数列求和及求通项方法总结

数列求和及求通项1、公式法：禾U用等差、等比数列的求和公式进行求和2、错位相减法：一、数列求和的常用方法2、错位相减法：求一个等差数列与等比数列的乘积的通项的前 n项和，均可用错位相减法例：已知数列an竺二，求前n项和Sn例：已知数列an竺二，求前n项和Sn33、裂项相消法：将通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项①形如ann(nk)，可裂项成an111盒-云），列出前n项求和消去一些项②形如a，可裂项成a*=丄（Yn+k-Jn），列出前n②形如a.nk k例：已知数列an=『1）爲严2），a-1，求前n项和S4、分组求和法：把一类由等比、等差和常见的数列组成的数列，先分别求和，再合并。例：已知数列an=2n-2n-1，求前n项和Sn5、逆序相加法:把数列正着与和倒着与依次对应相加（等差数列求和公式的推广）一、数列求通项公式的常见方法有:1、 关系法2、 累加法3、 累乘法4、 待定系数法5、 逐差法6对数变换法7、倒数变换法

8、换元法9、数学归纳法累加法和累乘法最基本求通项公式的方法把所求数列变形，构造成一个等差数列或等比数列，再通过累求通项公式的基本思路无非就是加法或累乘法求出通项公式。把所求数列变形，构造成一个等差数列或等比数列，再通过累二、方法剖析1、关系法：适用于sn=f(n)型求解过程：a求解过程：anai=Si(n=1)

E-Sn」(nX2)例：已知数列「a例：已知数列「an加勺前n项和为Sn二n2•n1，求数列忌［的通项公式2、累加法：适用于an1=an•f(n) 广义上的等差数列求解过程：若an an■f(n)I* 1 : *, ~~ 'I1 一 II1则去一印=f(1) -I'1. |I'■■-.Ja3-a2=f(2) ','.l累加I寧nJ n4所有等式两边分别.相加得：an-ai=5：f(k)则an=ai+Hf(k)k=1 km例：已知数列①‘满足递推式=an12n1(n_2),6=1,求、an的通项公式3、累乘法：适用于an1二f(n)an――广义上的等比数列求解过程：若an求解过程：若an1二f(n)an，则二f(n)则亞二f(1),鱼二f(2)……旦二f(n-1)a1 a2 an-4a n」 n」所有等式两边分别相乘得： n f(k)则anuadf(k)ai kJ kJ例：已知数列乩］满足递推式an=2nan」(n_2)，其中內=3,求丘的通项公式4、 待定系数法：适用于an厂pan•f(n)形如anq=panb(p,b为常数；p,b=0,p=1)型(还可用逐差法)I.IUL求解过程：构造数列anq•k二p(ank)，展开得an panpk一k，因为系数相等，所以解方程 pk-k二b得k= ，所以有： an卅+ =p(an+ )，这样就构造出了一个以 aq+ 为首项，公比为p的等p-1 p-1 p-1 p-1、\fZl1//■il~'l! \ ('I| -比数列丿an+b卜。从而求得{an}的通项公式为an=(a+b)pn_l———p_1j P_1P_1C?、//丿j例:已知数列bn满足递推式an=2an』1(n_2)，其中a1=2,求"a的通项公式形如an1=panbnc(p,b,c为常数；p,b=0,p=1)型形如an*=pan+bn2+cn+d(p,b,c,d为常数;p,b式0,p式1)型形如an+=pan+mqn+d(m,p,q,d为常数；m,p,q式0;p,qH1)型\ \ \\ 、鱼/卢'l1形如a*2二pan1'qan(p,q为常数；p,q=0；p,q=1)型r----■5、 逐差法:形如anq=pan■b(p,b为常数，p,b=0,p=1)，可以把n换成n-1有an二pan4b，两式相减得a.1-a.=p(an-a.J，这样就构造出了一个以a2-a1为首项，公比为p的等比数列玄计-玄衬，再运用累加法求出'an/的通项公式例：已知数列&［满足递推式an=2an「1(n一2)，其中印=2,求式的通项公式6对数变换法：适用于an［=pa,(q=1)型求解过程：①当p=1时，an彳.=a「(q=1)，等式两边取对数有：In(an.i)=ln(a「)，根据对数的运算法则有：In(ani)=qln(a“)，这样就构造了一个以In(aj为首项，公比为q的等比数列\ln(aj1。从而求得9n/的通项公式为an二a/一例:已知数列乩?满足递推式ani=an2，ai=2，求数列:an?的通项公式②当p=1时，an彳=pa,(q=1)，等式两边取对数有：In(an.J=In(pa,)，根据对数的运算法则有：In(ani)=InpqIn(an)，再运用待定系数法求出通项。例:已知数列a｝满足递推式ani=2an3，ai=2，求数列玄油勺通项公式二——J*!'/'*II"I7、 倒数变换法：适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例：已知数列满足递推式an.i=2an，ai=2，求数列乩［的通项公式an+48、 换元法：适用于含根式的递推公式例：已知数列匕［满足递推式an・i=ian•ian，ai=2，求数列乩讷通项公式2-II'.II9、数学归纳法：通过首项和递推关系求出数列的前 n项，猜出数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明\\ \\ '|'|例：已知数列&「满足递推式an.i二an•—岂导一，a^-，求数列玄？的通项公式(2n+i)2(2n+3) 9综合练习：I、已知数列、an谕足递推式an=2an「i(n—2)，其中a4=I5(〔)求ai，a2，a3;(2)求数列「an1的通项公式；(3)求数列On•的前n项和Sn；变式：①若an=2an」・n(n_2)?②若％=2a.二，n2(n_2)?③若an=2anj23n2(n_2)?思考：若a."a.八n3(n_2)?2、设在数列fan［中，6=2,an.i=旦2，求数列^an/的通项公式；2an3、数列a泊勺前n项和为Sn，ai=1，a.i二2Sn(n•N)II<>iL求数列a1的通项公式；求数列订an^的前n项和Tn;r~l二i—y■ 小、 H 'i-|iir-~..ysC14：iiiI-j' | ! 1 *I| -4、已知Sn是数列玄汕勺前n项和，a/3，a^2，Sn^3Sn2Sni^0(n_2,n・N)2f. ■ .■ /求证3-心时