数列解题技巧归纳总结打印

等差数列前n项和的最值问题:1、若等差数列CaJ的首项a,•0,公差d.0，则前n项和Sn有最大值。若已知通项an，则Sn最大二；阳兰0(ii)若已知&=pn2・qn，则当n取最靠近一2的非零自然数时&最大;2p2、若等差数列啣的首项a,<0,公差d0，则前n项和Sn有最小值若已知通项an，则Sn最小二兰0；耳八01"1二—一若已知Sn=pn2・qn，则当n取最靠近一q的非零自然数时&最小;2p数列通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。⑵已知Sn(即a,*271(a^f(n))求a.，用作差法：务弋罠：?n_2)已知a,L已知a,La2」・，_an=f(n)求，用作商法:anf(1),(n=1)侶，(宀⑶已知条件中既有Sn还有an，有时先求Sn，再求务；有时也可直接求务。⑷若an1-an二f(n)求a.用累加法:a^(a^anj)'-a^)Jl,(a?—a,)a,(n_2)。⑸已知an1=f(n)求an，用累乘法:an=a儿川％a(n_2)an andan-2 a1⑹已知递推关系求an，用构造法(构造等差、等比数列)特别地，(1)形如a^kan4b、a^kanjbn(k,b为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an;形如an二kan」kn的递推数列都可以除以kn得到一个等差数列后，再求an。形如an 的递推数列都可以用倒数法求通项。kan4+b形如an1二ank的递推数列都可以用对数法求通项。(7)(理科)数学归纳法。

(8)当遇到务1-a.二"或也二q时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段an_!一、典型题的技巧解法1(8)当遇到务1-a.二"或也二q时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段an_!一、典型题的技巧解法1、求通项公式观察法。(2)由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。(1)递推式为an+1=an+d及an+1=qan(d,q为常数)例1、？已知｛an｝满足an+1=an+2,而且a1=1。求an。例1、解？van+1-an=2为常数•••｛an｝是首项为1,公差为2的等差数列--an=1+2(n-1)即an=2n-1 i11例2、已知｛an｝满足a*1：—an，而印=2，求a*=?命 1 2递推式为an+F+f(n)211.例3、已知｛a*｝中a1 ,an1=an『—2 ，求an.二他｝杲以2为諭，公比为§的輻1教列勺 1 1 1解：由已知可知 -內「——1 =1r- 1)(2n1)(2n-1) 22n-12n1令n=1,2,…，(n-1),代入得(n-1)个等式累加，即(a2-a1)+(aa-a2)+…+(an-an-1)★说明？只要和f(1)+f(2)+…+f(n-1)是可求的,就可以由an+1=an+f(n)以n=1,2,…,(n-1)代入，可得n-1个等式累加而求an。q为常数)⑶递推式为an+i=pan+q(p,例4、｛a.｝中，ai=1，对于n>1(n€N)有anu3an』2，求a解法一：由已知递推式得因此数列｛a--an+仁an=4•3解法二：上法得｛aan-an-i=4•3,an+1=3an+2,an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3(an-an-1)n+1-an｝是公比为3的等比数列，其首项为a2-a1=(3X1+2)-1=4n-1van+1=3an+2?A3an+2-an=4•3n-1即an=2•3n-1-1n+1-an｝是公比为3的等比数列，于是有：a2-a1=4,2a3-a2=4•3,a4-a3=4-3,…，把n-1个等式累加得：二an=2・3n-1-1⑷递推式为an+1=pan+qn(p,q为常数)2 2bn1-bn (bn-bn4)由上题的解法，得：g=3-2(—)"二a.3 3bn2n(5)递推式为an2pan1qan思路：设an2=pan1qan,可以变形为：an2-an1=■■■■■(ani-：-an),就是=〔。+3)an+1-。B%，则可从*CL4-p=p:p解得a,a*P=-q于是｛an+1-aan｝是公比为B的等比数列，就转化为前面的类型。【例6】已知数列｛%｝中，珀二1,乱$二2,_21【例6】已知数列｛%｝中，珀二1,乱$二2,(6)递推式为S与an的关系式anan0关系；(2)试用n表示丄)_丄)_n1 *212nn_2 n1Sn1~'Sn=(an-'an1)'(n_2 n1…an1=an上式两边同乘以2n+1得2n+1an+i=2nan+2则｛23｝是公差为2的等差数列上式两边同乘以•••2nan=2+(n-1)•2=2n2.数列求和问题的方法(1)、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前 n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。21+3+5+……+(2n-1)=n【例8】求数列1,(3+5),(7+9+10,(13+15+17+19,…前n项的和。解？本题实际是求各奇数的和，在数列的前 n项中，共有1+2+…+n='n(n1)个奇数，2•••最后一个奇数为：1+[1n(n+1)-1]x2=n2+n-12因此所求数列的前n项的和为、分解转化法对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。【例9】求和S=1-(n2-1)+2•(n2-22)+3•(n2-32)+…+n(n2-n2)解?S=n(1+2+3+-+n)-(13+23+33+…+n3)、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列， 采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。例10、求和：Sn=3C：+6C：j+川+3nC；I|例10、解&=0・CO+3U+6C；+川+3nCn、错位相减法山冃运用广可得如果一个数列是由-1一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的 ，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和.八例11、求数列1，3x，5x2,…,(2n-1)xn-1前n项的和.解？设S=1+3+5x+…+(2n-1)x-.???①x=0时，$=1.当x丰0且xm1时，在式①两边同乘以 x得xSn=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn，②①-②，得(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+…+2xn-1-(2n-1)xn.⑸裂项法：把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：1(2n-l)(2n+3)1(2n-l)(2n+3)2n+3在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。二、常用数学思想方法1•函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例13】？等差数列｛an｝的首项ai>0，前n项的和为S,若S=S(l丰k)问n为何值时S最大？此函数以n为自变量的二次函数。Tai>O?S=S(l丰k),二dv0故此二次函数的图像开口向下•••f(l)=f(k) ■- I…2•方程思想【例14】设等比数列｛an｝前n［项和■为6,-若S+S6=2S,求数列的公比q。分析？本题考查等比数列的基础知识及推理能力。解•••依题意可知］串衣为奇数时,n= 最丸•••如果q=1，则S3=3ai,Se=6ai,S)=9ai。由此应推出ai=0与等比数列不符。•••qz1TOC\o"1-5"\h\z3 6 3整理得？q(2q-q-1)=0?vqz0此题还可以作如下思考：S6=S+q3S=(1+q3)SS9=S+q3S=S(1+q3+q6),3 3 6 6 3.•.由S3+Ss=2S9可得2+q