第三章 刚体的定轴转动

第三章刚体的定轴转动第1页，课件共75页，创作于2023年2月一、刚体的基本运动形式刚体：在讨论问题时可以忽略由于受力而引起的形状和体积的改变的理想模型。平动：刚体内部任意两点之间的连线在整个运动过程中始终保持平行转动：刚体内各质点绕某一轴线作圆周运动，这根轴叫转轴，如地球的自转等。若转轴在空间的位置固定不动，则这种转动叫定轴转动。1、基本运动形式：质心的平动加绕质心的转动第2页，课件共75页，创作于2023年2月2、定轴转动的运动描述①

刚体中各质点都在垂直转轴的平面内作圆周运动。②

各质点作圆周运动的半径不同，但它们在相同的时间内，绕转轴转过的角度是相同的。3、独立坐标的选取θFR（1）、刚体定轴转动的特征选θ为独立坐标叫角坐标。第3页，课件共75页，创作于2023年2月（1）

角位置θθFR

Δθ叫角位移，单位为弧度。（3）角加速度4、描述刚体定轴转动的物理量设t时刻P点角位置为θ，t+Δθ时刻P点角位置为θ＋Δθ单位为rad/s2（2）

角速度ω第4页，课件共75页，创作于2023年2月

ω＝恒量，θ－θ0＝ωt5、定轴转动的特例（1）、匀角速转动（2）、匀角加速运动β＝恒量dω＝βdtθ=βt2/2+ω0t+θ0ω2－ω02＝2β（θ－θ0）第5页，课件共75页，创作于2023年2月6、角速度矢量

2、ω矢量（1）、引入ω矢量的目的①、反应刚体定轴转动的方向②因为在圆周运动中，V＝ωr,因为r、V是矢量，V、r相互垂直，所以引入ω矢量才能将矢量V表示出来。第6页，课件共75页，创作于2023年2月二、力矩转动定律θF1RF2FθrF

（1）、定义中学定义M＝d=Frsinθ（2）、矢量式2、空间力对轴的力矩可将F分解为位于转动平面内的力F2和垂直于转动平面内的力F1，即F＝F1＋F2，因为F1对轴的力矩为零，故F为空间力时，F中对刚体定轴转动状态变化有贡献的只有位于转动平面内的分力，故一般运算时，应将F理解为位于转动平面内的力。（二）、力矩1、力矩第7页，课件共75页，创作于2023年2月设想有图示的装置，ABC是一刚性的T型金属杆，e1、e2是两个可移动、可固定的金属小球，质量分别为m、m1、m2。e1、e2紧靠DC并固定。即整个系统质量分布不变，现用不同的力去搓DC，即对轴施加了不同的力矩。设加较小的力矩时，使ω在一秒内从0→ω1，即AB系统的β＝ω1/t1=ω1。现在改用较大的力去搓，即加大力矩，同样在1秒内使ω从0→ω2，即系统的β＝ω2/t2=ω2。显见，β2＞β1。这说明在质量分布一定的情况下，β∝M。3、多力对轴的力矩θF2F1F3R

规定使刚体逆时针转动的力矩为正，反之为负则

M合＝f1d1＋f3d3－f2d24、单位mN（二）、转动定律定性分析1、定性分析

e1e2AB第8页，课件共75页，创作于2023年2月

用恒力去搓DC，即M一定，改变e1、e2的位置。显然可见，e1、e2越远离DC轴，β值越小，这说明，在M一定的情况下，β与系统的质量、质量分布有关。e1e2第9页，课件共75页，创作于2023年2月OirizFi

mifiFitfit2、定量分析对

mi用牛顿第二定律：切向分量式为：Fit+fit=

miait=

miri

切向分力与圆的半径及转轴三者互相垂直两边乘以ri,有：Fitri

+fitri

=

miri2

外力矩内力矩第10页，课件共75页，创作于2023年2月对所有质元的同样的式子求和：∑Fitri

+∑fitri

=∑

miri2

一对内力的力矩之和为零，所以有∑Fitri

=（∑

miri2）

令J＝∑

miri2J为刚体对于转轴的转动惯量用M表示∑Fitri

（合外力矩）则有即刚体定轴转动的转动定律fijmjmifjirorjriOiZM＝J

第11页，课件共75页，创作于2023年2月刚体所受的对于某一固定转动轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。M＝J

与地位相当m反映质点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性三、转动惯量的计算1、与转动惯量有关的因素：刚体的质量转轴的位置刚体的形状实质与转动惯量有关的只有前两个因素。形状即质量分布，与转轴的位置结合决定转轴到每个质元的矢径。第12页，课件共75页，创作于2023年2月若质量连续分布在（SI）中，J的单位：kgm2dm为质量元，简称质元。其计算方法如下：质量为线分布质量为面分布质量为体分布其中、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。线分布面分布体分布第13页，课件共75页，创作于2023年2月例3－2、求质量为m、半径为R、厚为l的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为r宽为dr的薄圆环,可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2/2。第14页，课件共75页，创作于2023年2月例3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。ABLXL/2ABL/2CX解：取如图坐标，dm=dx第15页，课件共75页，创作于2023年2月2、平行轴定理前例中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量，JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2。可见：推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为J，则有：J＝JC＋md2。这个结论称为平行轴定理。第16页，课件共75页，创作于2023年2月右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、圆半径为R）第17页，课件共75页，创作于2023年2月四、刚体定轴转动的转动定律的应用例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为ｍ的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体ｍ由静止下落高度ｈ时的速度和此时滑轮的角速度。mg解：第18页，课件共75页，创作于2023年2月例2、一个飞轮的质量为69kg，半径为0.25m,正在以每分1000转的转速转动。现在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀减速而最后停下来。求闸瓦对轮子的压力N为多大？F

0第19页，课件共75页，创作于2023年2月解：飞轮制动时有角加速度外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。

0Nfr第20页，课件共75页，创作于2023年2月例3、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆

角时的角加速度和角速度。解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对O的力矩。棒上取质元dm,当棒处在下摆

角时，重力矩为：

XOdmgdmx第21页，课件共75页，创作于2023年2月重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产生的力矩一样。mgC

dmgXOdmxc第22页，课件共75页，创作于2023年2月第23页，课件共75页，创作于2023年2月五、转动中的功和能1、力矩的功力矩对转动物体作的功等于相应力矩和角位移的乘积。称为力矩的功。xOrvFP

drd第24页，课件共75页，创作于2023年2月2、刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能变化的原因可以用力矩做功的效果来解释。刚体上所有质元的动能之和为：将定轴转动的转动定律两边乘以d

再同时对

积分有:第25页，课件共75页，创作于2023年2月合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于刚体的转动动能的增量。上式即为：这个结论称为定轴转动的动能定理。第26页，课件共75页，创作于2023年2月3、刚体的重力势能hhihcxOmCm一个质元：整个刚体：一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质量都集中在质心时所具有的势能。4、机械能守恒对于含有刚体的系统,如果在运动过程中只有保守内力作功,则此系统的机械能守恒。第27页，课件共75页，创作于2023年2月例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为ｍ的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体ｍ由静止下落高度ｈ时的速度和此时滑轮的角速度。解：据机械能守恒定律：上次的例题另解如下：第28页，课件共75页，创作于2023年2月六、刚体的角动量、角动量定理和角动量守恒定律1、刚体的角动量刚体上的一个质元,绕固定轴做圆周运动角动量为：质点对点的角动量为：所以刚体绕此轴的角动量为：刚体对固定转动轴的角动量L,等于它对该轴的转动惯量J和角速度

的乘积。第29页，课件共75页，创作于2023年2月2、刚体的角动量定理质点的角动量定理为：A：微分形式：对质点组讨论:对质点组中第i个质元:第30页，课件共75页，创作于2023年2月上一章曾得到一对内力的力矩之和为零，如图。刚体是特殊的质点组,在定轴转动中只考虑力矩和角动量平行于转轴的分量，设转轴为z轴,取角动量定理沿z轴的分量式有:ZfjimjmirorjriOifij第31页，课件共75页，创作于2023年2月在定轴转动中，可用标量表示：刚体定轴转动的转动定律实质是角动量定理的沿固定轴方向的分量式的一种特殊形式。B:积分形式左边为对某个固定轴的外力矩的作用在某段时间内的积累效果，称为冲量矩；右边为刚体对同一转动轴的角动量的增量。第32页，课件共75页，创作于2023年2月J也改变时,J不变时,3、角动量守恒定律L不变的两种情况：刚体：J不变非刚体：J

不变M=0的原因，可能F＝0；r=0;F∥r.在定轴转动中还有M≠0，但它与轴平行，即Mz=0,对定轴转动没有作用，则刚体对此轴的角动量依然守恒。第33页，课件共75页，创作于2023年2月

猫尾巴的功能第34页，课件共75页，创作于2023年2月例2、在一个较大无摩擦的平均半径为R的水平圆槽内，放有两个小球。质量分别为m和M。两球可在圆槽内自由滑动。现将一不计长度的压缩的轻弹簧置于两球之间，如图：(1)将弹簧压缩释放后，两球沿相反方向被射出，而弹簧本身仍留在原处不动。问小球将在槽内何处发生碰撞？(2)设压缩弹簧具有弹性势能E0，问小球射出后，经多少时间发生碰撞？第35页，课件共75页，创作于2023年2月R(1)将弹簧压缩释放后，两球沿相反方向被射出，而弹簧本身仍留在原处不动。问小球将在槽内何处发生碰撞？解：(1)设两小球被射出后的速度分别为

m和M，整个系统（弹簧与小球）所受合外力矩（对O轴）为0，根据角动量守恒有：第36页，课件共75页，创作于2023年2月(2)设压缩弹簧具有弹性势能E0，问小球射出后，经多少时间发生碰撞？R由此系统的机械能守恒有(2)解第37页，课件共75页，创作于2023年2月例3、如图所示,一质量为m的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度

。已知棒长为l,质量为M.v0vmM解:以f代表棒对子弹的阻力,对子弹有:子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩为：因,由两式得第38页，课件共75页，创作于2023年2月请问:子弹和棒的总动量守恒吗?为什么?总角动量守恒吗?若守恒,其方程应如何写?v0vmM第39页，课件共75页，创作于2023年2月图3－18例3－3如图3－18所示，有一质量为m1的均匀细棒，原先静止地平放在水平桌面上，它可以绕通过其端点o且与桌面垂直的固定轴转动，另有一质量为m2的水平运动的小滑块，从棒的侧面沿垂直于棒的方向与棒的另一端A相碰撞，并被棒反向弹回，设碰撞时间极短。已知小滑块碰撞前、后的速率分别为V和u，桌面与细棒的滑动摩擦系数为μ。求从碰撞到细棒停止运动所需的时间。第40页，课件共75页，创作于2023年2月图3－18解取细棒与小滑块为一系统，在短促的碰撞过程中，摩擦力矩的作用可忽略不计，系统对O轴的角动量守恒。设细棒长为l，碰撞后细棒的角速度为ω，则有式中J为细棒对O轴的转动惯量。碰撞后，细棒以角速度的开始绕O轴转动，在转动过程中，细棒受摩擦力矩作用。今取如图所示的坐标系Ox，则距O为x处，长为dx的细棒微段所受的摩擦力为第41页，课件共75页，创作于2023年2月图3－18它对O轴的摩擦力矩为则细棒所受的摩擦力矩为细棒绕O轴转动，由角动量定理可得第42页，课件共75页，创作于2023年2月图3－18代入（1）式，得细棒运动的时间为第43页，课件共75页，创作于2023年2月刚体转动习题课第44页，课件共75页，创作于2023年2月1.一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮，绳的两端分别悬有质量m1和m2的物体(m1<m2)，如图所示.绳与轮之间无相对滑动，某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳的张力[C]·o(A)处处相等.(B)左边大于右边.(C)右边大于左边.(D)无法判断.第45页，课件共75页，创作于2023年2月2.均匀细棒oA可绕通过其一端o而与棒垂直的水平固定光滑轴转动,如图所示.今使棒从水平位置由静止开始自由下落,在棒摆动到竖直位置的过程中,下列情况哪一种说法是正确的?(D)角速度从大到小,角加速度从小到大.(C)角速度从大到小,角加速度从大到小.(B)角速度从小到大,角加速度从小到大.(A)角速度从小到大,角加速度从大到小.[A]第46页，课件共75页，创作于2023年2月3.质量m为的小孩站在半径为R、转动惯量为J

的可以自由转动的水平平台边缘上(平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动).平台和小孩开始时均静止.当小孩突然一相对地面为v的速率沿台边缘逆时针走动时,则此平台相对地面旋转的角速度

为第47页，课件共75页，创作于2023年2月(C)

[A](D),逆时针方向,顺时针方向(A)

,逆时针方向(B),顺时针方向第48页，课件共75页，创作于2023年2月4.一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴o以角速度w按图示方向转动,若如图所示的情况那样,将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F沿盘面同时作用到盘上,则盘的角速度

w

[A]（A）必然增大;（B）必然减少;（C）不会改变;（D）如何变化,不能确定。第49页，课件共75页，创作于2023年2月5.一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、哑铃与转动平台组成的系统的[C]（A）机械能守恒,角动量守恒;（B）机械能守恒,角动量不守恒,（C）机械能不守恒,角动量守恒;（D）机械能不守恒,角动量不守恒.第50页，课件共75页，创作于2023年2月6.光滑的水平桌面上,有一长为2L、质量为m的匀质细杆,可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴自由转动,其转动惯量为mL2/3,起初杆静止,桌面上有两个质量均为m的小球,各自在垂直于杆的方向上,正对着杆的一端,以相同速率v相向运动,当两个小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后,与杆粘在一起转动,则这一系统碰撞后的转动角速度应为:

第51页，课件共75页，创作于2023年2月（D）[C]（A）（B）（C）

第52页，课件共75页，创作于2023年2月7.一块方板，可以以其一边为轴自由转动.最初板自由下垂.今有一小团粘土,垂直板面撞击方板并粘在板上,对粘土和方板系统，如果忽略空气阻力,在碰撞中守恒的量是:[B](A)动能.(B)绕木板转轴的角动量.(C)机械能.(D)动量.第53页，课件共75页，创作于2023年2月8.两个均质圆盘A和B的密度分别为

A和

B，若

A>

B，但两圆盘的质量与厚度相同，如两盘对通过盘心垂直于盘面轴的转动惯量各为JA和JB，则（A）JA>JB（B）JB>JA（C）JA=JB（D）JA、JB哪个大，不能确定。[B]第54页，课件共75页，创作于2023年2月9.人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的(A)动量不守恒，动能守恒。(B)动量守恒，动能不守恒。(C)角动量守恒，动能不守恒。(D)角动量不守恒，动能守恒。[

C]第55页，课件共75页，创作于2023年2月10.一轻绳绕过一定滑轮,滑轮轴光滑,滑轮的质量为M/4,均匀分布在其边缘上,绳子A端有一质量为M的人抓住了绳端,而在绳的另一端B系了一质量为M/4的重物,如图。已知滑轮对o轴的转动惯量J=MR2/4,设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时,绳与滑轮间无相对滑动,求B端重物上升的加速度？第56页，课件共75页，创作于2023年2月解：受力分析如图由题意a人=aB=a①②③④第57页，课件共75页，创作于2023年2月联立①②③④求解第58页，课件共75页，创作于2023年2月11.以30m·N的恒力矩作用在有固定轴的飞轮上,在10s内飞轮的转速由零增大到5rad/s,此时移去该力矩,飞轮因摩擦力距的作用经90s而停止,试计算此飞轮对其固定轴的转动惯量。①②第59页，课件共75页，创作于2023年2月③④②④①③,第60页，课件共75页，创作于2023年2月①②①②第61页，课件共75页，创作于2023年2月12.一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮,绳的两端分别挂着质量为2m和m的重物,如图所示,绳与滑轮间无相对滑动,滑轮轴光滑,两个定滑轮的转动惯量均为mr2/2,将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物组成的系统从静止释放,求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。第62页，课件共75页，创作于2023年2月①②③④⑤第63页，课件共75页，创作于2023年2月13.如图所示,一均匀细杆长为l,质量为m,平放在摩擦系数为

的水平桌面上,设开始时杆以角速度w0绕过中心o且垂直与桌面的轴转动,试求:（1）作用在杆的摩擦力矩;（2）经过多长时间杆才会停止转动。第64页，课件共75页，创作于2023年2月第65页，课件共75页，创作于2023年2月14.质量为m1、长为l的均匀细杆,静止平放在滑动摩擦系数为的水平桌面上,它可绕过其端点o且与桌面垂直的固定光滑轴转动,另有一水平运动的质量为m2的小滑块,从侧面垂直与杆的另一