2024高考数学常考题型第15讲 等比数列的通项及前n项和性质7大题型总结 （解析版）

2024高考数学常考题型精华版第15讲等比数列的通项及前n项和性

质7大题型总结

【考点分析】

考点一：等比数列的基本概念及公式

①等比数列的定义："二q(或者—=

an

②等比数列的通项公式：an=a「qi.

A卜

③等比中项：若三个数a,A,b成等比数列，则A叫做a与。的等比中项，且有(-=-).

aA

(q=D

n

④等比数列的前〃项和公式：Sn=\a^-qY_a｛-a„q/口

、i-q-i-q；

考点二：等比数列的性质

①通项下标和性质：在等比数列｛4｝中，当/n+〃=p+q时，则%•6,=4・4.

特别地，当加+〃=2/时，则

②等比数列通项的性质：a“=a0i,所以等比数列的通项为指数型函数.

③等比数列前〃项和的常用性质：Sn==--^q"+,即S„=的"+，其中攵+r=0

\-q\-q\-q

【题型目录】

题型一：等比数列的基本运算

题型二：等比中项及性质

题型三：等比数列通项下标的性质及应用

题型四：等比数列前〃项片段和的性质及应用

题型五：等比数列前〃项和的特点

题型六：等比数列的单调性

题型七：等比数列新文化试题

【典型例题】

题型一：等比数列的基本运算

【例1】在各项为正的递增等比数列｛4｝中，qa2a6=64，«,+iZ3+a5=21,则a“=()

A.TB.2"T

C.3x2，iD.2X3"-'

【答案】B

【分析】首先根据等比数列的通项公式求4/=%=4,再利用公比表示内，代入方程，即可求得公比，

再表示通项公式.

【详解】数列｛4｝为各项为正的递增数列，设公比为9,且“>1,

2a6=64，

=64

..d^CJ~—4—〃3,

4+4+4=21,

4.

/.—^+4+4g""=21,

q

即(4q2_])(/_4)=0,

解得：q=2

4=1

cin=4q"7=2"-.

故选：B

77

【例2】数列｛《,｝中，％=2,—。,“。“，若%+限++«*+io=2'-2,则&=()

A.5B.6C.7D.17

【答案】B

【分析】先令〃?=1得到〃向=2〃“，从而得到数列｛4｝是等比数列，进而求得$“，再将+4“。化

为&+i*，由此可得5的值.

(详解】依题意，令加=1,则4=2,am+n=ama„,即有an+l=01ali=2an,

故数列｛q｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

设数列｛q｝的前"项和为5„,则邑=2。-2")=2„+i_2,

++,+11

所以处+1+4+2++4+2=SM0-Sk=（2*"-2）-（2*-2）=2*-2^'，

乂因为4+1+4+2++4+IO=2—27,

所以2加“一2"h=2n—2',故左=6.

故选：B.

【例3】已知等比数列｛%｝的各项均为正数，且4+4=20,%+%=5,则使得4%为<1成立的正整数〃的

最小值为（）

A.8B.9C.10D.11

【答案】C

_n（9-n）

【分析】应用等比数列通项公式求基本量可得4,=2"",再由《a,q=2丁<]求正整数〃的范围，即可

得答案.

【详解】若等比数列的公比为4>0,且〃“>0，

4（1+42）=20,]1

由题设\，两式相除得q=；，则°=

4（1+如）=542

所以4=16,故a,,=2"",显然”45时-4…/<1不成立,

〜+“（9-〃）n（9—n）

所以〃>5且”eN*,a=24+3+2+l+0'|---（5-n）=2h<1，即—--<。，则”>9,

故正整数〃的最小值为10.

故选：C

【例4】各项为正数且公比为q的等比数列｛4｝中，生，;生，4成等差数列，则马■的值为（）

2〃4

A1-6石+103+石3-A/5

A.------Rfc>.-------C.-------nD,---------

2222

【答案】B

【分析】由题意，根据等差中项的性质，建立方程，利用等比数列的通项公式，整理方程，解得公比，可

得答案.

【详解】因为外,；%，4成等差数列，所以4+/=2xgq=4，即

因为数列｛为｝为各项为正数且公比为q的等比数列，

所以gJq-l=0,解得g=匕坐或g=Y<°（舍去），则氏=4=/叵，

22a42

故选：B.

【例5】已知等比数列｛《,｝的前"项和为5“，若。”>0,公比g>l,%+6=20,卷^=64,则$6=（）

A.31B.36C.48D.63

【答案】D

【分析】根据等比中项的性质可得。24=。3%=64,解方程即可得数列中的项，进而可得首项与公比，求得

%

【详解】由等比中项的性质得a2ah=a3a5=64,

又4+〃5=20,

fa,=4fa,=16

解得”或“，

&=16&=4

“3=4

当IV时，4=2或q=-2(舍),

&=16

；二时,g=±g（舍），

口，山

所以

%=16

此时4=1,

所以$6=32lx(l-26)

=63,

1一夕1-2

故选：D.

【例6】若数列｛4｝满足an+i=2an-l,则称｛4｝为“对奇数列”.已知正项数列也+1）为“对奇数列”,且仿=2,

则瓦=（）

A.2X3"TB.2'iC.2n+lD.2"

【答案】D

【分析】根据题意可得〃川+1=2（。+1）-1,进而可得｛，｝为等比数列，再求得通项公式即可.

【详解】由题意得%+1=2出+1）-1,所以心=纹,，又〃=2,所以也｝是首项为2,公比为2的等比数

列，所以d=2x21=2".

故选：D.

【例7】已知等比数列血｝：-1,2,-4,8,若取此数列的偶数项…组成新的数列圾｝,则

%等于()

A.210B.-210C.2'5D.28

【答案】C

【分析】由题可得为=-(-2广，进而即得.

【详解】由题可得为=-lx(-2f=-(-2)"-，,

所以々=%=-(-2)'5=215.

故选：C.

【例8】已知｛q｝是首项为1的等比数列，S“是｛%｝的前〃项和，且9s3=85,,,则Ss=()

A.31B.—C.31或5D.包或5

1616

【答案】B

【分析】数列｛q｝为等比数列，通过等比数列的前〃项和公式化筒9s3=8S$,从而得到公比4的值，从而求

出Ss的值.

【详解】因为｛q｝是首项为1的等比数列，$“是｛4｝的前"项和，且9s3=84

当qwl时，9x4(l_Q=8x%(l-Q,计算得“=_1

\-q\-q2

所以s「HI上

5.I16

1-----

2

当4=1时，S3=3,S6=6,所以953H8s$

31

综上：Ss=?

故选：B

【例9】已知数列｛。,,｝满足4=2,«„+l=a；,则数列｛叫的通项公式为M=()

A.2n-lB.2"~'C.22"'D.n2

【答案】C

【分析】将。川=｛两边同时取常用对数，即可得数列｛1g。,,｝是以32为首项，2为公比的等比数列，从而

求得数列｛%｝的通项公式.

【详解】易知。“>0,且”,产1,在。e=d的两边同时取常用对数，得lgae=21g%,

故看廿=2,所以数列｛1gq｝是以怆2为首项，2为公比的等比数列，

所以lga„=2-'xlg2=lg22'T,所以%=2旷'，

故选:c.

【例10］已知各项都为正数的等比数列也｝满足%=4+2%,存在两项金，可使得庖不=4q,则

」+七史的最小值为（）

加+2n

11+2夜R26728

815415

【答案】B

【解析】

【分析】

根据等比数列的知识求得见”的关系式，结合基本不等式求得」;+小工的最小值.

【详解】

因为%=4+2%,所以4=2或9=一1,

又〃“>。，所以9=2.

由北屋4〃=4“可知:灰；2加+”-2=4《,所以“+〃=6，

则(加+2)+〃=8,

1〃+2121(垃+2)+〃

-------+-------=-------+—+1=---------——

m+2nm+2n8m+2n)

1Fm+22("?+2)nn~\.

----------+—---------+------+—+1

8m+2ntn+2n

n2(6+2)、+1>^3+2.n

3+--------F

8〃?+2n，m+2

11+2&

8

由」一=2(办+2)可得取等号时”=0(〃?+2),但九〃eN*,无解；

m+2n

又初+〃=6,经检验机=1且〃=5时有最小值得.

故选:B

【例11】设等比数列｛%｝的前八项和为S,,，且%=9,$3-4=36.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)若b„=a„+log,an,求数列出｝的前〃项和，.

【答案】⑴。"=3",(2)3"+'+"-+〃—

2

【分析】(1)结合题干条件求解基本量利用等比数列的通项公式求解即可；

(2)分组求和即可得解.

(1)

设数列｛%｝的公比为夕，则L…22乂

=a2+a3=a]q+a｝q=36,

解得4=3,4=3.

故a“-atq"'=3x3"」=3".

(2)

由(1)可得a=3"+log33"=3"+〃.

贝IJ7；=(3+1)+俾+2)++(3"+〃)=(3+32++3")+(1+2++〃)

3x0-3")(1+咖3""+/?+“-3

----------------------1—----------------------------,

1-322

【例12】已知等差数列｛/｝的前"项和为S,,,%=9，九=100.

(1)求｛4｝的通项”“；

⑵设数歹I」圾｝满足：b„=24,也｝的前“项和为T”，求使7；<200成立的最大正整数〃的值.

【答案】⑴4=2〃-1；(2)4.

【分析】(1)利用4，4表示题干条件，求解即可得解；

(2)先证明也“｝是等比数列，利用等比数列求和公式求解。，解不等式即可.

(D

由题意，设等差数列｛q｝的首项为4,公差为",

又％=9,九=100,

4+4d=9

故〃〃=。1+(〃T)d=2〃-1.

由题意d=2%=22"T

b22"-1

又工J=R=4,故｛"｝是以4=2为首项，g=4为公比的等比数列,

*22"

,—'）2x（1-4"）2x（4"-1）

7-^=-[^-=]一，

若7；<200,即2x（：7）<200,即4”<301,

又4」=256,45=1024>301,故”的最大值为4.

【题型专练】

1.在公比4为整数的等比数列｛《｝中，5,是数列｛q｝的前〃项和，若4+%=18,生+%=12,则下列说法

错误的是（）

A.<7=2B.数列电+2｝是等比数列

C.数列｛Iga,,｝是公差为2等差数列D.S8=510

【答案】C

【分析】A选项：根据4+4=18,4+4=12,再结合等比数列的通项公式即可得到数列｛4｝的公比4；

B选项：利用求和公式得到S,,,再利用等比数列的定义证明｛S,,+2｝是等比数列即可；

C选项：利用等差数列的定义证明｛1g%｝为等差数列即可；

D选项:根据S“求$8即可.

【详解】A选项：因为若4+q=18,出+为=12,所以"1+d）=18,《（夕+才卜⑵所以疗£=£=

所以4=2,q=g（舍），故A正确；

B选项：由A知，＜7=2,所以4=2,a.=2",5=亚21）=2'm—2，所以沪」=2,且E+2=%+2=4,

"1-2S"+2

所以｛S“+2｝是以4为首项，2为公比的等比数列，故B正确：

C选项：由B知，修。“+|-炮/=坨智=炫2,且lgq=lg2,所以数列｛Ig%｝是以lg2为首项，lg2为公差的

等差数列，故C错误；

D选项：由B知，s==20_2）=510,故D正确；

81-2

故选：C.

2.已知数列｛4｝中，4=1,4•〃e=2",“eN*,则下列说法正确的是（）

A.生=2B.a4-a3=4

C.他“｝是等比数列D.%i+%,=2向

【答案】AC

【分析】根据递推关系求得出，%，%,由此判断ABD选项的正确性，结合等比数列的定义判断C选项的正

确性.

2"

【详解】%•a”+i=2",即a“+i=—,则%=2,%=2,4=4,所以A正确；

an

显然有q-%=2*4,所以B不正确；亦有q+/=3R2"',所以D不正确；

又4-=27相除得乎=2,

因此数列｛的,1｝，｛%.｝分别是以1，2为首项，2为公比的等比数列，故C正确.

故选：AC

3.（2022•福建省龙岩第一中学高二阶段练习）在正项等比数列｛q｝中，若存在两项（皿〃eN*）,使得

M，%=4q,且。3=见+2《，则,+2的最小值为（）

tnn

11「8-10、14

A.—B.-C.—D.—

4335

【答案】A

【分析】设等比数列｛《,｝的公比4,利用等比数列的通项公式求得加+”=6,结合见〃eN*进行讨论求解.

【详解】设等比数列｛叫的公比9,（其中。＞0）,

因为。3=。2+2。1，可得42=4+2,

即q2_g_2=0,解得4=2或g=-l（舍去）

又因为=4%,所以4M,=16〃；，

m+,,2

即〃；-2~=16al2,所以■+〃=6,

当机=1,〃=5时，--1--=14--=

mn5T;

1919_ii

当m=2,〃=4时，=—i—

mn24一4

1919_10

当帆=3,〃=3时，―十一：=-+-=

mn33-3；

191919

当机=4,〃=2时，―+一=—i-=—

mn424

10146

当帆=5,〃=1时，一+—=—+9=一；

mn55

综上所述，上1+三0的最小值为141.

mn4

故选：A.

4.（2022•全国•模拟预测（文））设｛〃“｝是等比数列，且4+%=3,4+%=6,则%+4=（）

A.12B.24C.32D.48

【答案】D

【分析】根据｛%｝是等比数列，且满足4+4=3,%+%=6,计算出其通项公式％,然后代入氏+小计

算即可.

【详解】｛q｝是等比数列，设其公比为心则由％+生=3,4+4=6得：

解得忆，——4+25=48.

+6=。2（1+9）=6国=2

故选：D.

5.（2022•山东泰安•三模）已知数列｛%｝满足：对任意的m,”wN*,都有4,4=4“+“，且％=3,则％。=（）

A.320B.315C.3,°D.38

【答案】C

【解析】

【分析】

由递推关系判断数列｛““｝为等比数列，再由等比数列通项公式求生0.

【详解】

因为对任意的“，都有4Ml=4”+,7,

所以4%=%，

又4=3,

所以q=±G，所以智=4,

所以数列｛%｝是首项为4,公比为％的等比数列，

所以4,=勺（4广’=（4）"，

所以%,=（《户=3%

故选：C.

6.（2022•河南省叶县高级中学模拟预测（文））已知数列｛4｝为等比数列，q+4=72,a2+a,=36,贝lj4=

【答案】6

,、［a（1+^）=72

【分析】设等比数列｛4｝的首项为《，公比为4,由题意可得到jaq（［+［）=36,能求出％和心即可求出

答案

【详解】解：设等比数列｛4｝的首项为4,公比为4,

a+4=4+〃a=72即黑一京

由题意可得}

生+/=qg+a\icr~36

易得1+夕片0,所以两式相除，解得q=g,

将q=g代入4（1+幻=72可得q=48,所以4=49,=6,

故答案为：6

113

7.已知等比数列｛4｝的公比4>1,一+一==，4=2叵,则生“=.

【答案】2”

【分析】根据等比数列的性质及4>1,求得与与4的值，从而可得生”

113

【详解】解：由一+—=］得4々2+4〃4=3。2。4

a、4dq

由等比数列得见4=而=8,所以42+44=24,即%+4=6

解得/2=：或[%=：,则幺4=2或色■=d=；,由“I,可得小2,即片夜

[%=4[a4=2a2a22〃

22n2

所以a2n=q.q"-'=a2-q-=2x(&)"''=(可"=2".

故答案为：2".

8.设等比数列｛%｝的前〃项各为S“，己知4=1,$2=3,则怎=.

【答案】7

【分析】根据条件求出等比数列的公比，再求出小，根据前〃项和的定义计算即可.

【详解】由题意，S2=q+〃2=3,。2=2，公比口=二=2,：.a3=a2q=4,S3=a,+a2+a3=l+2+4=7；

a\

故答案为：7.

9.已知等比数列｛q,｝的前H项和为S“，％+4=|，4+。4=：，则其=

31

【答案】v

O

【分析】根据条件建立关于4,4的方程组，解出4,4的值，然后可算出答案.

(l+/)=g

4+%=4

【详解】设等比数列｛《,｝的公比为则

(«+/)[

a2+a4=q

解得q=1,4=2,则5=.6。-力31

25"q~8

31

故答案为：—.

O

10.已知在正项等比数列｛q｝中3q,：%，2生成等差数列，则天等如

2%02。+.2019

【答案】9

【分析】设正项等比数列｛q｝的公比为4,则9>0,根据已知条件求出4的值，再结合等比数列的基本性

质可求得结果.

【详解】设正项等比数列｛q｝的公比为4,则夕>0,

因为3《,gq，？4成等差数列，所以2xg4=3q+2a2，

2

即qg2=3q+2a、q,又4>0,q-2^-3=0

所以4=3或夕=一1(不符合题意，舍去).

2021202032

grpi42022+42021_+〃闻_夕+4_2__Q

//I“7AI99Q181—一“一”,

“202()+。2019atq+qq4+1

故答案为：9.

11.正项等比数列｛q｝中,4=1,%=4%.

⑴求｛叫的通项公式；

(2)记S”为｛a,,｝的前n项和.若S„,=63,求m.

【答案】(1)%=2"T,⑵"=6

【分析】(1)设｛,｝的公比为。，由题设得4,=/I.根据为=4%列方程，解出4即可得出结果.

(2)由(1)的结果可求出S.,将鼠=63代入求解即可.

(1)

设｛为｝的公比为4,由题设得«„=q'-'.

由已知得/=4q2，解得q=0或g=2,

｛4｝为正项等比数列，

所以<7=2.

故。"=2"，

(2)

由⑴得g=2,

・•.则S“=2"—1.

.Sm=63,

2"'=64,

解得“6

12.已知公比小于1的等比数列｛《,｝满足生+为=20,“3=8.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)记S.为｛4｝的前〃项和，若S,>100q,,求”的最小值.

【答案】⑴凡=白，(2)7

【分析】(1)设等比数列｛凡｝的公比为4,根据题意可得出关于《、夕的方程组，解出这两个量的值，即可

求得数列｛%｝的通项公式；

(2)求出S.，由题意可得出关于〃的不等式，结合〃eN*可得出”的最小值.

(1)

4+4=qq(i+/)=20

q=32

解：设等比数列｛q｝的公比为4,则。3=的2=8,解得<

<7<1

，a“=qq"T=32x(3)=，.

(2)

32(1-口］(、

解：由(1)可知S"=I'"上的］_J_,

1一！I2"j

2

由S“>100%可得64-白〉黑，可得2">101.

因为〃eN*,所以〃的最小值为7.

题型二：等比中项及性质

【例1】三个实数成等差数列，首项是9,若将第二项加2、第三项加20可使得这三个数依次构成等比数列

｛%｝，则%的所有取值中的最小值是()

A.49B.36C.4D.1

【答案】D

【分析］设原来的三个数为9、9+“、9+2”,根据题意可得出关于d的等式，解出d的值，即可得解.

【详解】设原来的三个数为9、9+d、9+2d,

由题意可知，4=9,a2=\\+d,4=29+24,且a；=44，

所以，(4+11)2=9(24+29),B|1J2+4(7-140=0,解得d=10或-14.

则a3的所有取值中的最小值是29-2x14=1.

故选：D.

【例2】若a,b,c为实数，数列T,a,b,G-25是等比数列，则》的值为()

A.5B.-5C.±5D.-13

【答案】B

【分析】根据等比数列的性质求得方的值.

【详解】设等比数列的公比为夕，

所以6=(-1"<0,

根据等比数列的性质可知从=(-l)x(-25)=25,解得〃=-5.

故选：B

【例3】已知等差数列｛〃“｝的公差是2,若4，%,4成等比数列，则，等于()

A.-6B.-4C.-8D.-10

【答案】A

【分析】利用等比中项，结合等差数列通项公式列方程求解即可.

【详解】解：因为等差数列的公差为2,且4，4,%成等比数列，

所以％2="出，即(生+2)2=(%-2)(%+4)，

解得々=-6,

故选：A

【例4】已知等比数列｛%｝满足q>0,公比4>1,且a202l<l,a,a2a2022>1,则()

A.a2O22>1

B.当〃=2021时，年"最小

C.当〃=1011时,4"最小

D.存在”1011,使得=4+2

【答案】AC

【分析】由等比数列的性质、单调性及不等式的性质可对每一个选项进行判断

【详解】A,♦H>(),q>T,..a0>0,又q%，■，“2021<1,"出.■.a2022>],

1

>1,故A正确;

对B和C,由等比数列的性质可得的2021=。2。2020=…=。⑼0即”2=。温，

故44…『021=。需<1即。<.I<1，

•a2a2022=a3a2021=…=^1011^1013=4()12，,,。243a4,""2022=以1012，

mZ7z,z/n—°'〃2022、」_匚匚“2021J_

因为J。2〃3〃4…。2022—>一，所以^1012>一，

44q

11

・.•…々2021<1，4>0,q>l,0<«1<1,—>1,

a\

，4oi2>l，故当〃=1011时，…%最小，所以B错误，C正确；

对D,因为0<%<1,4>I，所以｛q｝是单调递增数列，所以当〃V1011时，%<^1011<1，故/。向<。"+1<。"+2>

故D错误，

故选：AC

【例5】设log-,Igx,1。％2三个数成等比数列，则实数x=.

【答案】Ji6或®或加

1010

【分析】利用等比中项性质，结合对数运算性质可构造方程求得Igx,由此可得X.

【详解】log23,lgx,logs2三个数成等比数列，.•.(lgx『=log23-log8|2=log23」og3,2=；log23-log32=；,

.•」gx=±1,解得：*=而或画.

210

故答案为：布或强.

10

【例6】已知公差不为。的等差数列伍,｝中，4=1,%是％和6的等比中项.

(1)求数列｛a“｝的通项公式：

(2)保持数列｛q｝中各项先后顺序不变，在4与初伏=12)之间插入使它们和原数列的项构成一个新

的数列也｝,记也,｝的前”项和为7“，求T20的值.

【答案】⑴4=〃，(2)2101

【分析】(1)设数列｛《,)的公差为d,根据等比中项列出方程求得d即可得到通项公式.

(2)由题意计算出4在松〃｝中对应的项数，然后利用分组求和即可.

(1)

设数列｛〃〃｝的公差为d,因为4是生和4的等比中项，

则a：=a2qn(4+3d)?=(4+d)(4+7d)且。।=1

则4=1或4=0(舍)

则a“=4+(n-l)</=l+(n-l)xl=n,

即通项公式4=〃

(2)

因为％与%M(k=T,2,...)之间插入23

所以在数列也｝中有10项来自｛%｝,10项来自｛2"｝,

所以7；=1112x10+亚巳1=2101

2。21-2

【题型专练】

1.石-1与G+1的等比中项是()

A.五B.-72C.±0D.±y-

【答案】C

【分析】根据等比中项的定义可得结果.

【详解】]一1与、+1的等比中项是±J(K-1)(K+1)=±0.

故选：C.

2.若四个正数a,b,c,d成等差数列，X是。和d的等差中项，y是6和C的等比中项，则X和y的大小关系为

()

A.x>yB.x>yC.D.x<y

【答案】B

【分析】首先根据数列的性质，列式，结合基本不等式，即可比较大小.

【详解】由条件可知，a+d=b+c,(a,b,c,d>0),x=°,y=+y[bc,

当y=_痴时，x>>,

当y=yfbc时，y=4bc<=x,

所以xNy.

故选：B

3.若不为1的正数a,b,c依次成公比大于1的等比数列，贝熠x>l时，log„x,k)g〃x,logrx().

A.依次成等差数列B.依次成等比数列

C.各项的倒数依次成等差数列D.各项的倒数依次成等比数列

【答案】C

【分析】根据等比中项的性质可得/=加，可得当x>l时，logt^=log^c,结合对数运算，即可判断答

案.

【详解】由题意可知不为1的正数a,b,。依次成公比大于1的等比数列，即从=ac,

,2I1

故当x>l时，logfe2=logac,BR--------=--------+--------,

vAbg%xlog“xk)g〃x

故log“x,log〃x,bg.x各项的倒数依次成等差数列，

故选：C

4.已知等差数列｛端的前"项利为S,,,若Sg,七，1成等比数列，且邑。2400,则｛a,,｝的公差d的取值范围

为.

【答案】［2,田)

【分析】由条件结合等比数列定义，等差数列通项公式和前“项和公式可得含d的不等式，解不等式可求d

的取值范围.

【详解】因为Sg,%,1成等比数列，所以a；=S,,=9(4；的)=9%，所以%=9,即4+4d=9,即q=9-4d.由

S20>400,得2()q+19()d=2()x(9-4d)+19(H240(),解得"22,即｛a,J的公差d的取值范围为［2,+oo).

故答案为：［2,口).

5.己知等差数列｛4｝的公差为-3,且。3是4和%的等比中项，则%=.

【答案】-30

【分析】将为和公差代入等式，求解4,写出通项公式勺，代入〃=15,可求出结果.

【详解】解：因为4是％和%的等比中项，且公差为-3,所以

(q-6y=a1(4-9)n%=12,所以%=15-3n=>@=-30.

故答案为：-3().

6.已知-1,a,T成等差数列，-1也T成等比数列，则必=.

【答案】±5

【分析】根据等差、等比中项的性质，求得4〃的值，即可求得必值，得到答案.

【详解】由Ta,T成等差数列，可得2a=-1—4=—5,解得。=-|,

又由-1,6,-4成等比数列，可得"=(_l)x(T)=4,解得b=±2,

所以必=±5.

故答案为：±5.

7.若依次成等差数列的三个实数a,b,c之和为12,而a,b,c+2又依次成等比数列，则a=.

【答案】2或8

【分析】由题意列出方程组，即可求得答案.

2h=a+c

【详解】由题意可得＜〃+Hc=12,整理得/―io〃+i6=o,

b2=a(c+2)

解得。=2或a=8,

故答案为：2或8

8.在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列，则这两个正数之和为()

A.13—B.11—C.10—D.10

242

【答案】B

【解析】不妨设插入两个正数为〃力，即3M力,9

・・,3,〃力成等比数列，则

。也9成等差数列，贝1」。+9=给

，_9

[a1=3b2\a=-3

即oW解得S或/a(舍去)

4+9=2。,27h=3

ib=—i

4

451

则a+—

44

故选：B.

题型三：等比数列通项下标的性质及应用

【例1】已知数列｛%｝是等比数列，数列也｝是等差数列，若《,•%•4=-38,仿+也+d=7万，则

b,+b

tanj9Q的值是()

1-%q

A.—y/3B.—1c-4D.G

【答案】A

【分析】由等比数列和等差数的性质先求出仇+4和4•4的值，从而可求出tan,+4一的值

］一%•“8

【详解】解：因为数列｛4｝是等比数列，数列｛4｝是等差数列，々+%+%=7zr,

所以％3=-班，3b兀，

所以％=-6，b«=M

所以4+d=2%=062=3>

14万

所以tan&+'=tan—2—=tan(--)=-tan(2%+—)=-tan—=->/3'

1-3333

故选:A

【点睛】此题考查等差数列和等比数列的性质的应用，考查三角函数求值，属于中档题

【例2】已知｛4｝为等比数列，4+%=2,%4=-8,贝1]4。=()

A.1或8B.-1或8

C.1或-8D.-1或-8

【答案】C

【分析】由｛4｝为等比数列，可得6%=4%,再结合%+%=2,可求出4，%,结合等比数列的性质，可

求出4,4。，即可求出答案.

【详解】解：｛《,｝为等比数列，•.•%%=%%=-8,

%+为=2

=-8

当〃4=4,%=-2时，/=匕=一!

〃42

%===-8,%

47g3=-2x

q

当4=-2,%=4时，=-=-2,

a4

，4=3=1,4o=%/=4x（-2）=-8；

故选：C.

【例3】设｛%｝是由正数组成的等比数列，公比4=2,且4廿6%。=2%那么。34〃9%）=（）

A.210B.220C.2'6D.215

【答案】B

【分析】根据等比数列的性质，设4=4%%“28，“29，%0，

则A,B,C成等比数列，然后利用等比中项的性质可求得答案

【详解】设4=44%«2g,B=a,a5asa29,C=a3aba9aM,

贝1JA,B,C成等比数列，公比为才°=2'°,且）=40

由条件得A8CU230,

所以外=23°,所以8=2%所以。=小20=2以

故选：B

【例4】等比数列｛q｝满足。,,＞（）,〃€77*且49-3=3"'（〃*2）,则当“21时，

log44+bgg/+L+l°g6a2n-i=（）

A.力T）B.2（2〃2-〃）C.yD.2n2-n

【答案】B

【分析】根据条件可先求出4“=3",进而可判断数列｛logq4｝是首项为2,公差为2的等差数列，根据等

差数列前〃项和公式即可求解.

【详解】｛可｝是等比数列，且%。7=32"522）,

a„>0,a„=3",

.'.log^a„=2n,可知数列｛log。凡｝是首项为2,公差为2的等差数列,

(2/?-1)(2+4/J-2)

=2(2〃2.

•••%4+%%++喻%”T=

2

故选：B.

【点睛】本题考查等比数列性质的应用，考查等差数列的判断，考查等差数列前〃项和的求解，属于基础

题.

【例5］在各项均为正数的等比数列｛%｝中，4%+2绘4+《%=25，则”冈3的最大值是一

【答案、】§25

4

【分析】根据题意，将6%+24仆+4阳=25变形可得（4+%）2=25,又由基本不等式的性质可得

4%=的8《巧曳），计算可得答案.

【详解】根据题意，在各项均为正数的等比数列｛4｝中，卬卬+266+%43=25,

即即+2a64+始=（4+4『=25,

.♦.4必3=4/4（%爱］=弓，当且仅当％=%，即公比为1时等号成立，

25

故〃臼3的最大值是

4

故答案为：弓25.

4

【例6】已知等比数列｛6）各项均为正数，且满足：知阳+1<%+%<2,记（=的2…凡，

则使得的最小正数〃为（）

A.36B.35C.34D.33

【答案】B

【分析】先由已知条件判断出。”，阳，/时的取值范围，即可判断使得（>1的最小正数"的数值.

/、/、<1jI。］？>1

【详解】由〃”演+^^+/得：（«|7-1）（^8-1）<0,：.\或《

«,«>1«,«<1

an>0,0<a,<1,.-.0<al7<1<(z18,又-al7al8+l<2,,/.a„a^<1

3333/、[7,]7

心=(q&)2=(0)2=*vl,&=(4%)=(。17。18)<1，

3535

纭=（〃用户