2022新高考数学高频考点题型归纳33空间几何体的表面积与体积（学生版）

专题33空间几何体的表面积与体积--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型一、关键能力会计算柱、锥、台、球的表面积和体积.二、教学建议1.以结合几何体的结构特征考查几何体的面积体积计算为主，题型基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；也有几何体的面积或体积在解答题中与平行关系、垂直关系等相结合考查的情况.2.与立体几何相关的“数学文化”等相结合，考查数学应用.3.几何体的表面积与体积与多个几何体结合是主要命题形式.有时作为解答题的一个构成部分考查几何体的表面积与体积，有时结合面积、体积的计算考查等积变换等转化思想．三、自主梳理 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l2.柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3【知识必备】1．设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝eq\f(a,2)，外接球半径R＝eq\f(\r(3),2)a.2．设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2).3．设正四面体的棱长为a，则它的高为eq\f(\r(6),3)a，内切球半径r＝eq\f(\r(6),12)a，外接球半径R＝eq\f(\r(6),4)a.4．直棱柱的外接球半径可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，可知球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径．四、高频考点+重点题型考点一空间几何体的的表面积例1.（2020·新课标Ⅰ）已知A、B、C为球O球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球O的表面积为（）A. B. C. D.训练1.（2021·全国高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（）A．26% B．34% C．42% D．50%训练2.（2020·江西赣州模拟）在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为()A．4π B.(4＋eq\r(2))πC．6π D．(5＋eq\r(2))π训练3.（2021·全国高考真题（文））已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________.考点二直接利用公式求体积例2-1（2021·天津高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（）A． B． C． D．例2-2.在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（）A． B． C． D．对点训练2．（2018·全国高考真题（文））已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．对点训练3．（2021·全国高考真题）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A． B． C． D．考点三割补法求体积例3.(2018·天津高考)如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1­BB1D1D的体积为________．考点四等体积法求体积例4.如图所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1­ABC1的体积为()A.eq\f(\r(3),12) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(6),12) D.eq\f(\r(6),4)对点训练1.（2021·河北模拟）如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，点P在棱CC1上，则三棱锥P­ABA1的体积为________．考点五几何体的外接球例5.（2021·上海）已知正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为，且它的六个顶点均在球的球面上，则球的体积为__________.对点训练1.（2019·全国Ⅰ卷）已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为()A． B．C． D．对点训练2.（2021·湖北宜昌模拟）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A．π B．eq\f(3π,4)C.eq\f(π,2) D．eq\f(π,4)考点六几何体的内切球例6.（2020·新课标Ⅲ）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．对点训练1.(2019·天津卷)已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．对点训练2.（2021·湖南模拟）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则eq\f(V1,V2)的值是________．对点训练3.已知正三棱锥的高为1，底面边长为2eq\r(3)，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________．考点七、表面积、体积的最值例7-1.单位正方体内部或边界上不共面的四个点构成的四面体体积的最大值为（）A． B． C． D．例7-2.已知正方形的边长为，将沿对角线折起，使平面平面，得到三棱锥．若O为的中点，点，分别为，上的动点（不包括端点），且，则当点到平面的距离为________时，三棱锥的体积取得最大值，且最大值是________．例7-3.已知三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，，则该三棱锥体积的最大值是__．对点训练1.（2018·全国高考真题）设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（）A． B． C． D．对点训练2.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.对点训练3．（2021·浙江期末）在四面体中，，，，，若四面体的外接球半径为，则四面体的体积的最大值为_________．考点八、截面面积例8.（2021·安徽马鞍山高三）已知正方体的棱长为，直线平面，平面截此正方体所得截面中，正确的说法是（）A．截面形状可能为四边形 B．截面形状可能为五边形C．截面面积最大值为 D．截面面积最大值为对点训练1．（2020·江苏苏州期末）已知在球的内接长方体中，，，则球的表面积为________，若为线段的中点，则过点的平面截球所得截面面积的最小值为______．对点训练2.（2020·山东省泰安市三模）已知球O是正三棱锥的外接球，，，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是_______.考点九、非球几何体的切接例9.（2018·江苏高考真题）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．对点训练1.学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，高为.打印所用部料密度为．不考虑打印损耗．制作该模型所需原料的质量为________.（取）考点十、几何体的展开例10．（2021·湖南期末）已知圆柱及其展开图如图所示，则其体积为（）A． B． C． D．对点训练1.（2021·河北正定中学模拟）圆柱的底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是()A．4πS B．2πSC．πS D．eq\f(2\r(3),3)πS考点11、数学文化题例11．（2019·全国高考真题（理））中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．对点训练1.（2021·河北巨鹿中学）蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、塌、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗传名录.已知某蹴鞠（近似看作球体）的表面上有四个点、、、，满足为正三棱锥，是的中点，且，侧棱，则该蹴鞠的表面积为（）A． B． C． D．对点训练2．（2021·上海期末）五月五是端午，门插艾，香满堂，吃粽子，蘸白糖，粽子古称“角黍”，是我国南北各地的节令食品，因各地风俗不同，粽子的形状和食材也会不同，有一种各面都是正三角形的正四面体形粽子，若该正四面体粽子的棱长为8cm，则现有1立方米体积的食材，最多可以包成这种粽子_______个.对点训练3.（2021·浙江高一期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何?”这里的“羡除”，是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面体．在图1所示羡除中，，，，，等腰梯形和等腰梯形的高分别为和，且这两个等腰梯形所在的平面互相垂直．按如图2的分割方式进行体积计算，得该“羡除”的体积为（）A． B． C． D．巩固训练单项选择题1．（2020·江苏省高考真题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半轻为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.2．如图，以棱长为1的正方体的顶点A为球心，以eq\r(2)为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为()A．eq\f(3π,4) B．eq\r(2)πC．eq\f(3π,2) D．eq\f(9π,4)3．已知圆柱的高为2，底面半径为eq\r(3)，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于()A．4π B．eq\f(16,3)πC．eq\f(32,3)π D．16π4.（2021·全国高考真题（理））已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（）A． B． C． D．5．已知正三棱锥的高为6，内切球(与四个面都相切)的表面积为16π，则其底面边长为()A．18 B．12C．6eq\r(3) D．4eq\r(3)6．正四棱锥V­ABCD的五个顶点在同一个球面上．若其底面边长为4，侧棱长为2eq\r(6)，则此球的体积为()A．72eq\r(2)π B．36πC．9eq\r(2)π D.eq\f(9π,2)多项选择题7．下列说法正确的是()A．用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面B．圆台的任意两条母线延长后一定交于一点C．有一个面为多边形，其余各面都是三角形的几何体叫作棱锥D．若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥不可能是正六棱锥8．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直，且AB＝2，AD＝EF＝1.则()A．平面BCF⊥平面ADFB．EF⊥平面DAFC．△EFC为直角三角形D．VC­BEF∶VF­ABCD＝1∶4三、填空题9．已知底面边长为1，侧棱长为eq\r(2)的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为________.10．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a.若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径为___