初中分式讲义

分式的概念、运算及分式方程一、知识框架：二、知识概念：1.分式：形如，是整式，中含有字母且不等于0的整式叫做分式.其中叫做分式的分子，叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：8.整数指数幂：⑴（是正整数）⑵（是正整数）⑶（是正整数）⑷（，是正整数，）⑸（是正整数）⑹（，n是正整数）9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).模块一分式的概念为何值时，分式有意义？【巩固】⑴若分式有意义，则;⑵若分式无意义，则;解下列不等式：①；②【巩固】⑴解不等式；⑵解不等式.模块二分式的运算☞分式的化简求值裂项设为正整数，求证：.【巩固】化简：.【巩固】化简：化简：.【巩固】已知，，为实数，且，，，求.【巩固】化简：.☞分式的恒等变形部分分式下面的等式成立：，求、.【巩固】若代数式恰好能分解为两个二次整式的乘积(其中二次项系数均为1，且一次项系数相同)，则的最大值是.若，求、的值.【巩固】已知与的和等于，求，.分式恒等证明求证：【巩固】已知、、为三个不相等的实数，且，求证：.条件分式求值已知满足，则的值为（）A.1B.C.D.【巩固】设有理数都不为0，且，则的值为___________。分式与数论将写成两个因式的积，使它们的和为，求这两个式子。【巩固】求最大的正整数，使得能被整除。模块三分式的方程☞解分式方程解方程：【巩固】解方程：【巩固】解方程：☞分式方程的增根及根的讨论已知关于的方程有一个正整数解，求的取值范围．【巩固】当为何值时，关于的方程的解为负数？【巩固】关于的方程的解也是不等式组的一个解，求的取值范围☞一元一次分式方程的应用为响应低碳号召，李老师上班的交通方式由开汽车改为骑自行车．李老师家距学校10千米，由于汽车的速度是自行车速度的4倍，所以李老师每天比原来提前30分钟出发，才能按原来的时间到校，求李老师骑自行车的速度．【巩固】为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的倍．根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？【巩固】某铁路有一隧道，由A队单独施工，预计200天贯通．为了公路早日通车，由A，B两队同时施工，结果120天就贯通了．试问：如果由B队单独施工，需要多少天才能贯通？☞二元一次分式方程的应用“端午”节前，第一次爸爸去超市购买了大小、质量都相同的火腿粽子和豆沙粽子若干，放入不透明的盒中，此时随机取出火腿粽子的概率为；妈妈发现小亮喜欢吃的火腿粽子偏少，第二次妈妈又去买了同样的5只火腿粽子和1只豆沙粽子放入同一盒中，这时随机取出火腿粽子的概率为．（1）请计算出第一次爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只？（2）若妈妈从盒中取出火腿粽子4只、豆沙粽子6只送爷爷和奶奶后，再让小亮从盒中不放回地任取2只，问恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的概率是多少？（用字母和数字表示豆沙粽子和火腿粽子，用列清法计算）【巩固】内江市对城区沿江两岸的部分路段进行亮化工程建设，整个工程拟由甲、乙两个安装公司共同完成．从两个公司的业务资料看到：若两个公司合做，则恰好用12天完成；若甲、乙合做9天后，由甲再单独做5天也恰好完成．如果每天需要支付甲、乙两公司的工程费用分别为1.2万元和0.7万元．试问：（1）甲、乙两公司单独完成这项工程各需多少天？（2）要使整个工程费用不超过22.5万元，则乙公司最少应施工多少天？【巩固】用大、小两种货车运送360台机械设备，有三种运输方案．方案1：设备的12用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车27辆；方案2：设备的13用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车28辆；方案3：设备的23用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车26辆；（1）每辆大、小货车各可运送多少台机械设备？（2）如果每辆大货车的运费比每辆小货车的运费高m%（m＞0），请你从中选择一种方案，使得运费最低，并说明理由．☞分式方程组解分式方程组的关键就是利用换元法或者倒数法，将复杂的分式方程组转化为整式方程组，然后利用解整式方程组的方法进行求解，得到换元后的未知数的值，代入后得到的解．解方程组：【巩固】解方程组【巩固】解方程组：解方程，其中，，．【巩固】解方程组检测：【练习1】解方程【练习2】化简：【练习3】若对于以外的一切数，均成立，求.【练习4】若关于的恒等式中，为最简分式，且有，，求.【练习5】若，，，求证：【练习6】解方程组：课后作业SHAPE1.解方程2.解方程3.将化为部分分式.4.若，且，求的值．5.若，求证：.6.解方程组：章节复习1填空：（1）当x时，分式有意义。（2）当x时，分式有意义。（3）当b____时，分式有意义。（4）当x、y满足关系时，分式有意义。2下列变形正确的是（）（A）（B）（C）（D）下列各分式中，最简分式是（） A、B、C、D、3下列约分正确的是（） A、B、C、D、将分式EQ\F(EQ\F(1,2)x-y,EQ\F(x,5)+EQ\F(y,3))的分子和分母中的各项系数都化为整数，应为（）.（A）EQ\F(x-2y,3x+5y)（B）EQ\F(15x-15y,3x+5y)（C）EQ\F(15x-30y,6x+10y)（D）EQ\F(x-2y,5x+3y)4计算：(1)；(2)；(3)；(4)；5计算：（1）eq\f(2x,5x-3)÷eq\f(3,25x2-9)·eq\f(x,5x+3)（2）(eq\f(-2a2b,3c))2(3)(eq\f(a2b,-cd3))3÷eq\f(2a,d3)·(eq\f(c,2a))26计算：（1）eq\f(5x+3y,x2-y2)－eq\f(2x,x2-y2)(2)eq\f(1,2p+3q)+eq\f(1,2p-3q)(3)(4)7计算：8解方程9一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？真题演练1．下列各式与相等的是（）A.B.C.D.2．解分式方程+=，下列四步中，错误的一步是（）A．方程两边分式的最简公分母是x2-1;B．方程两边都乘以（x2-1），得整式方程2（x-1）+3（x+1）=6;C．解这个整式方程得：x=1D．原方程的解为x=1;3．若的值为-1,则x的值等于（）．A.-B.C.D.-4．分式方程=2的解为()A．x=4 B．x=3C．x=0 D．无解5、甲队在天内挖水渠米，乙队在天内挖水渠米，两队一起挖水渠米，需要的天数为（）A、B、C、D、以上均不对6、某大队要筑一条水坝，需要在规定日期内完成．如果由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，需要超过规定日期三天，现由甲、乙两队合作2天后，余下的工程由乙队独自去做，恰好在规定日期内完成，求规定日期为，下面所列的方程中，正确的是（）A、B、C、D、7．关于x的方程有增根,则k的值为______．8．若分式的值为零，则x的取值范围是__________．9．当_____时，分式的值为正数．10．若的值是__________．11．已知xy12，x+y4，则__________．12．若x满足x2－4x+1=0，则的值是__________．13．观察下列各式：…，由此总结出规律，若n表示大于1的正整数，请用含有n的式子表示出此规律：__________．14．若关于x的分式方程无解，则m的值为__________.15．若__________.16．若与的值相等，则x=________________17．计算：÷=_____