初三数学等腰梯形、三角形中位线、梯形中位线知识精讲华东师大版

初三数学等腰梯形、三角形中位线、梯形中位线知识精讲华东师大版【同步教育信息】一.本周教学内容：等腰梯形、三角形中位线、梯形中位线.等腰梯形：性质：等腰梯形的同一底边上的两个内角相等。等腰梯形的两条对角线相等。判定：同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形，两条对角线相等的梯形是等腰梯形。.三角形的中位线定义：我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。.梯形的中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。定理：梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半。【典型例题】例1.已知等腰梯形ABCD中，AB=CD，/B=60°，AD=15cm，BC=49cm，求它的腰长。分析：要求腰长，也就是求AB的长，通过作辅助线将已知条件集中到一个三角形中,过A作AE//CD交BC于E，得到一个平行四边形AECD和^ABE，易知4ABE是等边三角形，由BE=BC—AD，这样问题就解决了。解：过A作AE//DC交BC于E.・•四边形ABCD是等腰梯形 「./B=ZC=60°XVAD//BC，AE//DC 二四边形AECD是平行四边形。...AD=EC=15cm，AE=DCAB=CD，「.AB=AE.'.△ABE是等边三角形。又,/BC=49cm•・BE=49—15=34(cm)•.AB=BE=34cm例2.已知：如图所示，在等腰梯形ABCD中，对角线AC=BC+AD，求/DBC的度数。分析：由等腰梯形的性质得AC=BD，又题设与对角线有关，考虑平移对角线BD到AE的位置，则/DBC=/E，需求/E，猜想4ACE是等边三角形。解：过A作AE//BD交CB的延长线于E，则四边形AEBD是平行四边形。•.AE=DB，AD=BE•.CE=BC+BE=BC+AD=AC・•梯形ABCD是等腰梯形。BD=AC•.AE=AC=CE•.AACE是等边三角形归纳：对于与对角线有关的等腰梯形问题，可过梯形顶点作对角线的平行线，把两条对角线和上、下底之和集中在一个三角形中，构造等腰三角形应用有关定理解题。例3.等腰梯形ABCD中，AD//BC,/DBC=45°，翻折梯形ABCD,使点B重合于D,折痕分别交边AB、BC于点F、E,若AD=2,BC=8。求：BE的长；/CDE的正切值。分析：本题运用轴对称及等腰梯形的性质可解决。解：(1)由题意得ABEF=ADFE•.DE=BE在ABDE中，DE=BE,/DBE=45°，/BDE=/DBE=45°，/DEB=90°•・DE1BC•.EC=1(BC—AD)=1(8—2)=32 2・•.BE=5(2)由(1)得DE=BE=5,在^DEC中，/DEC=90°,DE=5,EC=3EC3・•・ta叱CDE=一=-ED5例4.等腰梯形ABCD中，AD//BC,AD=3cm,BC=7cm,/B=60°,P为下底BC上一点（不与B、C重合），连结AP,过P点作PE交DC于E,使得ZAPE=/B。（1）求证：AABP〜APCE（2）求等腰梯形的腰AB的长。证明：(1)由/APC为AABP的外角，得ZAPC=ZB+BAP又•「ZB=ZAPE:.ZEPC=ZBAP又ZB=ZC :.AABP〜APCE7—3一(2)过A作AF.1BC于F，由已知易求得BF= =2(cm)2在RtAABF中，ZB=60°，BF=2(cm):.AB=4cm例5.梯形ABCD中，AD//BC，ZB=90°，AB=14cm，AD=18cm，BC=21cm，点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、C同时出发，设移动时间为t/s，求t/s为何值时，梯形PQCD是等腰梯形？

C分析:设P、Q运动到如图所示位置时，梯形PQCD是等腰梯形分别过D、P作DMLBC于M，PN.1BC于N，则依等腰梯形的性质可知QN=MC，分别计算QN和MC的长，即可求t的值。解：•・•四边形ABMD是矩形，MC=BC—BM=BC—AD=21—18=3而QN=BN—BQ=AP—BQ=t—(21—21)=3t—21由QN=MC,得3t-21=3解得t=8即t=8s时，梯形PQCD是等腰梯形。例6,已知：如图所示，RtAABC中，/ACB=90°,D、E分别为AB、BC的中点，点F在AC的延长线上，/FEC=/B。(1)求证：CF=DE；(2)若AC=6,AB=10,求四边形DCFE的面积。ACFACF分析：由题设知DE为4ABC中位线，所以有DE//AC,且DE=1AC,可证DC//EF,四边形DCFE为平行四边形，易求出面积。(1)证明：*/D>E分别为AB、BC的中点・•.DE//AC,DE=-AC2又/ACB=90°・•.CD=1AB=DB2/B=/BCD/FEC=/B：./FEC=/BCD ：.EF//DC・•・四边形DCFE是平行四边形。.•・CF=DE。(2)解：:AC=6,AB=10由勾股定理，得BC=%AB2-AC2=8•・S =DE-CE=1AC-1BC=12平行四边形DCFE 2 2例7.四边形ABCD对角线AC、BD相交于点P,且AC=BD,E、F分别是AB、CD的中点，EF交BD于M，交AC于N，求证：PM=PN。分析：欲证PM=PN，即证/PMN=/PNM，不妨从两个中点着眼考虑，取AD的中点H，则易知HE//BD，HF//AC，/HEF=/PMN，/HFE=/PNM由中位线性质可得HE=HF，命题得证明。证明：取AD中点H，连结HE、HFHE是4ABD的中位线•.HE=1BD，HE//BD2「./HEM=/PMN同理HF是AACD中位线，HF//AC，HF=1AC「./HFN=/PNM又•「AC=BD，HE=HF「./HEF=ZHFE「./PMN=ZPNM・•.PM=PN例8.已知，E、F、G分别是AB、BC、CA的中点，ADIBC于D。求证：四边形EFDG是等腰梯形。BFDC分析：要证四边形EFDG是等腰梯形，需先证它是梯形，再证这个梯形的两腰相等或同一底上的两个角相等。证明：在4ABC中，.「E、G分别是AB、AC的中点AEG//BC,即FD//EGVEF是4ABC的中位线.\EF//AC,即GC//EF二•经过点G与GF平行的直线只有一条AGD与EF不平行・•・四边形EFDG是梯形AEF是4ABC的中线EF=1AC2VDG是RtAADC斜边上的中线•.DG=1AC2.•・EF=DG•・四边形EFDG是等腰梯形。归纳：运用中位线证明一组对边平行，联合直角三角形斜边中线性质得两腰相等，易错点是证明一个四边形是梯形时，容易出现只证出一组对边平行，就断定这个四边形是梯形的错误。例9.已知：如图所示，E、F分别为四边形ABCD的对角线AC、BD的中点。求证：EF<1(AB+CD)分析：不等关系的证明常在一个三角形中，由三角形两边之和大于第三边作依据，所11以先构造两条线段分别等于5AB和3CD，且和EF在一个三角形中，故取BC边中点(或AD边中点)。解：取BC中点G,连结EG、FG在4ABC中，:E、G分别为AC、BC的中点

•.EG=1AB2在^BCD中，，.下、G分别为BD、BC的中点•.FG=1CD2在^FFG中，:EF<EG+FG•・EF<1(AB+CD)ADAD例10.在梯形ABCD中，AD//BC,AB=DC,BD1DC,且BD平分/ABC,若梯形的周长为20cm,求此梯形的中位线长。分析：要求中位线长，由梯形中位线定理，可求出两底AD、BC的长，于是根据梯形周长列方程求出中位线长。解：在梯形ABCD中，AB=DC•./ABC=/CAD//BC•./ADB=/DBCBD平分/ABC•./ABD=/DBC•./ABD=/ADB=/DBC=1/C2・•.AB=AD=DC又BD1DC，/DBC=1/C2，/DBC=30° DC=1BC2设AB=x，则AB=AD=DC=x，BC=2x「.x+x+x+2x=20，x=4...AD=4，BC=8中位线长为AD+中位线长为AD+BC=6cm例11.梯形ABCD中，AD//BC,E、F分别为AB、CD的中点，EF分别交BD、AC于点G、H。求证：EG=HF；GH=1(BC-AD)^2分析：由题意知EF为梯形中位线，所以EF//AD//BC,贝UG、H也分别为BD、AC中点，故可应用三角形、梯形中位线定理解决问题。证明：(1).「E、F为梯形的两腰AB、CD的中点...AD//EF//BC，G、H分别为BD、AC的中点・•.EG=1AD,FH=1AD,EH=1BC2 2 2・•.EG=HF(2)GH=EH—EG・•.GH=1BC-1AD=1(BC-AD)2 2 2【模拟试题】.已知：如图所示，等腰梯形ABCD中，AD//BC,AD=3,AB=4,BC=7,求/B的度数。.已知：如图所示，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=DC,对角线AC.LBD,且AD=3cm,BC=7cm,求BD的长。.在等腰梯形ABCD中，AD//BC,^B到CD的距离等于8,E是BC的中点，EF.LAB于F,EGLCD于G，求：(1)E到两腰距离之和。(2)当E在BC上移动时，设EF=m,EG=n,%=m+n,则x的值是否会发生变化?4.已知:4.已知:,M是BC的中点，求证：AB=2MD。.如图所示，在四边形ABCD中，已知E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。(1)请判断四边形EFGH是什么四边形？试说明理由。(2)如果四边形EFGH是菱形，那么对角线AC、BD满足什么条件？(3)当对角线AC与BD互相垂直时，四边形EFGH是什么四边形？(4)根据上面的结论，你悟出了些什么？.在梯形ABCD中，AB//DC，中位线EF=7cm，对角线AC.1BD，/BDC=30°，求梯形的高AH。.在等腰4ABC中，AH.1BC于H，D是BC上的任意一点，过D作BC的垂线交AC于M，交BA的延长线于N。求证：DM+DN=2AH【试题答案】.解：如图所示，过A点作AE//CD,有平行四边形AECD,则4ABE为等边三角形。答案：/B=60°.简解：作DE//AC交BC的延长线于E,则CE=AD△BDE是等腰直角三角形_由勾股定理求得BD=5<2cm.解：(1)过B作BH.1CD于H,过E作EMLBH于M,则四边形EGHM是矩形。.•・EG=MH・•四边形ABCD是等腰梯形•./ABC=/CME//DC•./MEB=/C•./ABC=/MEB•.ABEF=AEBM•.BM=EF•.EF+EG=BM+MH=BH所以E到两腰距离之和等于8。(2)当E在BC上移动时，若EF=m,EG=n,类比可得结论EF+EG=BH,即x=m+n。.取AB中点或AC中点，运用三角形中位线性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半联合证明。证法一：取AC的中点E,连结ME、DE「M、E分别为BC、AC的中点

•.ME//-AB,/B=/EMC=2又•••/B=2/C,•./EMC=2/CAD1BC,，/ADC=90°•・DE=-AC=EC2•./EDC=/C•./EMC=2/EDC又/EMC=/EDM+/DEM•./EDM=/DEM•.MD=ME•・MD=-AB，即AB=2MD2证法二：取AB的中点N,连结DN、MN。AD1BC,AN=BN•・ND=-AB=BN2又•「M是BC中点，MN//AC•./DMN=/CDN=BN•・/B=/BDN又•「/BDN=ZDMNvZDNM,/B=2/C「./C=ZDNM=ZDMN•.DM=DN:.DM=-AB2即AB=2DMABDM CABDM C.证明：(1)连结BD「E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,,1

EH//,,1

EH//BD,=2FG//BD

=2EH/7FG•・四边形EFGH是平行四边形。(2)连结AC交BD于O,则有EF=1AC,EH=1BD2 2若AC=BD，则EF=EH・•・四边形EFGH是菱形时，对角线满足条件是AC=BD。(3)若AC.1BD，由EH//BD,EF//AC得/HEF=ZAOB=90°•・四边形EFGH是矩形。(4)我发现下面的结论：①顺次连结任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形；②顺次连结四边形的