恒原理，系统外接恒压源，外源作功的一部分供给电场力作功，另一部分转变为电场能的增量，因此求得例利用虚位移法计算平板电容器极板上受到的表面张力。解利用虚位移概念，假定由于同一极板上的同性电荷相斥产生的表面张力为F。在此表面张力F

的作用下，使极板面积扩大了dS，则电场力作的功为FdS。根据能量守恒原理，这部分功应等于电场能量的减小值，即第39页，课件共106页，创作于2023年2月已知平板电容器的能量为，代入上式，得

若虚位移时，极板与外源相连，因而电位保持不变。那么，表面张力F

应为

那么将代入，即可获得同样结果。

如果将及两式中的变量l

理解为一种广义坐标，也就是说，l可以代表位移、面积、体积甚至角度。那么，企图改变这种广义坐标的作用力称为对于该广义坐标的广义力。第40页，课件共106页，创作于2023年2月显然，对于不同的广义坐标，其广义力的含义不同。对于位移而言，广义力就是普通概念的力，单位为N；对于面积，广义力为表面张力，单位为N/m；对于体积，广义力为膨胀力或压力，单位为N/m2；对于角度，广义力为转矩，单位为N•m。若规定广义力的方向仍然为广义坐标增加的方向，那么，广义力与广义坐标的乘积仍然等于功。这样，前两式可分别改写为两式中的微分符号变为偏微分是考虑到系统的能量可能与几种广义坐标有关。l

代表对应于广义力的广义坐标。由上两式可见，带电系统的能量与多少种广义坐标有关，就存在多少种广义力。当带电系统的某一广义坐标发生变化时，若带电系统的能量没有发生变化，也就不存在使该广义坐标发生变化的广义力。

第41页，课件共106页，创作于2023年2月例计算带电肥皂泡的膨胀力。解

设肥皂泡的电量为q

，半径为a。利用常电荷系统公式，令式中广义坐标l代表体积

V，则受到的膨胀力F为已知半径为a，电量为q的带电球的电位为因此，携带的能量为又知球的体积为代入上式，得第42页，课件共106页，创作于2023年2月例3.1.7第43页，课件共106页，创作于2023年2月3.2导电媒质中的恒定电场分析3.2.1恒定电场的基本方程边界条件1.基本方程

恒定电流空间存在的电场，称为恒定电场。

恒定电场中的二个基本变量为电流密度和电场强度。

描述恒定电场基本特性的第一个方程是电流连续性方程，即或

电流恒定时，电荷分布不随时间变化，恒定电场同静电场具有相同的性质。因此描述恒定电场基本特性的第二个方程为或

实验证明，导电媒质中电流密度与电场强度成正比，即第44页，课件共106页，创作于2023年2月

要想在导电媒质中维持恒定电流，必须依靠非静电力将B极板的正电荷q抵抗电场力搬到A极板。这种提供非静电力将其它形式的能量转为电能装置称为电源。因此

Ee

是非保守场。

设局外场强为设局外场强为，则电源电动势为电源电动势与有无外电路无关，它是表示电源本身的特征量。则第45页，课件共106页，创作于2023年2月与静电场的讨论类似，由可引入恒定电场的电位函数恒定电场的电位由2.恒定电场的边界条件若用电位表示将恒定电场的基本方程、分别用于二种不同导电媒质的分界面上，与推导静电场边界条件方法类似，可导出恒定电场的边界条件。第46页，课件共106页，创作于2023年2月3.2.2恒定电流场与静电场的比拟

已知无外源区中均匀导电媒质内的恒定电流场方程和无源区中均匀介质内的静电场方程如下：

恒定电流场静电场可见，两者非常相似，恒定电流场的电流密度J

相当于静电场的电场强度E，电流线相当于电场线。第47页，课件共106页，创作于2023年2月因此，当恒定电流场与静电场的边界条件相同时，电流密度的分布与电场强度的分布特性完全相同。根据这种类似性，可以利用已经获得的静电场的结果直接求解恒定电流场。或者由于在某些情况下，恒定电流场容易实现且便于测量时，可用边界条件与静电场相同的电流场来研究静电场的特性，这种方法称为静电比拟。

例如，两电极间的电流场与静电场对应分布如下图示：

PN

电流场PN

静电场那么，利用已经获得的静电场结果可以求解恒定电流场。

第48页，课件共106页，创作于2023年2月解：设同轴线内外导体是理想导体，则导体内，导体表面是等位面，于是漏电介质中的电位只是径向r的函数，柱坐标系下拉普拉斯方程为其通解边界条件为得导电媒质中的电场强度电流密度单位长度上的漏电流单位长度上的漏电导

例3.2.1同轴线内外导体半径分别为a和b，填充的介质，具有漏电现象。同轴线外加电源电压为U，求漏电介质内的和单位长度的绝缘电阻（漏电电导）。第49页，课件共106页，创作于2023年2月例3.2.2计算半球形接地器的接地电阻。第50页，课件共106页，创作于2023年2月例题一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为和外加电压U，介质分界面上的自由电荷密度。解：设电容器极板为理想导体，故极板是等位面，电流沿z方向。由边界条件得相应的电场外加电压U等于得于是由边界条件上极板的自由电荷面密度下极板的自由电荷面密度介质分界面上的自由电荷第51页，课件共106页，创作于2023年2月3.3恒定磁场分析

实验表明，导体中有恒定电流通过时，在导体内部和它周围的媒质中，不仅有恒定电场

，同时还有不随时间变化的磁场，简称恒定磁场。

首先建立真空与磁介质内恒定磁场的基本方程；引入矢量位A;确立磁场的边界条件；在特定条件下引入标量位。

最后讨论自感和互感的计算、磁场能量和磁场力。

3.3.1恒定磁场的基本方程和边界条件

3.3.2矢量磁位和标量磁位

3.3.3电感

3.3.4恒定磁场的能量

3.3.5磁场力

第52页，课件共106页，创作于2023年2月斯托克斯定理3.3.1恒定磁场的基本方程引入磁化电流后，媒质的磁化效应由磁化电流表征，即空间的磁场由传导电流和磁化电流产生。而磁化电流和传导电流的实质相同，则将得令（为磁介质中的磁场强度矢量）于是磁介质中的基本方程微分形式由实验证明，除铁磁性物质外，M和H之间有一定的线性关系，即得（为磁介质中的本构关系）媒质的磁导率（除铁磁性物质外）媒质的相对磁导率磁化率式中均为传导电流第53页，课件共106页，创作于2023年2月小圆柱侧面积，h为无穷小量，该面积趋于零2.磁场的边界条件一、磁感应强度B的边界条件设两种不同的磁介质，其分界面的法线方向为n。在分界面上作一小圆柱形表面，两底面分别位于介质两侧，底面积为，h为无穷小量。nh将磁场基本方程用于所作的圆柱形表面。方程左边磁感应强度B

的边界条件用矢量表示分界面上B的法向分量连续第54页，课件共106页，创作于2023年2月二、磁场强度H的边界条件在分界面上作一小的矩形回路，其两边分居于分界面两侧，而高，取H

沿此回路的环积分为

设分界面上的自由电流面密度为

则回路所围面积上通过的电流为（其中的方向为回路所围面积的法线方向）

矢量可写为

方程变为

因为回路是任意的，其所围面的法向也是任意的，因而有磁场强度H的边界条件：若分界面上没有自由的表面电流第55页，课件共106页，创作于2023年2月磁导率为无限大的媒质称为理想导磁体。在理想导磁体中不可能存在磁场强度，否则，由式可见，将需要无限大的磁感应强度。产生无限大的磁感应强度需要无限大的电流，因而需要无限大的能量，显然这是不可能的。因此，在理想导磁体中不可能存在磁场强度。因为边界上磁场强度的切向分量是连续的，可见，在理想导磁体表面上不可能存在磁场强度的切向分量，换言之，磁场强度必须垂直于理想导磁体表面。当然，在理想导磁体内部仍然存在磁感应强度。例1在具有气隙的环形磁芯上紧密绕制N

匝线圈，如图示。环形磁芯的磁导率为

，平均半径为r0，线圈的半径为a<<

r0，气隙宽度为d。当线圈中的恒定电流为I时，若忽略散逸在线圈外的漏磁通，试求磁芯及气隙中的磁感应强度及磁场强度。

第56页，课件共106页，创作于2023年2月代入矢量磁位3.3.2矢量磁位和标量磁位1.矢量磁位

为了简化磁场的求解，通常采用间接方法。

由磁场的散度为零，引入矢量磁位。

利用磁场的旋度方程导出矢量磁位满足的微分方程。由其单位为T·m（特·米）或Wb/m（韦/米）得即得矢量位的泊松方程规定其散度（库仑规范）第57页，课件共106页，创作于2023年2月在直角坐标系中可分解为三个标量泊松方程其解于是，矢量位满足的泊松方程的解为体电流、面电流、线电流产生的矢量位分别为第58页，课件共106页，创作于2023年2月在恒定磁场无电流区域——标量磁位，单位：A（安培）。

标量磁位仅适合于无自由电流区域，且无物理意义。标量磁位的特点：2.标量磁位

标量磁位满足的微分方程

标量磁位满足的边界条件第59页，课件共106页，创作于2023年2月磁偶极子的矢量位和标量位一面积为S,通以电流I的小圆电流环称为磁偶极子，定义矢量为磁偶极子的磁偶极矩。考虑得磁偶极子产生的磁感应强度产生的合成矢位只有分量如图建立坐标系，与x轴对称的两个电流元在考察点式中称为磁偶极子的标量位磁场的另一基本变量第60页，课件共106页，创作于2023年2月磁偶极子的矢量磁位图3-12磁偶极子第61页，课件共106页，创作于2023年2月式中：第62页，课件共106页，创作于2023年2月如果r>>a，则从图3-12可见，第63页，课件共106页，创作于2023年2月如果r>>a，则从图3-12可见，第64页，课件共106页，创作于2023年2月所以式中，m=Iπa2，是圆形回路磁矩的模值。一个载流回路的磁矩是一个矢量，其方向与环路的法线方向一致，大小等于电流乘以回路面积，即其定义为第65页，课件共106页，创作于2023年2月第66页，课件共106页，创作于2023年2月位于点r的磁矩为m的磁偶极子，在点r′处产生的磁矢位为位于外磁场B中的磁偶极子m，会受到外磁场的作用力及其力矩。这里仅仅给出作用力及力矩的公式。作用力为力矩为第67页，课件共106页，创作于2023年2月

例3.3.2求长度为l的载流直导线的磁矢位。图3-11直导线磁矢位第68页，课件共106页，创作于2023年2月解:当l>>z时，有上式中，若再取l>>r,则有第69页，课件共106页，创作于2023年2月当电流分布在无限区域时，一般指定一个磁矢位的参考点，就可以使磁矢位不为无穷大。当指定r=r0处为磁矢位的零点时，可以得出从上式，用圆柱坐标的旋度公式，可求出第70页，课件共106页，创作于2023年2月例3.3.2求无限长直线电流的矢量位A

磁感应强度B。解：首先计算一根长度为的长直线电流I产生的矢量位。由线电流的矢位计算公式积分可得第71页，课件共106页，创作于2023年2月当时若，则这时可在A

的表达式中附加一个常矢量则磁感应强度B等于磁场强度H等于与例3.32.1直接积分所得的结果相同第72页，课件共106页，创作于2023年2月3.3.3电感在线性介质中，一个电流回路在空间任意一点产生的B与电流成正比，因而穿过任意回路的磁通也与电流成正比；若一回路由N匝导线绕成，则总磁通是各匝磁通之和，成为磁链，用表示。且可近似为

当磁场由自身回路的电流产生则回路磁链与电流之比称为自感系数，简称自感，单位为H（亨）

第1回路电流产生的磁场与第二回路交链的磁链为，则比值称为互感系数，简称互感，单位仍为H

同样，第2回路电流产生的磁场与第一回路交链的磁链为，其比值同样称为互感系数自感与互感都仅取决于回路的形状、尺寸、匝数和介质的磁导率。互感还与两个回路的相互位置有关。第73页，课件共106页，创作于2023年2月两个单匝回路的互感设回路1通过电流而所以同理由此可见诺伊曼公式单匝回路的自感对于单匝回路，可将电流看作集中于轴线回路上，而将计算磁通的回路取作导线边缘的回路，应用诺伊曼公式计算自感为第74页，课件共106页，创作于2023年2月例3.3.3计算同轴线单位长度的电感abr第75页，课件共106页，创作于2023年2月与电流交链以上计算的自感只考虑了导线外部的磁通，故称为外自感；在导线内部的磁力线同样套链着电流，其磁链与电流比值定义为内自感。假设单匝回路，其横截面积导线内的磁场穿过图中面积的磁通为穿过图中面积的磁链为长度为l一段圆截面导线的内自感为第76页，课件共106页，创作于2023年2月总自感为

例3.3.4求双线传输线单位长度的自感。导线半径为a，导线间距离，如图所示解：由得二导线在x处产生的磁场分别为总的磁感应强度单位长度的外自感为单位长度的内自感为穿过面积的磁通第77页，课件共106页，创作于2023年2月而回路j的磁链为3.3.10磁场能量

电流回路系统的能量是建立电流过程中由电源供给的。

当电流从零增加时回路感应电动势将阻止电流的增加，外加电压须克服感应电动势而作功，使回路能量增加。

若所有回路固定，且忽略焦耳损耗，则电源作功将全部变为电流回路系统的磁场能量，这时回路上的外加电压和回路中的感应电动势大小相等方向相反。回路j中的感应电动势为外加电压dt时间内与回路j相连的电源所作的功若系统包含N个回路，增加的磁场能量为互感系数自感系数第78页，课件共106页，创作于2023年2月假设所有回路中的电流同时从零开始以百分比同比例增加，即则，于是充电过程完成后，系统的总磁场能量例单回路双回路用场量表示该磁场能量单位体积的磁场能量称为磁场能量密度第79页，课件共106页，创作于2023年2月例3.3.7求无限长同轴线单位长度内的磁场能量，如图所示。解：在的区域在的区域在的区域由基本方程三个区域单位长度内的磁场能量分别为第80页，课件共106页，创作于2023年2月因为总磁场能量所以同轴线单位长度的电感为其中（内自感）（主自感）（外套管壁内的电感）第81页，课件共106页，创作于2023年2月3.3.5磁场力两个载流回路间的磁力可由安培力公式计算。也可与静电力的计算类似，用磁场能量的空间变化率来计算磁场力。①磁链不变

两个回路的磁链不变，即

回路发生位移，两回路中电流必定发生变化，才能维持两回路的磁链不变

两回路中没有感应电动势（因为磁链不变），故与回路相连的电源不对回路输入能量。

回路位移时所须的机械功只有靠磁场能量减少来完成。②电流不变

两个回路电流不变，即

回路发生位移，两回路中的磁链必定发生变化，才能维持两回路电流不变。第82页，课件共106页，创作于2023年2月两个回路的能量为

上式表明：在不变的情况下磁场能量的改变（即磁力）仅是由于互感的改变引起的。

前面假设的不变和不变是在一个回路发生位移时的两种假设，无论假设不变还是不变，求出的磁场力是相同的。

两回路中都有感应电动势（因为磁链发生变化），与回路相连的电源要作功来克服感应电动势以保持两个回路的电流不变。

电源作功为即电源输入能量的一半用于增加磁场储能，另一半用于回路位移所需的机械功。得第83页，课件共106页，创作于2023年2月3.4.1边值问题的分类

第一类边值问题：给定整个边界上的位函数值；

第二类边值问题：给定边界上每一点位函数的法向导数；

第三类边值问题：给定一部分边界上每一点的电位，同时给定另一部分边界上每一点的电位法向导数。

给定导体上的总电量亦属于第二类边值问题。第84页，课件共106页，创作于2023年2月3.4.2唯一性定理第85页，课件共106页，创作于2023年2月唯一性定理证明：设在区域V内，φ1和φ2满足泊松方程，即在V的边界S上，φ1和φ2满足同样的边界条件，即第86页，课件共106页，创作于2023年2月令φ=φ1-φ2，则在V内，▽2φ=0，在边界面S上，φ|S=0。在格林第一恒等式中，令Ψ=φ，则由于▽2φ=0，所以有在S上φ=0，因而上式右边为零，因而有第87页，课件共106页，创作于2023年2月3.5镜像法

待求区域的电位由其电荷分布与边界条件共同决定。

镜像法则是在研究区域之外，用一些假想的电荷分布代替场问题的边界。

这些假想的电荷称为像电荷，大多是一些点电荷或线电荷。

镜像法只适用于一些特殊边界。

镜像法求解电位问题的理论依据是惟一性定理。

本节将分别讨论平面镜像、球面镜像和柱面镜像。第88页，课件共106页，创作于2023年2月1.点电荷对接地导体平面的镜像求置于无限大接地平面导体上方，距导体面为h处的点电荷q的电位。图3.5.1无限大导体平面上点电荷的镜像第89页，课件共106页，创作于2023年2月第90页，课件共106页，创作于2023年2月由Dn=ρS可得导体表面的面电荷密度：导体表面总的感应电荷：第91页，课件共106页，创作于2023年2月图3.5.3点电荷与正交接地导体平面的镜像第92页，课件共106页，创作于2023年2月3.5.2导体球面的镜像

球外区域任意一点的电位由点电荷和导体球表面的感应电荷决定。

像电荷的位置及大小由以下原则决定:点电荷与像电荷的共同作用应使球面的电位为零。一半径为a的接地导体球，在与球心O相距的点有一点电荷，求球外的电位分布。

在求解区域外（球内）用一点电荷（像电荷）代替球面上感应电荷的影响。球外任意一点P的电位为确定像电荷的位置及大小，可在球面上取两个特殊点、。它们的电位均为零。联立求解得于是球外任意点的电位第93页，课件共106页，创作于2023年2月3.5.3导体柱面的镜像于是圆柱外任意点的电位采用球坐标系，取原点为球心O点，Z轴与重合，则球外任意点处有如图，半径为的接地导体圆柱外有一根和它平行的线电荷，密度为，与圆柱轴线相距为。求空间的电位函数。代入解得分析方法与球面镜像相同，并用的关系进行试探求解。同样在圆周上取两个特殊点、，因为圆柱接地，它们的电位为零。第94页，课件共106页，创作于2023年2月3.5.4介质平面的镜像

6设两种介电常数分别为ε1、ε2的介质充填于x<0及x>0的半空间，在介质2中点(d,0,0)处有一点电荷q,如图4-7(a)所示，求空间各点的电位。