初中数学湘教版九上4.1 第1课时 正弦 课件

4.1

正弦和余弦

第4章锐角三角函数第1课时正弦

为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌.先测得斜坡的坡角(∠A)为30°，为使

出水口的高度达到

35m，需要准备多

长的水管？情境引入30°正弦的概念

从上述情境中，你可以发现一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？ABC30°35m?合作探究ABC30°35m

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，求

AB.根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”，可知∴

AB=2BC=2×35=70(m).故需要准备70m长的水管.如果出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于.归纳：

任意画Rt△ABC

和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么与有什么关系？你能解释一下吗？ABCA'B'C'因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.所以

这说明，在有一个锐角等于

α

的所有直角三角形中，角α

的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.归纳：

如图，在直角三角形中，我们把锐角

α

的对边与斜边的比叫作∠

α

的正弦，记作sin

α

，即例如，当∠α

＝30°

时，我们有α

cab对边斜边归纳：

角

α

的对边斜边sin

α

=(2)∠B的对边是

AC，根据勾股定理，得

AC2=AB2-

BC2=52-

32=16.

例1

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=5.（1）求sinA

的值；（2）求sinB的值.ABC53典例精析解：(1)∠A的对边

BC=3，斜边

AB=5，于是因此于是

AC

=

4.sinA=()

sinA=()

1.如图，判断对错：A10m6mBC√×练一练sinB=()

×sinA=0.6()

sinB=0.8()

√√2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值()A.扩大100倍B.缩小C.不变D.不能确定C例

2

如图，在平面直角坐标系内有一点P(3，4)，连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值.解：如图，过点

P

作

PA⊥x轴于点

A，则点A(3，0)，AP=4．A(3，0)在Rt△APO中，由勾股定理得因此α方法总结：结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向

x轴或

y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.如图，已知点P的坐标是(a，b)，则sinα等于()OxyP(a，b)αA.B.C.D.练一练D正弦的简单应用例3

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=3，求sinB及Rt△ABC的面积.ABC提示：已知sinA

及∠A的对边BC的长度，可以求出斜边AB的长，然后再利用勾股定理，求出AC的长度，进而求出sinB及Rt△ABC的面积.解：∵∠C=90°，∴∴

AB=3BC=3×3=9.∴∴∴

在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=k，sinB=h，AB=c，则BC=ck，AC=ch.

在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=k，sinB=h，BC=a，则AB=AC=归纳：1.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则

AB的长为

()DA.4B.6C.8D.102.

在△ABC

中，∠C

=90°，如果sin

A=，AB

=

6，那么

BC

=_____.2练一练例

4

在△ABC中，∠C

=

90°，AC

=

24

cm，sinA

=，求这个三角形的周长．解：由sinA=，设

BC=7xcm，则

AB=25xcm.即24x=24，解得x=1.故BC=7x=7cm，AB=25x=25cm.∴△ABC的周长为BC+AC+AB=7+24+25=56(cm).在Rt△ABC中，由勾股定理得方法总结：已知一边及其邻角的正弦值时，一般需结合方程思想和勾股定理解决问题.1.在直角三角形ABC中，若三边长都扩大为原来的2倍，则锐角A的正弦值将

(

)A.扩大为原来的2倍B.不变

C.缩小为原来的D.无法确定B2.如图，在△ABC中，∠B=90°，sinA的值为(

)7ACB3A.B.

C.D.A3.如图，在正方形网格中有△ABC，则sin∠ABC

的值为

.解析：∵AB＝，BC＝，AC＝，∴AB2＝BC2＋AC2．∴∠ACB＝90°．∴

sin∠ABC＝5.如图，在△ABC中，AB=BC=5，sinA=，求△ABC的面积.D55CBA解：作

BD⊥AC于点

D．∵sin

A=，∴又∵AB

=AC，BD⊥AC，∴AC=2AD=6，∴S△ABC=AC·BD÷2=12.6.

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB.(1)sinB可以由哪两条