二次函数与一元二次方程、不等式第1课时 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.3二次函数与一元二次方程、不等式第1课时一元二次不等式的解法随着网络的发展，上网已经是一种比较常见的休闲方式.某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家因特网服务公司可供选择，公司A每小时收费1.5元（不足1小时按1小时计算）；公司B的收费原则是在用户上网的第1小时内（含恰好1小时，下同）收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）.一般来说，一次上网的时间不会超过17小时，所以，不妨假设一次上网时间总小于17小时.那么，一次上网多长时间以内能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少？一、情境导入上述问题实际就是解不等式x2-5x＜0的问题.这一不等式有几个未知数，未知数的最高次数是多少？二、新知探究只有1个未知数，未知数的最高次数是2次.我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式.其一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0.探究一：一元二次不等式的定义在初中，我们已经学习过一元一次方程和一元一次不等式，以及一次函数的有关知识，那么这三者之间有什么关系吗？二、新知探究观察P点在直线上移动时，随着P的横坐标的变化，P的纵坐标有什么变化？你能得到哪些结论？探究二：一元二次不等式的解法（1）x轴是一条分界线，一次函数y=2x-7与x轴的交点是分界点.（2）y＞0的解即为y=2x-7在x轴上方的图象对应的x的范围；y=0的解即为y=2x-7与x轴交点的横坐标；y＜0的解即为y=2x-7在x轴下方的图象对应的x的范围.（3）写出2x-7＞0,2x-7=0,2x-7＜0的解.在这里我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系，利用这种联系，我们可以快速准确的求出一元一次不等式的解集.类似地，我们能否对一元二次不等式x2-5x＜0的求解与二次函数联系起来讨论，从而找到其求解方法呢？观察图形，思考下列问题：（1）当x为何值时，y=0？当x为何值时，y＞0？当x为何值时，y＜0？（2）方程x2-5x=0的解是

；不等式x2-5x＞0的解集是

；不等式x2-5x＜0的解集是

.

x=0或5

x＜0,或x＞5

0＜x＜5

x1=0,x2=5

{x|x＜0,或x＞5}{x|0＜x＜5}由一元二次不等式的一般形式可知，任何一个一元二次不等式，最后都可以化为ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）

的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数图象有关，即由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集.判别式△=b2-4acy=ax2+bx+c(a>0)的图象ax2+bx+c=0(a>0)的根ax2+bx+c>0(a>0)的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集△>0有两相异实根x1,x2(x1<x2){x|x<x1,或x>x2}{x|x1<x<x2

}△=0△<0有两相等实根x1=x2={x|x≠

}x1x2xyOyxO

R没有实根yxOx1二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

探究三：解一元二次不等式的一般步骤对于二次项系数a是负数的一元二次不等式，又如何求解呢？可以先把二次项系数a化为正数，再求解.一元二次不等式的求解过程，可以用框图表示出来：求解一元二次不等式的步骤：（1）化二次项系数a为正数；（2）算