2.5 直线与圆的最值问题-(选择性必修第一册) (教师版)

直线与圆的最值问题1最值模型(1)(i)点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，则AP+BPmin=AB'(当点A、P、B'共线时取到)，点B'是点B关于直线(ii)点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，则|AP−BP|max=AB(当点(iii)点A、B在直线l异侧，点P在直线l上，则|AP−BP|max=AB'(当点A、P、B共线时取到)，点B'是点B关于直线(2)某点M到圆⊙O上点(i)若点M在圆内，则MNmin=M(ii)若点M在圆外，则MNmin=M(3)若直线l与圆⊙O相离，圆上一点P到直线l的距离为PE，d为圆心O到直线l的距离，r为圆半径，则PEmin=P2圆的参数方程圆的标准方程x−a2+y−b2=它对应的圆的参数方程：x=rcosθ+ay=rsinθ+b(θ理解：如图，易得rcosθ=有向线段HM=x−a⇒x=rcosθ+a，rsinθ=有向线段HP=y−b⇒y=rsinθ+b.Eg圆x+12+【题型一】几何法处理最值问题情况1三点共线模型【典题1】P是直线L：3x−y−1=0上一点，求(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差的最大值；(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和的最小值．【解析】(1)显然A、B位于直线L两侧，作B关于直线L的对称点B'，连接B'A，B'A所在直线与直线L交点为P1此时PA−PB的差值最大，最大值就是B'设B点关于L对称点B'(a,b)，则b−4a−0×3=−1，(kBB'∙kl=−1，得a=3，b=3，∴B'(3,3)，∴B即P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大值为5；(2)显然A、C位于直线L同侧，(将军饮马模型)作点C关于直线L对称点C'，连接C'A，C'A所在直线与直线L的交点为P2此时PA+PB之和最小，最小值为C'A，设C关于l的对称点为C'(m,n)，可得n−4m−3=−1解得m=35，n=245∴C即P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小值为26.【点拨】三点共线模型，主要是利用三角形三边共线(任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边)，当三点共线时取到最值，熟悉模型快速判断模型是关键.情况2斜率型最值【典题1】如果实数x,y满足条件：x−22+y2=3，那么【解析】满足方程x−22+yyx=y−0x−0表示圆上动点由图可得动点与B重合时，此时OB与圆相切，yx连接BC，在Rt△OBC中，BC=3，OC=2∵sin∠BOC=BCOC=此时yx【点拨】①本题很好地体现了数形结合，把代数问题转化为几何问题处理；②直线斜率公式是k=y1−y2x情况3两点距离型最值【典题1】已知点M(a,b)在直线l：3x+4y=25上，则a2+b2的最小值为【解析】∵a2+b2(而a2又点M在直线l上，∴a2+b2的最小值为点O到直线l又d=2532+42【点拨】①本题解法中很好利用两点距离公式AB=x(以下x、y是变量，它们满足某些限制条件，a,b是常数求形如x−a2+y−b2或x−a2②本题用代数的方法求解与之比较下，体会下两种方法的不同.【典题2】已知点P，Q分别在直线l1：x+y+2=0与直线l2：x+y−1=0上，且PQ⊥l1，点A(−3,−3)，B(32【解析】方法1由平行线距离公式得|PQ|=32设P(a,−a−2)，由图可知kPQ=1，即倾斜角为∴2则Q(a+3所以AP=(a+3=(a+3)(利用两点距离公式把所求的用a表示处理，此时若想用函数最值的方法求解较难)设点M(a,a)，C(1,−3)，D(−1,0)，如图：则有(a+3=(即当D、M、C三点共线时等号成立)，(此时巧妙的用两点距离公式把式子(a+3)2综上，|AP|+|PQ|+|QB|≥13方法2(把点A向PQ方向移动|PQ|长度单位到A1，则问题“|AP|+|PQ|+|QB|的最小值”转化为求在l2上找点Q使得A1Q+BQ最小，显然是如图，如方法1易得kPQ=1，PQ=取点A1m,n，使得k则n+3m+3=1解得m=−32，n此时四边形AA则AP+显然A1Q+QBmin【点拨】求形如x−a2可理解为动点x,y与定点a,b、这充分把代数问题几何化，与斜率型的题型一样，我们要充分理解，比如求式子|3x−4y+1|5情况4圆外一定点到圆上点距离最值【典题1】已知x、y满足x−12+y2=1，则【解析】方程x−12+y2=1而S=可理解为点P(x,y)到点N(−1,1)的距离平方，则问题转化为圆外一定点N(−1,1)到圆上点P(x,y)距离最小值，点N(−1,1)到圆x−12+P1则Smin【点拨】①本题把方程x−12+y②注意点N在圆内还是圆外.【典题2】已知点P(7,3)，圆M：x2+y2−2x−10y+25=0，点Q为在圆M上一点，点S在x轴上，则【解析】由题意知，圆的方程化为x−12+(y−5)2=1，(本题是双动点问题，它们之间没有联系，可采取先“固定”一动点Q的方法)分两步：第一步假设圆上点Q不动，此时点S在x轴上运动，求|SP|+|SQ|的最小值，这就是“将军饮马问题”，如图所示，作点P(7,3)关于x轴的对称点P'(7,−3)；此时|SP|+|SQ|的最小值为|P(即说不管点Q在什么位置，最小值都是|P'第二步再把动点Q动起来，此时是圆外一定点P'到圆上一点的距离最值问题了，显然P==(1−7故|SP|+|SQ|的最小值为9.【点拨】两动点(A,B)问题，若两动点没内在联系的，可先“固定”一动点A，思考点情况5圆上一点到圆外一定直线的距离最值【典题1】已知两点A(−1,0)、B(0,2)，若点P是圆x−12+y2=1上的动点，则【解析】(S△ABP以AB为底，求其最值，即求点P到直线AB由两点A(−1,0)、B(0,2)，∴|AB|=(−1直线AB的方程为x−1+y2由圆x−12+y2=1则圆心C到直线AB的距离d=|2−0+2|∵点P是圆x−12∴点P到直线AB的最大距离dmax=d+r；点P到直线AB的最小距离∴△ABP面积的最大值和最小值之和等于12【点拨】圆上一点P到圆外一直线l距离d与圆心O到直线l的距离d1和圆的半径r即dmin=d巩固练习1(★★)已知x2+y2=1，则y【答案】[−33【解析】yx+2的几何意义是(x,y)与(－2,0)设过(－2,0)的直线方程为y=k(x+2)，即kx－y+2k=0∵x2+y2=12(★★)已知点P(x,y)在圆x2+y2=1上，则(x−1)2【答案】2+1【解析】(x−1)2+(y−1)2∵点P(x,y)在圆x2∴(x−1)23(★★)已知圆x2+y−22=1上一动点A，定点B(6,1)；x轴上一点W【答案】35【解析】根据题意画出圆x2+y－2作B关于x轴的对称点B'，连接圆心与B'，则与圆的交点A，|AB|即为|AW|+|BW|的最小值，|AB|为点(0,2)到点B'(6,－1)的距离减圆的半径，即|AB|=(6−0故答案为：35−14(★★)已知两个同心圆的半径分别为3和4，圆心为O．点P、Q分别是大圆、小圆上的任意一点，线段PQ的中垂线为l．若光线从点O射出，经直线l(入射光线与直线l的公共点为A)反射后经过点Q，则OA−|AQ|【答案】−4,3【解析】线段PQ的中垂线为l，可得|AP|=|AQ|，且Q关于l的对称点为P，可得|OA|+|AQ|≥|OP|=4，即有||OA|－|AQ||=|OA|－|AP|<|OP|=4，则－4≤|OA|－|AQ|<4，但|OA|－|AQ|≤|OQ|=3，故答案为：[－4,3]．5(★★)已知点A(−2,0),B(0,2)，若点P在圆x−32+y+12=2【答案】4【解析】∵点A(－2,0),B(0,2)，若点P在圆x－32∴AB的直线方程为x−2+y圆心C(3,－1)到直线AB的距离为d=|3+1+2|则△ABP面积的最小值为12故答案为：4．6(★★)过动点P作圆：x−32+y−42=1的切线PQ，其中Q为切点，若|PQ|=|PO|(O为坐标原点)，则|PQ|【答案】125【解析】根据题意，设P的坐标为(m,n)，圆x－32+y－4则N(3,4)PQ为圆x－32+y－4又由|PQ|=|PO|，则有PN2即m－32+n－4即P在直线6x+8y=24上，则|PQ|的最小值即点O到直线6x+8y=24的距离，且d=|6×0+8×0−24|62即|PQ|的最小值是1257(★★)已知直线l：x−y+4=0与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是CD的中点，则|AM|【答案】22【解析】由题意设点P(t,t+4)，C(x1,因为PD，PC是圆的切线，所以OD⊥PD，OC⊥PC，所以C,D在以OP为直径的圆上，其圆的方程为(x−t又C,D在圆x2将两个圆的方程作差得直线CD的方程为：tx+(t+4)y－4=0，即t(x+y)+4(y－1)=0，所以直线CD恒过定点Q(－1,1)，又因为OM⊥CD，M，Q，C，D四点共线，所以OM⊥MQ，即M在以OQ为直径的圆(x+1其圆心为O'(−12,如图所示所以AMmin所以|AM|的最小值为228(★★)已知圆x−a2+y−b2=1【答案】2+2【解析】∵圆x－a2∴a2+b2如图：原点O到直线y=x+2的距离d=|2|则圆上的点到直线y=x+2距离的最大值为2+29(★★★)如图，设圆C1：x−52+y+22=4，圆C2：x−72+y+12=25，点A、B分别是圆C1【答案】3【解析】依题意可知圆C1的圆心(5,－2)，r=2，圆C2的圆心(7,－1)，对于直线y=x上的任一点P，由图象可知，要使|PA|+|PB|的得最小值，则问题可转化为求|PC即可看作直线y=x上一点到两定点距离之和的最小值减去7，由平面几何的知识易知当C1关于直线y=x对称的点为C1′与P、C2共线时，取得最小值，即直线y=x上一点到两定点距离之和取得最小值为|C∴|PA|+|PB|的最小值=|PC【题型二】代数法处理最值问题【典题1】已知圆C的圆心在直线x−2y=0上，且经过点M(0,−1)，N(1,6)．(1)求圆C的方程；(2)已知点A(1,1)，B(7,4)，若P为圆C上的一动点，求PA2【解析】(1)设圆心C(a,b)，则a−2b=0，由|MC|=|NC|得(a解得b=2，a=4，∴圆的半径r=MC=5，所以圆C的方程为x−4(2)方法1设P(x,y)，(设元，引入变量x,y则x−42则PA2+PB2(利用两点距离公式用=x−12+(问题转化为求式子(∗)的取值范围，但是存在两个变量，故想到消元)=2=10+16x+8y−16x－10y+67(消元)=77−2y，∵−3≤y≤7，(注意定义域的范围)∴63≤77−2y≤83故PA2+PB2方法2点P为x−42设P(4+5cosα,2+5sinα)，(利用圆的参数方程，引入三角函数)则PA=73−10sinα所以63≤PA即PA2+PB【点拨】本题注意是利用函数思想求解，把所求几何量用某个(或某些)变量表示，故设元引入变量很重要，本题是设P(x,y)或P(4+5cosα,2+5sinα)，最后达到几何问题代数化.【典题2】已知直线l：y=x，圆C：x2+y2−4x+3=0，在l上任意取一点A，向圆C作切线，切点分别为M,N，则原点O到直线MN的距离d【解析】(代数法思路：要求d的最大值，则把直线MN的方程求出，再用点到直线距离公式把d用某个或某些变量表示出来，那点M,N是怎么产生的呢？是由点A确定的，故设元A(a,a))由题可得圆C的圆心坐标为(2,0)，半径为1．∵A在直线l上，设A(a,a)，又M、N为过A点的圆的切线的切点，故有AM∴以A为圆心，AM为半径的圆方程为x−a2化简得x2(把MN看成圆C与圆A的公共弦，可求出直线MN的直线方程)∴MN所在直线方程为2−ax−ay+2a−3=0，(圆A方程减去圆C方程便是∴O到MN的距离d=|2a−3|(2−a)∴d令1−4a=t，得d2由不等式t+25t≥10，当且仅当t=5∴d≤102，即原点O到直线MN的距离d的最大值为【点拨】①代数法设元很重要，那我们首先要理解题意，明白几何问题中各量之间的“因果关系”方能找到“源头”；②过两圆C1：x2(λ≠−1，特别地，当λ=−1时，上述方程为一次方程；两圆相交时，表示公共弦方程③本题最后涉及到的函数是fx【典题3】已知实数x、y满足方程x2+(1)求y−x的最大值和最小值；(2)求x2+y2的最大值和最小值；【解析】实数x、y满足方程x2+y它表示一个圆，其参数方程为x=2+(1)y−x=∵−1≤sin∴y−x的最小值为−2−6，最大值为−2+(2)x2∴x2+y2(3)yx+1令t=sinα∴t则sin(α−φ)=3tt2则yx+1的最大值为22，最小值为−【点拨】①圆x−a2+y−b②本题方法是三角变换；③这三个问题在前面也有所涉及，可以用几何方法求解，我们要比较下它们的优劣性.【典题4】如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为4，E(0,1)，点F是正方形边OC上的一个动点，点O关于直线EF的对称点为G点，当|GA+3GB|取得最小值时，直线GF的方程为【解析】方法一函数法(利用对称性求点G坐标，进而求|GA+3GB|的表达式，其运动“源头”是点F(t,0)设F(t,0)，(0<t≤4)．则直线EF的方程为xt+y=1，可得设G(a,b)，(a,b>0)．则ba×−1t=−1，∴G(∵GA∴=(12−4a=2(3−a=2(3−=213−12∙t−1令m=t−1∈(−1,3]，则GA易得fm在m=2，即t=2+1时取到，此时G易得直线GF方程为y=−x+1+2方法二几何法设点G(a,b)，∵点O关于直线EF的对称点为G点，∴EG=OE=1，∴点G的轨迹是以E为圆心，半径为1的圆⨀E：∵GA∴|GA设点P(3,4)，(利用圆外一定点到圆上一点的距离最值模型)则|GA+3GB|取到最小值时，即点P此时点G为直线EP:y=x+1与圆⨀E的交点，由y=x+1x2+y－12=1解得此时GF⊥EP，故直线GF的斜率为−1，故直线GF方程为y=−x+1+2方法三三角代换如方法二，得到a2+b−1则GA==2=219−6当α=π4，即G(2设点F(t,0)，由GF=OF得t−222易得直线GF方程为y=−x+1+2【点拨】①题中GA+3②细品三种方法，各有千秋，(i)函数法思路朴素，易入手，要求出GA+3GB，则设元G(a,b)，而点G是由点F确定的，转而设元F(t,0)，从而易得a、b用t表示，从而GA+3GB用(ii)几何法，重在发现图中几何变量内在关系，需要认真观察图象，有一定思考难度，若想到计算量上较函数法小不少；本题是确定了动点G的轨迹是圆，相当找到a,b(iii)巩固练习1(★★)若实数x,y满足x2+y2+4x－2y－4=0，则xA．5+3 B．65+14 C．−5【答案】A【解析】方法一几何法x2+y它表示一个圆心M(－2,1)，半径r=3的圆⊙M，而x2+y2=(则本题就是求原点到圆上点距离的最小值)结合图形知，O即x2+y故选：A．方法二三角代换法x2+y设x=3sinα−2,y=3cosα+1，则x而−5∴14−6(2sinα+cosα)的最小值为14+62(★★★)[多选题]若实数x,y满足条件x2A．x+y的范围是[0,2] B．x2C．xy的最大值为1D．y−2x+1的范围是【答案】BD【解析】令x=cosα,y=sinα，则x+y=sinα+cosα=2sin(α+πx2+yxy=sinαcosα=12sin2α∈[−令y−2x+1=sinα−2cosα+1=t则sin(φ－α)=−2−tt2+1，由|t+2|t故选：BD．3(★★★)[多选题]已知点P(2,4)，若过点Q(4,0)的直线l交圆C：x−62+y2=9于A,BA．|AB|的最小值为25 B．P到l的距离的最大值为2C．PQ∙PR的最小值为12－25 D．【答案】ABD【解析】如图，当直线l与x轴垂直时，|AB|有最小值，且最小值为25，故A当直线l与PQ垂直时，P到l的距离有最大值，且最大值为|PQ|=25，故B设R(6+3cosθ,3sinθ)，则PQ→∴PQ→⋅PR→=65当P,C,R三点共线时，|PR|最大，且最大值为|PC|+r=42+3，所以故选：ABD．4(★★)已知点A(1,1),B(2,2)，点P在直线y=12x上，求PA2+【答案】(95【解析】设P(2t,t)，则PA当t=910时，PAPA2+PB25(★★★)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x−22+y2=1，M为圆C的圆心，过原点O的直线l与圆C相交于A,B两点(【答案】1【解析】由直线l与圆C相交于两点，直线l的斜率必定存在，设直线l的方程为y=kx(1)当∠AMB=60°时，△ABM为等边三角形，由圆C的半径为1，可知圆心M(2,0)到直线l的距离为|2k|k有(|2k|k2故直线l的方程为y=±39(2)由圆心M(2,0)到直线l的距离为|2k|k可得|AB|=21−设△ABM的面积为S(k)，有S(k)=1设t=k2+1(t>1)有S(k)==2=2−4可得当t=87时，k=±7故△ABM面积的