《反函数新教材》课件

指数函数与对数函数对照表

名

称

解析式

指数函数

y=axyy=ax(a>1)

对数函数

y=logaxy=ax(0<a<1)

y图

象

o定义域

值

域

单a>1调性

0<a<1定

点

图像关系

R(0,+∞)

y=logax(a>1)xo(0,+∞)

xy=logax(0<a<1)R在R上是增函数

在R上是减函数

(0,1)在(0,+∞)上是增函数

在(0,+∞)上是减函数

(1,0)函数y=ax与y=logax图象关于直线y=x对称

问题:那么这两个函数有什么关系呢?指数函数与对数函数对照表名称解析式指数函数y544y=ax(a>1)32xy=a0<a<1246-4-23211-4-22-1y=logax(a>1)-1y=logax0<a<146-2-2544y=ax(a>1)32xy=a0<a<1246-4-2探究一——反函数定义

一般地，函数y=f(x)(x∈A)中设它的值域为C.我们根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x=φ(y).如果对于y在C中的任何一个值，通过x=φ(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么x=φ(y)就表示以y为自变量的函数.

这样的函数x=φ(y)叫做函数y=f(x)-1(x∈A)的反函数，记作

x=f(y).

我们常常把x，y对调一下，把它改成

-1y=f(x).探究一——反函数定义一般地，函数y=f(反函数与原来函数的联系:名

称

解析式

定义域

值

域

图象

y=f(x)AC它们的图象关于直线y=x对称

原来函数

反函数

y=f-1(x)CA反函数与原来函数的联系:名称解析式定义域值探究二——求一个函数的反函数

例1、

求下列函数的反函数：

（1）y＝3x－1；

（2）y＝

x＋1（x≥0）；

（3）y

?3?2；

(4).y?log1(x?4)2x?1探究二——求一个函数的反函数例1、求下列函数的反函数：求反函数的步骤：

1、反解：y=f(x)?x?f?1(y)2、求原函数的值域

3、互换：x、y互换位置，得y=f-1(x)4、写定义域：根据原来函数的值域，写出反函数及其定义域.求反函数的步骤：1、反解：y=f(x)?x?f?1探究三——不是所有函数都有反函数

只有在定义域上单调的函数才有反函数。（一对一）例如：y?x没有反函数。2探究四——互为反函数的两个函数图象关于y=x对称

x?5y?

y?x对

例2．已知函数

的图象关于直线2x?m

称，

求m的值。

探究五——点P(a,b)在函数y=f(x)图象上，则点P'(b,a)在函数y=f-1(x)图象上

例3.若点P（1，2）同时在函数y＝

ax?b

及其反函数的图象上，求a、b的值.探究六——互为反函数的两个函数单调性相同

探究三——不是所有函数都有反函数只有在定义域上单调的函数才若函数f(x)在其定义域D上是单调增函数,-1求证它的反函数f(x)也是增函数。

-1证明：在f(x)的定义域内任取x-1令f(x-11)=y1,f(x2)=y2

1,x2且x1<x2于是有f(y1)=x1;f(y2)=x2所以f(y1)<f(y2)因为f(x)在其定义域D上是增函数，所以y1<y2

-1-1-1所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)也是增函数

若函数f(x)在其定义域D上是单调增函数,-1求证它的反函性质：

1.函数y=f（x）的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于

直线y=x对称;2.互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的

单调性。

3.如果两个函数的图像关于直线y=x对称,那么这两个函数

互为反函数.4.如果一个函数的图像关于直线y=x对称,那么这个函数的

反函数就是它本身.反之也成立。

5.点P（a，b）关于直线y=x对称的点是P1（b，a）.

?16.fa?b?fb?a

????性质：1.函数y=f（x）的图象和它的反函数y=f-1(例2、求函数y=3x-2（x∈R）的反函数，并画出原函数和它的反函数的图象。

y?2x?解：从y=3x-2，解得

。因3此，函数y=3x-2x?2,(x?R)的反函数是

y?3函数y=3x-2（x∈R）和它的反函数

x?2y?,?x?R?的图象如图

3yY=3x-2x?2y?3o1Y=xx例2、求函数y=3x-2（x∈R）的反函数，并画出原函数和它3例3、求函数y=x（x∈R）的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图象。

33解：从y=x，解得

，所以函数33y=x（x∈R）的反函是

。

x?yy0y?x?x?R?33函数y=x（x∈R）和它的反函数

y?x?x?R?的图像如图

x3例3、求函数y=x（x∈R）的反函数，并画出原来的函数和它y?ax?b的例4：若点P（1，2）在函数

图象上，又在它的反函数的图象上，求a，b的值。

y?ax?b解：由题意知,点P(1,2)在函数

的反函数的图象上，根据互为反函数的函数图象关于直线y=x对称的性质知，点P1y?ax?b的图象上。

（2，1）也在函数

??2?a?b因此，得

???1?2a?b解得，a=-3，b=7y?ax?b的例4：若点P（1，2）在函数例5、若函数f（x）与g（x）的图象关于2直线y=x对称，且f（x）=（x-1）（x≤1）2求g（x）

解：∵函数