教师资格证-（初中）数学-章节练习题-第四章-数学教学技能-第二节-数学教学实施与案例

教师资格证-（初中）数学-章节练习题-第四章数学教学技能-第二节数学教学实施与案例[单选题]1.下列说法正确的是（江南博哥）()A.使用课堂提问就是启发式教学B.课堂提问就是教师问、学生答C.所有的课堂提问都应该有一个明晰的正确答案D.课堂提问要给学生留出一定的思考时间参考答案：D参考解析：课堂教学具有启发作用，但不能因此就简单地把问答式教学等同于启发式教学，二者有着本质的区别；课堂提问不仅是教师问、学生答，还要有学生自己质疑提问；所有的课堂提问不一定都有一个明晰的正确答案。[单选题]2.下列说法不正确的是()A.数学作业除了习题计算、解答与证明形式外，还可以考虑数学建模与数学实验报告等形式B.备课主要是备习题C.教学过程既包括教师教的过程，也包括学生学的过程D.教学评价既包括对学生学业成绩的评价，也包括对教师教学质量的评价参考答案：B参考解析：备课不仅要备习题与练习题，而且要学习课程标准的基础知识，深入钻研教材，切实考虑学生的实际情况，预设好教案与学案，故选B。[单选题]3.教师通过语言向学生系统传授知识的教学方法是()。A.讲授法B.讨论法C.自学辅导法D.发现法参考答案：A参考解析：教学方法多种多样，包括讲授法、谈话法、读书指导法、讨论法、演示法等，其中，讲授法是教师通过语言系统连贯地向学生传授知识的方法。[单选题]4.选取与所授内容有关的生活实例或某种经历，通过对其分析、引申、演绎归纳出从特殊到一般、从具体到抽象的规律来导入新课的方法是()。A.直接导入法B.复习导入法C.实例导入法D.悬念导入法参考答案：C参考解析：实例导入是选取与所授内容有关的生活实例或某种经历，通过对其分析，引申，演绎归纳出从特殊到一般、从具体到抽象的规律来导入新课。这种导入强调了实践性，能使学生产生亲切感，起到触类旁通之功效。同时让学生感觉到现实世界中处处充满数学。[问答题]1.简述新课程改革的教学观。参考答案：无参考解析：教师和学生是课程的有机组成部分，是课程的创造者和主体，他们共同参与课程的开发过程，教学不只是课程传递和执行的过程，更是课程创新与开发的过程。新课程改革要求教师从以下方面来树立科学的教学观：(1)体现以人为本；(2)强调师生交流；(3)注重开发学习；(4)整合课程形式；(5)重视学习过程；(6)关注学生发展[问答题]2.组织者的含义是什么?教师的组织作用主要体现在哪些方面?参考答案：无参考解析：组织者的含义包括组织学生发现、寻找、搜集和利用学习资源，组织学生营造和保持学习过程中积极的心理氛围等。教师的组织作用主要体现在两个方面：第一，教师应当准确把握教学内容的数学实质和学生的实际情况，确定合理的教学目标，设计一个好的教学方案；第二，在教学活动中，教师要选择适当的教学方式，因势利导、适时调控，努力营造师生互动、生生互动、生动活泼的课堂氛围，形成有效的学习活动。[问答题]3.《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出：“数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。”请简述，怎样让学生在学习过程中感悟数学思想。参考答案：无参考解析：数学思想的形成需要在过程中实现，只有经历问题解决的过程，才能体会到数学思想的作用，才能理解数学思想的精髓，才能进行知识的有效迁移。凸显知识的形成过程，让学生感悟数学思想和方法，关键是应让学生经历和体验一些数学知识的获取过程，让学生“读——理解”“疑——提问”“做——解决问题”“说——表达交流”，并在其中获得对数学思想方法的感悟。无论是数学概念的概括与形成，还是公式、法则、定理的发现与推导，教师都应通过创设情境，激发学生探索问题的需要，通过观察、实验、分析、综合、归纳、概括等过程。获得对问题的认识、理解和解决的同时，也获得对数学思想方法的认识与感悟.教学的设计要以学生的数学思想形成为目标。[问答题]4.《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。教学中应该注意的几个关系是什么?参考答案：无参考解析：(1)“预设”与“生成”的关系；(2)面向全体学生与关注学生个体差异的关系；(3)合情推理与演绎推理的关系；(4)使用现代信息技术与教学手段多样化的关系。[问答题]5.简述教学过程优化的要求以及教师在教学过程中应怎样实施优化。参考答案：无参考解析：(1)教学过程优化的要求：①对教学目标的最优化；②对教学内容的最优化；③教学方法的最优化；④习题练习的最优化。(2)实施优化的方法：①引导学生将知识转化为能力；②积极开展数学探究、相互交流、合作学习的教学方式；③淡化形式化的教学，注重应用与创新；④注重学生个性和人格健全的发展。[问答题]6.什么是几何直观?在教学中如何培养学生的几何直观观念?参考答案：无参考解析：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。在教学中培养学生的几何直观观念可以从以下两方面考虑：(1)注重直观，强调学生的动手实验能力的培养。学生掌握知识一般有一个从感性到理性的认知过程，在教学中，恰当地运用直观手段可以使知识具体化、形象化，为学生感知、理解和记忆知识创造条件；同时还能引起学生的注意，激发他们的学习兴趣，提高课堂教学的有效性。因此，在教学中要注重直观性教学，重点可以采取以下三步：①运用直观教具，提供感性认识。②重视实验，提高学生的动手能力。③利用形象语言，帮助理解和识记。(2)注重思想方法，培养学生数形结合的思想。义务教育阶段几何直观教学的关键点是能够运用形象的几何图形解决复杂的数学问题，这里就蕴含了一个重要的数学思想即数形结合思想。数形结合能培养和发展学生的空间观念和几何直观能力，培养学生形象思维与抽象思维的交叉运用，从而有助于培养学生灵活运用知识的能力。[问答题]7.数形结合思想是一种重要的数学思想，它的实质就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题。用数形结合思想解题能简化推理和运算，具有直观、快捷的优点。请简要谈谈数形结合思想在解哪些类型的问题时可以发挥作用，使问题得到更好的解决。参考答案：无参考解析：(1)利用数轴将代数问题化为几何问题；(2)利用函数图象和性质将代数问题化为几何问题；(3)利用几何模型将代数问题化为几何问题；(4)利用方程或不等式将代数问题化为几何问题；(5)利用三角知识解决几何问题；(6)利用几何图形特征将几何计算化为代数运算；(7)最值问题。[问答题]8.请举例分析命题教学的一般环节。参考答案：无参考解析：命题教学一般分为定理、公式、性质、法则等内容的教学，以定理教学为例，命题教学的一般环节如下。(1)结合新知内容，选取适当的引入方式引入定理，如教师创设情境让学生自主探究，之后得出定理的相关猜想。例如，教师在教学三角形中位线定理时，先带领学生回忆三角形及平行四边形的相关旧知，并创设问题情境：下图△ABC能否剪拼成平行四边形，如何剪拼?学生自主探究，引导学生得出猜想：取AB，AC的中点连接后旋转180°。通过测量等方法得出DE与BC关系的猜想。(2)教师引导学生证明猜想，之后明确定理的内容，帮助学生进一步理解定理。如教师在教学的过程中，引导学生运用旧知证明猜想，帮助学生建立新旧知识之间的联系，最后讲授定理内容。例如，在学生得出三角形中位线相关猜想后，教师引导学生利用平行四边形的判定定理，验证DE与BC的关系，从而证明猜想，得出相应结论。结合图形进行讲解，DE为△ABC的中位线，其平行于BC且等于BC的一半。(3)熟悉定理的应用。教师要在学生理解定理的基础上做更进一步的教学，即向学生展示例题，教学定理的应用方法，从而使学生逐步掌握定理并得以应用。例如，教师出示三角形中位线定理的相关例题：在△ABC中，AB=AC，E是AB中点，延长AB到D，使BD=AB。求证：CD=2CE。(4)引申和拓展定理的运用，引导学生对某些定理做适当的不同方向的推广，也是使学生认识定理之间关系的有效方法，同时也有利于培养学生的创造才能。例如，教师出示与四边形相关的习题，展示三角形中位线定理在相关多边形题目中的应用。[问答题]9.请以“相似三角形”为例，简述数学课堂教学导入的两种方法。参考答案：无参考解析：数学课堂教学导入的方法主要有直接导入法、复习导入法、事例导入法、趣味导入法、悬念导入法和类比导入法等。结合题目例子，下面主要介绍复习导入法和类比导入法。(1)复习导入法复习导入法即所谓的“温故而知新”，主要是利用新旧知识之间的逻辑联系，贯彻巩固与发展相结合的原则，找出新旧知识之间的联结点，将旧知的复习迁移到新知的学习上来导入新课。通过这种方法来导入新课，一方面可以帮助学生巩固旧知，另一方面可以建立新旧知识之间的联系，能有效降低学生对于新知的认知难度。运用这种导入方法教师应摸清学生原有的知识水平，精选复习、提问时新旧知识联系的“支点”。以“相似三角形”为例，学生在学习这一内容之前学习过“比例”的相关知识，而“比例”恰恰是根据两幅图形长、宽的等比关系来进行学习的。因此，教师可以结合“比例”的相关知识点，运用“复习导入法”，在学习新知前带领学生复习“比例”的相关知识，帮助学生找到新旧知识之间的联结点，即构成比例的前提是比值相等，相似三角形各边的相似比相等。之后，带领学生学习新知。(2)类比导入法类比是指当两个对象都有某些相同或类似属性，而且已经了解其中一个对象的某些性质时，推测另一种对象也有相同或类似性质的思维形式。类比导入法就是以这种思维形式为基础，通过新知与旧知之间的类比，在旧知的基础上探索发现新知的。类比导入法简洁明快，既培养了学生类比推理的能力，又能高效地调动学生思维的积极性。以“相似三角形”为例，学生在学习新知之前学习过“全等三角形”的相关知识。两个三角形全等，其对应边的比值为1，教师可以抓住这一特性，采用“类比导入法”，让学生通过观察全等三角形和相似三角形的对比图，结合全等三角形的性质特征来类比分析相似三角形的性质特征。[问答题]10.数学课程标准各学段安排了“图形与几何”的学习内容来发展学生的空间观念，假如你在“图形与几何”知识教学时，将会从哪些方面去培养学生的空间观念?参考答案：无参考解析：可从以下几方面着手：(1)要联系生活实际，引导学生观察生活，从现实中发现有关图形与几何的问题，培养学生的认知兴趣。在教学“认识物体和图形”时，可以给学生展示粉笔盒、药盒、小球、魔方和圆柱体的茶叶盒等。让学生从具体到抽象认识长方形、正方形、圆形、长方体、正方体、球体、圆柱体等。让学生形成对平面几何图形和立体几何图形的形状、大小及其相互之间的关系的表象，培养学生的空间观念。(2)通过观察、演示、操作等感知活动，使学生逐步形成几何形体的表象。有些几何形体的概念，不仅要借助教具的演示，还要通过学生自己动手实际操作和测量，来理解它的本质涵义。例如教学长方形的周长时，可把一张长方形纸的周长贴上彩色纸条后，再拉直展开成相连的4条线段(长和宽用不同的颜色区别)，让学生实际测量后列出不同的算式计算，让学生思考：一个长方形有几条长和几条宽?怎样计算周长比较方便？从而使学生获得长方形周长的表象，并掌握长方形周长的计算公式。接着，让学生自己动手操作测量某些实物的长和宽，计算出它们的周长，如教室中的玻璃窗、数学课本的封面、桌面等。(3)让学生通过探究进行学习。发展空间观念是“图形与几何”教学的重要目标之一。空间观念是一种数学思考，对于学生来说，这种数学思考必须有丰富的直观、形象的积累和体验为基础，并在自主性的探究过程中得以发展。如教学平行四边形认识的过程中，为了让学生感受到平行四边形与长方形图形的联系，初步发展学生的空间观念。在教学过程中，可以安排学生通过自主探究的学习方式，剪拼的方法，让学生亲自动手做一做，动脑想一想，在探究中获得空间观念的发展。总之，在教学过程中就要注意多层次、多渠道地培养和发展学生的空间观念和空间想象能力。[问答题]11.如何让学生养成勇于质疑的习惯，形成实事求是的态度?参考答案：无参考解析：在教学中要尽可能地让学生采用探索的方法，经历由已知出发，经过自己的努力或与同伴合作获得对新知的理解，而不采用告诉的方式。当学生面临困难时，引导他们或和他们一起寻找解决问题的思路，并在解决问题的过程中总结出所获得的经验，而不是直接给出解决问题的方法。当学生对自己或同伴得到的猜想没有把握时，要帮助他们为猜想寻找证据，根据实际情况修正猜想，而不是直接否定他们的猜想。当学生对他人的思路、方法有疑问时，要鼓励他们对自己的怀疑寻找证据，以否定或修正他人的结论作为思维目标，从事研究活动。即使质疑被否定，教师也要首先对其尊重事实、敢于挑战权威的意识给予充分肯定，在教学中要创造更多的方法与机会促进这一目标的实现。[问答题]12.“巩固与发展相结合”是数学教学的基本原则。谈谈“巩固”与“发展”的关系，教师在教学过程中怎样做到在发展的过程中进行巩固。参考答案：无参考解析：数学学习过程是巩固与获取有关知识技能的不断向前发展的过程，巩固与发展不能截然分开，应在发展的过程中进行巩固，在巩固的基础上向前发展。即所谓“温故而知新”。因此在教学中应很好地调节这两方面的进程，以便获得更好的教学效果。教师在教学中处理好新知识与旧知识的关系，知识传播与能力发展的关系，要求教师做到：①将学习新知识、复习巩固旧知识贯穿于教学的全过程，既要重视阶段性复习、总结性复习，更要重视日常课堂的复习巩固，将复习巩固作为一个重要的教学环节；②要重视对学生所学知识、技能和方法进行复习巩固工作的研究；③在复习巩固过程中。要指导学生记忆，提高记忆能力，并通过适当途径予以检查，对数学中一些基本的概念、定理、公式、法则都必须在理解的基础上熟记。④在学习新知识时，要深刻理解这些知识，必须调动学生学习知识的自觉性。学习过程必须是学生积极开展思维活动的过程，用积极态度学到的知识是获得巩固知识的必要条件。因此，在教学时要引起学生对学习知识的强烈兴趣，把原来以为枯燥无味的数学课上成生动活泼的数学课，注意防止学生产生学习的逆反心理，充分发挥学生的主体作用。⑤零碎的、杂乱的、无系统的知识是不可能巩固的。因此，学生获得有系统的知识是知识巩固的又一必要条件，它要求教师在教学时注意概念形成过程，讲清命题间的逻辑关系等。教学必须条理清晰、前后联系、层次分明，给学生系统知识，使其深刻理解知识，达到巩固的目的。[问答题]13.什么是空间观念?举例说明在教学中应该怎样培养学生的空间想象能力?参考答案：无参考解析：空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体：想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。(1)让学生学好有关反映空间观念的课程内容和有关空间形式的数学基础知识：如三角形、平行四边形的概念性质等等；(2)从学生的认识规律入手，通过实物或模型的观察、解剖、分析、制作等实践活动，形成学生的空间观念。如平行四边形的判定，先做一个模型得到结论再利用定义和已学习过的去证明：(3)培养学生看图能力，教给学生正确的画图规律和方法，是培养学生的观察力和空间想象能力的主要途径之一；如对称图形的画法、全等的画法：(4)通过平面图形折叠的教学培养学生的空间想象能力：(5)通过变式教学强化空间观念；(6)通过对多面体和旋转体的侧面展开、组合、切割、运动来提高学生的空间想象能力；(7)加强对几何体截面的教学，提高空间想象能力。[问答题]14.合情推理包括归纳推理和类比推理，请举例说明归纳推理和类比推理在数学教学中的运用，并论述二者之间的关系。参考答案：无参考解析：归纳推理是由某类事物的不同对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理。它是由部分到整体，由特殊到一般的推理，思维过程大致为由“实验、观察”到“概括、推广”再到“猜测一般性结论”。例如，在学习“勾股定理”内容时，教师以直角三角形的二三边为边长分别向三角形外侧画出对应的正方形，让学生观察三个正方形面积的关系，再引导学生思考三个正方形面积的关系与直角j角形三边的关系，使其初步发现该直角三角形三边存在的关系，最后通过上述过程归纳出猜想，推广至一般性结论，即“勾股定理”。类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同或相似，从而推出它们的其他属性也相同或相似的推理。它是由特殊到特殊的推理，思维过程大致为由“观察、比较”到“联想、类推”再到“猜测新的结论”。例如，在学习“立体几何”内容时，可以类比“平面几何”的性质特征，立体几何与平面几何的许多概念、性质是相似的，类比“长方形的每一边恰好与其相对的边平行，而与其相邻的边垂直”可以推出“长方体的每一面恰好与其相对的面平行，而与其相邻的面垂直”。归纳推理和类比推理都属于合情推理，都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，之后进行归纳，类比，然后提出猜想的推理。从推理结论来看，二者所得结论均不一定正确，有待进一步证明。合情推理是指“合乎情理”的推理，在数学的研究中，得到一个新结论之前所做的推理，归纳推理和类比推理常常帮助我们猜测和发现结论，为我们提供证明新结论的思路和方向。[问答题]15.通过各种载体增强学生的数学应用意识，可以有效地激发学生将数学知识应用于实践的积极性，提高他们利用数学知识解决问题的能力。函数作为一种重要的数学模型，用函数模型解决实际问题可以建立的模型是多种多样的。请说明如何建立函数模型以解决实际问题。参考答案：无参考解析：培养学生的数学应用意识，要引导学生用学过的数学知识和思想方法去认识和解决实际生活中遇到的问题。函数建模问题，也就是根据实际问题建立起数学模型，只有根据题目的要求建立适当的函数模型，才能成功地解决问题。建立函数模型的一般步骤如下。①抽象概括题意：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速准确地弄清数据之间的关系，数据的单位等；研究实际问题中的变量，确定变量之间的主、被动关系，并用x，y分别表示问题中的变量。②建立函数模型：正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数模型的过程主要是抓住某些变量之间的相等关系列出函数关系式，并将变量y表示为变量x的函数，分析确定函数表达式属于哪种函数模型。③求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数表达式的结构特点，正确选择函数知识求得函数模型的解。主要是计算函数的特殊值，研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值，注意发挥函数图像的作用。④验证结果：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科特点，又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题进行检验、评判，最后得出结论，做出回答。[问答题]16.类比思想是一种重要的数学思想，不仅可以在很多知识的理解与掌握上发挥作用，在解决很多实际问题时，这种数学思想的作用也能够很好地得到体现。请谈谈在教学过程中，类比思想对数学学习有哪些帮助?参考答案：无参考解析：在数学课堂上，教师恰当地运用类比思想，可以促进学生对知识的理解与吸收，能够加深学生的知识掌握程度，提高其知识应用能力。①概念形成中的有效类比概念教学是理论知识教学的重要组成，在概念教学中，教师可以充分利用类比思想作为辅助。中学数学中很多知识点存在相似性，教师可以灵活地运用类比思想来辅助理论知识的教学，并且在比较与联系的过程中来帮助学生构建知识体系，充分发挥类比教学的功效，极大地促进学生对概念的理解与吸收。②知识整合时的有效类比教师可以引导学生以类比的形式来实现对于新知识点的理解与吸收，也可以让学生在知识点间的类比与对照中更好地认识知识点的实质，以及相互间的差异，这些都是很有效的教学过程，不仅能够帮助学生实现知识的良好整合，也会保障学生对于每一个具体的知识点都有更好的理解与掌握。③问题解决时的类比探究在很多实际问题的解答中，培养学生掌握问题解决的方法是教学的核心，这也是学生知识应用能力的一种良好体现。教师可以有意识地开展对于类比思想的应用，可以让学生在问题解答时类比一些有效的思想方法，并且通过解题技巧的迁移来化解很多实际问题。这是一种很好的教学策略。让学生学会用类比的思想来解决很多实际问题，这会极大地提升学生的知识应用与实践能力。[问答题]17.某教师在进行二元一次方程教学时，给学生出了如下一道练习题：已知a，b是方程X2+(k-1)x+k+1=0的两个根且a，b是某直角三角形的两条直角边，其斜边长等于1，求k的值。某学生的解答过程如下：解：∵a，b是方程x2+(k-1)x+k+1=0的两个根，∴a+b=1-k，ab=k+1，又由已知得：a2+b2=1，∴(a+b)2-2ab=1，即k2-4k-2=0，解得问题：(1)指出该生解题过程中的错误，分析其错误原因；(7分)(2)给出你的正确解答；(8分)(3)指出你解题所运用的数学思想方法。(5分)参考答案：无参考解析：(1)错解分析：该生在解题过程中忽视了题目中的隐含条件，即a，b是某直角三角形的两条直角边，故必有，这是不合题意的，应舍去。(2)正确解答：∵a，b既是方程的两根，又是直角三角形的两直角边，.。.a>0，b>0，a+b>0，ab>0。由一元二次方程根与系数的关系得，a+b=1-k，ab=k+1，①又由已知得，n2+b21，②当当(3)在解题过程中运用了分类讨论的思想。[问答题]18.用火柴搭正方形，搭l个正方形需要4根火柴棒。(1)按图示方式搭2个正方形需要几根火柴棒?搭3个正方形需要几根火柴棒?(2)搭10个正方形需要几根火柴棒?(3)100个正方形呢?你是怎样得到的?(4)如果用x表示搭正方形的个数，那么搭x个这样的正方形需要多少根火柴棒?与同伴交流。结合上述案例，回答下面的问题：(1)请试着解第(4)个问题，尽可能有多种解法；简要分析“多样化”的解题策略设计的作用；(10分)(2)一个好的课堂活动可以促进学生多方面发展。结合本案例，简要论述数学教学中应如何体现教材学习目标。(10分)参考答案：无参考解析：(1)解法有：①第一个正方形用4根，以后每一个正方形都有3根，那么搭x个正方形需要[4+3(x-1)]根；②因为除第一个正方形外，其余正方形都只用3根，如果把第一个也看成3根，x个正方形就需要(3x+1)根；③上面和下面一排各用了X根，竖直方向用了(x+1)根，于是正方形就需要[x+x+(x+1)]根；④把每个正方形都看成4根搭成，但除了第一个正方形需要4根，其余(x-1)个正方形多用了1根，应减去，于是得到[4x-(x-1)]根。策略设计的作用：鼓励学生解题多样化，这样能够充分体现以学生发展为本，把思考的时间和空间留给学生。(2)①加强过程性，注重过程性目标的生成；②增强活动性，力图情感目标的达成；③加强层次性，促进知识技能、思想方法的掌握与提高；④加强现实性，发展学生的数学应用意识；⑤突出差异性，使所有学生都得到相应的发展等。[问答题]19.下面是某位老师引入“负数”概念的教学片段。师：我们当地7月份的平均气温是零上28℃，1月份的平均气温是零下3℃，问7月份的平均气温比1月份的平均气温高几度?如何列式计算?生：用零上28℃减去零下3℃，得到的答案是31℃。师：答案没错，算式呢?生：文字与数字混在一起，一点也不美观。生：零上28℃，我们常说成28℃，可用28表示，但是零下3℃不能说成3℃呀！也就不能用3表示。师：大家的发言很有道理，如何解决这一系列的矛盾呢?看样子有必要引入一个新数来表示零下3c℃。这时，零下3℃就可写成-3℃，-3就是负数。问题：(1)对该教师情境创设的合理性作出解释；(2)在引入数学概念时，结合上述案例，说说教师创设情境要考虑哪些因素？参考答案：无参考解析：(1)在这段教学中，教师没有将负数的概念强压给学生，而是设计了计算温度这个情境，让学生自己参与计算活动，发现其中的困惑，从而产生学习新数学概念的意愿。教师只是从中提炼出学生的想法，并进一步上升为数学知识——负数。这样，负数概念的提出，成为了学生的自觉行为。学生对负数概念的引入有了较深的思想基础，就会认识到学习负数的必要性，为学好负数奠定了基础。(2)引入数学概念是教学的开始，学生能否掌握好这个概念，与教师引入的艺术是密切联系的。因此，在引入数学概念时，要考虑下面的因素。①学习的必要性。引入新概念时，教师应创设一个引入概念的情境，让学生在情境中领会概念产生的必要性。②内容的实质性。引入数学概念时，教师所选用的实例要反映概念的本质，不要让太多的无关因素干扰了学生学习的注意力，影响数学概念的形成。③数量的适量性。在引入概念时，教师一般要举出一些例子，以便加深学生对概念的初步认识。④实例的趣味性。教师在选用例子进行概念教学时，要注意例子的生动有趣，要能引发学生的学习兴趣。教师要尽量结合学生的生活实际或者选择学生非常熟悉与非常感兴趣的问题作为例子。[问答题]20.下面是教师讲授“探索并了解：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等”的教学片段。①发现结论。在透明纸上画出如图1的图：设PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点。让学生操作：沿直线OP将图形对折，启发学生思考，组织学生交流，使学生发现：PA=PB，∠APO=∠BP0。②证明结论。如图2，连结OA和OB。因为以和PB是(D0的切线，所以∠PAO=∠PBO=900，即△PAD与△PBD均为直角三角形。又因为OA=OB、OP=OP，所以△POA和APOB全等。于是有PA=PB，∠APO=A_BP0。问题：(1)以上教学过程中，用到了哪两种推理方法；(4分)(2)结合案例简要阐述这两种推理方法的异同点及二者的作用；(8分)(3)写出你对上述教学过程的反思。(8分)参考答案：无参考解析：(1)过程①运用了合情推理，过程②运用了演绎推理。(2)合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某种结果；演绎推理是从已有的事实(包括定义、公理、定理等)和确定的规则(包括运算的定义、法则、顺序等)出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。(3)教师教学应当以学生为主体，结合使用两种推理方法，发挥两种方法的优势，引导学生自主观察、思考、归纳、总结，帮助学生更好地学习知识、培养能力。[问答题]21.两位学生分别在实数范围内解方程x2+3x-4=0和x4+3x2-4=0。第一位学生的解法如下：x2+3x-4=0(x-1)(x+4)=Ox-1=0或x+4=Ox1=1，x2=-4第二位学生的解法如下：x4+3x2-4=0令x2=y.原方程变成y2+3y-4=O(y-1)(y+4)=0y1=1，y2=-4(舍去)由x2=1得x=±1根据以上材料，回答下列问题：(1)这两位学生在解方程时分别运用了什么数学方法?(6分)(2)这些方法体现了数学思想是什么?请对该数学思想进行简要的描述。(6分)(3)如果用某种型号的代数计算器解以上两个方程，学生只需输入x2+3x-4=0和x4+3x2=0，在功能菜单中选择“解方程”然后按回车键。屏幕上就会出现方程的解。请问，如果从渗透数学思想方法的角度看，应如何在教学中让学生合理使用计算器?(8分)参考答案：无参考解析：(1)第一名学生利用了分解因式中的十字相乘法；第二名学生除了十字相乘法外，还利用了换元法。(2)这些方法体现了转化与化归的思想。转化与化归的思想是将一个问题由难变易，由繁化简，由复杂化简单的过程。(3)当学生掌握了利用转化与化归思想解一般方程后，列举出一些不能用分解因式法来解决的方程，在学生比较迷茫时.向学生介绍计算器解方程，并让学生观察方程解的特点；与学生一起讨论区分需要用计算器来求解的方程的特点。最后，让学生体会利用数学思想和计算器解方程这两种方法的优缺点从而能够合理使用计算器。[问答题]22.下面是数学教师王老师在一节习题课上的教学片段：(学生思考后回答)师：谁来说一下怎么化简?师：很好，说明你已经熟练掌握了分母有理化的一般方法，把你的化简过程写在黑板上。师：大家想想有没有其他做法。师：你的思维已经转向了分析，又联想到因式分解，很好!把你的化简过程也写在黑板上。师：好的，两位同学的解法都写在了黑板上，大家比较这两种解法，看看两种解法都正确吗?问题：(1)判断学生1和学生2的解法正确吗?并说明理由。(10分)(2)如果你是该教师，如何完成后续的教学?(10分)参考答案：无参考解析：(1)虽然两位学生的计算结果都是在分母有理化的时候分子分母如果a=b，这一步就不符合分式的运算性质，即学生1的解法有逻辑错误。学生2的解法是正确的。大家觉得有什么问题吗?可以大胆地说出来。学生一脸茫然。师：学生1和学生2你们都想想自己的解法，过程中有没有不合理的地方?(学生们在相互讨论着，但都说不上来)师：两种解法的计算都只有两步，大家一步一步地看，联想分式的运算性质，细细琢磨琢磨。(这时，学生1突然有了灵感)学生1：老师，我知道我哪里错了。在我的解法0。而分式的运算性质是，分子分母同时乘以一个不为零的数，分式的值不变。这一步错了，没有考虑a=b的情况。(学生1说完，大家都恍然大悟)师：太棒了，自己发现了自己的问题。是的，问题就在这儿。学生2的解法是正确的。师：大家都明白了吧，在计算的过程中很多时候看着正确，细细探究却是有问题的，这个时候就不能相信直觉，而是要有严密的逻辑思维。在数学的推理计算过程中，每一步都要有理有据、合情合理，即使再简单的过程都是有依据的，大家要养成多问自己“为什么可以这样做”的习惯，培养严谨的思维习惯。[问答题]23.案例：阅读下列两个教师有关有理数乘方的教学片段。甲教师导入的教学过程：在大屏幕上依次呈现问题1(已知正方形的边长为a，则它的面积是多少?)和问题2(已知正方体的棱长为a，则它的体积是多少?)一待同学回答后，教师出示结果：边长为a的正方形的面积为a·a，简记作a2，读作a的平方(或二次方)；棱长为a的正方体的体积为a·a·a，简记作a3，读作a的立方(或三次方)。然后提出问题3：请大家动手折一折，一张报纸对折一次后，报纸有几层?如果对折两次、三次呢?每一次对折后的层数与上一次对折层数的关系是什么?层数和对折的次数之间有什么关系?学生折叠并思考，教师巡视并提问一归纳：每一次对折后的层数都是上一次对折层数的2倍。概括层数和对折次数的关系及表示方法，填入下表中：接下来，甲教师引出乘方的相关概念(大屏幕显示)：一般地，把n个相同的因数a相乘的运算叫作乘方运算，把a·a·a·…·a(n个a)简记作an，读作a的n次方。由此引出乘方、底数、指数、幂的概念。乙教师导入的教学过程：在大屏幕上呈现问题：某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，经过5小时，这种细胞由1个可以分裂成多少个?引导学生思考：分裂的次数与细胞的个数之间有什么关系?并完成下表：由此，引出乘方、底数、指数、幂的概念。问题：(1)分析甲、乙两位教师导入的相同点；(10分)(2)分析甲、乙两位教师导人中存在的问题。(10分)参考答案：无参考解析：(1)甲教师的导入是由学生的已有经验(问题1和问题2)出发，通过问题3引出了乘方的相关概念。乙教师的导入是由细胞学的分裂实例，直接给出了乘方的相关概念。两位教师导入的共同点是导入简洁、快速。(2)甲、乙两位教师的导入有三点不足：①没有突出为什么引入乘方运算。事实上，数的算式和算法的发展都与原算式或原算法不满足实际的需要及其内部的矛盾运动有关。当相同的因数相乘运算有大量需求，且因数的个数很多时，造成相同的因数相乘的算式和算法的冗繁，此时创造一种新的运算势在必行。乘方运算的创造，充分表明了数的运算发展从量变到质变的辩证过程。教师可通过适当的活动，渗透这一辩证观点。同时通过对概念引入必要性的体验，诱发学生的内部学习动机。②由2n直接给出an，不仅使学生缺失了一次归纳概括的机会，而且也易使学生误以为底数a为正数。即使后面的练习有底数a为负数的，但先人为主(首因效应)，使得部分学生对乘方运算的理解不完整。③没有让学生探究乘方运算记法的合理性。数学符号语言简洁、抽象的美，没有教师的点拨，学生是很难自主发现的。通过探究乘方运算记法的合理性，使学生对这种记法有较深刻的认识，避免一些无谓的错误，同时感受到数学家的智慧和数学符号语言的美。[问答题]24.案例：李老师在进行“二元一次方程组”的教学时，给学生出了-道练习题：问题：(1)请指出该生在哪一步出现错误，并分析产生错误的原因；(4分)(2)给出正确的解答过程；(6分)(3)如何防范学生出现这样的错误?(10分)参考答案：无参考解析：(1)该生在第一步就出现错误了。出现错误的原因是对二元一次方程组的加减消元法以及代数式的合并同类项知识点掌握不扎实，由①一②应得到3y=3。(2)正确的解答过程如下：解：①一②得2x+y-(2x-2y)=3即3y=3，y=1，把y=1代入①中得2x+1=5，则x=2。(3)材料中学生出现错误是由于对二元一次方程组的加减消元法以及合并同类项等知识点掌握不扎实，粗心大意导致的。为防范学生出现这种错误，可采用以下方法：①教师在教学过程中可以设置相应的例题，师生一起观察并解答题目，通过对方程组中的未知数的观察和分析，明确解二元一次方程组的主要思路是“消元”，培养学生的观察能力，注重学生在教学活动中的主体地位；②通过运用加减消元法、代入消元法解二元一次方程组的训练，选用合理、简捷的方法解方程组，培养学生的运算能力；③得出最终的计算结果后，将结果代入二元一次方程中，检验结果是否正确，将x，y的值代入到方程组中，如果等式两边相等，则说明计算结果正确；如果等式两边不相等，则说明结果错误，需要重新计算。[问答题]25.案例：在进行《同底数幂的运算》这一教学内容的拓展课时，同-道题目两位教师采用了不同的教学方法，下面分别是教师甲和教师乙的教学片段。【教师甲】师：现在我要用-道抢答题来考考你们，已知三个数字2，3，4，你能从中任取两个数字组成算式，使其运算结果最大吗?(有人脱口而出3X4=12)师(微笑而不作答)：想想我们都学过了哪些运算?(停顿)生1：4的3次方!生2：不对，是3的4次方!(其他同学点头表示认同)师：3的4次方这里进行的是什么运算呢?这里的3叫作什么?4叫作什么?生：幂运算，3叫作底数，4叫作指数。师：那这三个数还能组成哪些幂呢?学生进行小组讨论。【教师乙】师：根据上节课的学习，现在给大家出-道题：已知有三个数字，2，3，4，任取其中两个数组成算式，最大的组合是哪个?这里老师先把可能的结果罗列出来，大家进行判断。可能的结果有2×3，2×4，3×4，23，24，32，34，43，42，大家可以计算出哪个最大?生1：3×4=12(脱口而出)师：抬手示意其坐下没有进行理会：学生经过计算后得到3的4次方是最大的：师：那么现在给出大家1，3，5这三个数，同样是任取其中两个数组成算式，哪个算式最大呢?小组交流讨论。(教师乙在小组交流时进行巡视，并参与到各小组的交流中进行指点)(1)《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出，“有效的数学活动是教师教与学生学的统一”，教师应成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者。请说明这两位教师的教学是否符合要求?(8分)(2)请说明组织数学探究活动时，需要注意哪些事项?(12分)参考答案：无参考解析：(1)教师甲在教学过程中，落实了课标中的要求。教师甲组织学生进行小组讨论，这体现了教师是学生活动的组织者，在最初的题目设置上，教师甲提出铺垫性问题，引导学生去思考，对问题不断地分析，引领学生突破惯性思维，注重学生的思考和动脑能力，加深对知识点的理解，巩固所学知识，在这点上体现了教师甲的引导者角色，但教师甲的提问过程过于详细，从而限制了学生的发散思维，除此之外，教师甲也没有对学生进行明确的分组并参与到其讨论中，所以教师甲在身为组织者和合作者方面存在不足。教师乙在教学过程中缺乏对授课过程中实际情况的应急处理，而且没有引导学生对题目进一步思考，把可能结果自行罗列，不利于发展学生的创新思维，限制了学生的思考，所以教师乙在身为组织者和引导者方面存在不足，但是当学生进行小组讨论时，教师乙能够进行巡视指导并参与到学生的讨论之中，在学生思路受阻时给以一定的引导，体现了教师是学生活动的组织者和合作者。(2)组织数学探究活动，需要注意以下事项。①探究活动内容的选择要合理。要使探究活动更有效，需要发现和提出有意义的数学问题，同时探究内容要有激发性，也就是说，探究的问题能激发学生的探究欲望，问题的设置要在学生的“最近发展区”。②探究活动的指导要合理。在探究活动中，教师要扮演好组织者、引导者、合作者的角色。首先要给学生创设探究的情境，其次要保证学生有探究的时间，再次探究活动并不是让学生毫无节制的谈论，而是精心编制的教学活动，所以教师不能孤立于学生之外，要及时进行指导，并对学生的探究结果做出合理的评价。③在探究活动中，正确处理教师引导和学生探究的关系。学生作为探究活动的主体，需要通过自己的探究去发现新知识。教师作为引导者要发挥引导的作用，既要在学生脱离主题的时候，适时地引导方向，又不能过分地牵制学生的思想，造成“伪探究”的现象，还要注重学生的参与程度，让每个学生体验参与活动的乐趣。[问答题]26.案例：下面是某学生的作业：按要求进行计算并说明理由，的算术平方根是什么?参考答案：无参考解析：(1)①第一题中等于4，因此可以将题目理解为4的算术平方根是什么?结果应为2；②第二题中等于2，因此可以将题目理解为2的平方根是什么?结果应为。该生出现错误的原因：读题过程中对题目的审读不够严谨；未能掌握和理解平方根的概念，平方根与算术平方根概念混淆。(2)一般解法如下：①仔细审读题目，一字一句读清楚读明白，理清题意，若遇到题目中含有根式，一定要化到最简形式；②第一个题目中=4，化简后是4的算术平方根是多少?=2，且算术平方根为正值，不含负值，故为2。第二个题目中,=2，化简后是2的平方根是多少?2开根号为，因为平方根有正值也有负值，故结果为。(3)初中阶段常用到的数学思想方法主要有：①化归思想化归思想是在研究和解决某一数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化为简单问题，进而得以解决的一种思想方法。在根式的求解中可以应用到这种思想方法，将根式等值变换到最简形式，再对题目进行求解，比如的算术平方根是多少?将根式化到最简，即16的算术平方根是多少?故结果为4。②类比思想类比推理在人们认识和改造客观世界的活动中具有重要意义，它能触类旁通，启发思考，不仅是解决日常生活中大量问题的基础，而且是进行科学研究和发明创造的有力工具。比如在二次根式的加减运算中，指出“合并同类二次根式与合并同类项”相类似，因此二次根式的加减可以对比整式的加减，例如：。③分类思想分类思想主要是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。在根式的计算中，我们可以将其划为算术平方根和平方根两类，比如的算术平方根是2，平方根是±2。[问答题]27.下面是数学教师王老师在一节习题课上的教学片段。师：下面大家看这道题。(黑板上出示题目：化简。)大家思考-分钟。(学生思考后)师：谁来说一下怎么化简?学生A：老师，我的想法是分母有理化，分子分母同乘，分母就化成了a—b。师：很好，说明你已经熟练掌握分母有理化的一般方法。把你的化简过程写在黑板上。师：大家想想有没有其他做法。学生B：老师，这道题也可以这样做：将分子因式分解，a—b=()()，然后再约分。师：你的思维已经转向了分子，又联想到因式分解，很好!把你的化简过程也写在黑板上。师：好的，两位同学的解法都写在黑板上了，大家比较两种解法，给大家-分钟思考时间，看这两种解法都正确吗?问题：(1)判断学生A和学生B的解法正确吗?并说明理由；(8分)(2)如果你是王老师，请完成后续的教学。(12分)参考答案：无参考解析：1)虽然两位学生的计算结果都是，但学生A在分母有理化的时候分子分母同乘，如果a=b，这一步就不符合分式的运算性质，即学生A的解法有逻辑错误。学生B的解法是正确的。(2)教学过程师：两种解法的计算结果一样，都是，大家觉得有什么问题吗?可以大胆地说出来。教师预留时间供学生思考讨论，并做如下引导。师：分母有理化的时候分子、分母同乘，如果a=b，会出现什么问题?还符合分式的运算性质吗?预留时间供学生验证交流，之后进行小结。师：在计算的过程中很多时候看着正确，细细探究却是有问题的，这个时候就不能相信直觉，而是要有严密的逻辑思维。在数学的推理计算过程中，每一步都要有理有据、合情合理，即使再简单的过程都要有依据，大家要养成多问自己“为什么可以这样做”的习惯，培养严谨的思维习惯。[问答题]28.小学阶段学生已经学过了平均数的简单计算方法，在进行初中“平均数(第一课时)’’教学时，你将怎样开展教学，请完成下列任务：(1)写出本节课的教学目标；(10分)(2)写出本节课的教学重点及难点；(10分)(3)给出一个课程导入设计。(10分)参考答案：无参考解析：(1)知识与技能：了解数据的权和加权平均数的概念，掌握加权平均数的计算方法。会根据频数分布表求加权平均数，从而解决一些实际问题。过程与方法：经历在具体情境中理解并会计算加权平均数，培养将实际问题转化为数学问题的能念及其作用的理解。(3)某校八年级共有4个班，在一次数学考试中参考人数和成绩如下：求该校八年级在这次数学考试中的平均成绩?下述计算方法是否合理?为什么?=(79+80+81+82)=80.5。[问答题]29.在教初中数学七年级下册的“相交线”一课时，你将怎样开展教学，请完成以下任务：(1)本课的“过程与方法”的教学目标是什么?(7分)(2)本课的教学重点是什么?(7分)(3)在进行情境引入的时候，某位教师利用一张大桥的图画展示出其中包括的平行线和相交线，请问这样设置的目的是什么?(8分)(4)“对顶角相等”这句话学生很好理解，但说不清楚理由，教师应该怎样引导学生?(8分)参考答案：无参考解析：(1)过程与方法的教学目标：通过动手实践活动，探索邻补角与对顶角的位置和大小关系；通过对顶角相等这个结论的简单推理，培养逻辑思维能力。(2)教学重点：邻补角、对顶角的概念，对顶角的性质与应用。(3)通过学生熟悉的事物，直观形象地给出了生活中的平行线和相交线，激发了学生的学习兴趣。(4)教师可引导学生用“同角的补角相等”得出对顶角的性质。[问答题]30.针对“随机事件”起始课的教学。两位教师给出了如下教学设计片段：【教师甲】设置问题情境：下列问题哪些是必然发生的?哪些是不可能发生的?①太阳从西边下山；②某人的体温是100℃；③a2+b2=-1(其中a，b都是实数)；④水往低处流；⑤酸和碱反应生成盐和水；⑥三个人性别各不相同；⑦一元二次方程x2+2x+3=0无实数解。引发思考：把上面的事件①、④、⑤、⑦称为必然事件，把事件②、③、⑥称为不可能事件，提问：什么是必然事件?什么又是不可能事件呢?它们的特点各是什么?【教师乙】在日常生活中我们会发现有些事件是可能发生的，有些事件是不可能发生的，有些事件是必然发生的.在数学中我们怎样定义事件发生的可能性呢?今天就来学习必然事件、不可能事件的概念。请完成下列任务：(1)请分析两位教师引入“随机事件”概念设计方案的各自的特点；(12分)(2)请分析“随机事件”的重、难点；(6分)(3)在教学中，当引入一个新的数学概念之后，往往通过例题、习题加深对概念的理解。请针对“随机事件”概念，设计不同难度的两道例题和两道练习题，以加深学生对“随机事件”概念的理解。(12分)参考答案：无参考解析：教师甲的做法非常符合素质教育的要求的，首先，这几个事件都是学生能熟知的生活常识和学科知识，通过这些生动的、有趣的实例，自然地弓l出必然事件和不可能事件；其次，必然事件和不可能事件相对于随机事件来说，特征比较明显，学生容易判断，把它们首先提出来，符合由浅人深的理念，容易激发学生的学习积极性。概念的总结也让学生来完成，把课堂尽量多地还给学生，以此来体现自主学习，主动参与的理念。教师乙的做法相对教师甲来说，是有所欠缺的，没有给学生预设情境，通过总结性的语言，直接总结提出随机事件的概念，没有体现学生的主体地位，不能提高学生的学习积极性，也没有增加教学的趣味性和知识性，课堂整体会比较沉闷，教师只是一味地教，学生只是一味地学，没有体现出新课标的要求。(2)教学重难点重点：必然事件、不可能事件、随机事件的判断，随机事件的特点。难点：必然事件、不可能事件、随机事件的区别，对随机事件做出准确判断。(3)例题1：“从一堆牌中任意抽一张，抽到红牌”这一事件的发生情况?例题2：5名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序。签筒中有5根形状大小相同的纸签，上面分别标有出场的序号1，2，3，4，5。小军首先抽签，他在看不到纸签上的数字的情况从签筒中随机(任意)地取一根纸签。请考虑以下问题：①抽到的序号有几种可能的结果?②抽到的序号会是0吗?③抽到的序号小于6吗?④抽到的序号会是1吗?⑤你能列举与事件③相似的事件吗?练习1摸球游戏中小明的箱子里面都是红球，小麦的箱子里面都是黑球，小米的箱子里面有红球有黑球：问小明、小麦、小米三人每次一定能摸到红球吗?练习2指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件。①两直线平行，内错角相等；②刘翔再次打破110米栏的世界纪录；③打靶命中靶心；④掷一次骰子，向上一面是3点；⑤13个人中，至少有两个人出生的月份相同；⑥经过有信号灯的十字路口，遇见红灯；⑦在装有3个球的布袋里摸出4个球；⑧物体在重力的作用下自由下落；⑨抛掷一千枚硬币，全部正面朝上。[问答题]31.“变量与函数”是初中数学教学中的重要内容，请完成下列任务：(1)在“变量与函数”起始课的“教学重点”设计中，有两种方案：①强调认识变量、常量，用式子表示变量间关系。②强调能指出具体问题中的常量、变量。初步理解存在一类变量可以用函数方式来刻画。你赞同哪种方案?简述理由。(14分)(2)给出y=4x+6以及4x+6=0，则指出哪个是函数，如果是函数，它的变量是什么?常量是什么?(6分)(3)为了让初中生充分认识“变量与函数”中“变量”的概念，作为教师应该对此有深刻的理解，请谈谈你对“变量”概念的认识。(10分)参考答案：无参考解析：(1)我更赞同第二种方案，理由如下：①本节课定位为“变量与函数”的起始课，是引导学生从生活实例中抽象出常量、变量与函数等概念，其中函数的概念是本节核心内容。函数概念的核心是两个变量间的特殊对应关系：由哪一个变量确定另一个变量；唯一对应关系。如果直接研究某个量Y有一定困难，我们可以去研究另一个与之有关的量x，从而达到研究的目的，这也是一种化繁为简的转化思想。②从新课标的角度来看，数学课程标准是指导教师进行课程安排、课程设计难易度的标尺，借助简单实例，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量。初步理解存在一类变量可以用函数方式来刻画，能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系。初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系。③从教材的编写来看，从学生熟悉、感兴趣的实例引入课