2021年河北省沧州市高考数学三模试卷（解析版）

2021年河北省沧州市高考数学三模试卷

一、选择题(每小题5分，共40分.)

1.已知集合4=3/-2xW0},8=31<xW2),则AAB=()

A.(1,2]B.(1,2)C.[0,2]D.(0,1)

2.已知复数z满足(2+i)z=2-i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.生物入侵指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害

的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q,一年四季均可繁殖，繁殖间隔7为相

邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型K(”)=入/〃〃来描述该

物种累计繁殖数量”与入侵时间K(单位：天)之间的对应关系，且Q3+l，在物种

入侵初期，基于现有数据得出。=9,7=80.据此，累计繁殖数量比现有数据增加3倍

所需要的时间约为()(/〃220.69,加3M.10)

A.69天B.1L0天C.13・8天D.22・0天

4.己知非零向量之兀满足B|=加值|，且金片)1(3之+2力，则之与刀的夹角为()

A.45°B.135°C.60°D.120°

JT

5.把函数y=2sin2x的图象向左平移g个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度,

可得到函数/(%)的图象，则()

兀

A.f(x)=2sin(2x-»^-)+l

B.f(x)的最小正周期为2TT

IT

c./(x)的图象关于直线xT对称

6

D.f(x)在[二，等]上单调递减

612

6.已知函数/(x)-x,则()

X

A./(JC)的单调递减区间为(0,1)

B./(x)的极小值点为1

C./(%)的极大值为-1

D./(%)的最小值为-1

2021

7.已知（2-X）=Oo+ai（尤+1）+。2（X+1）2+…+02021（X+1）2021,则|闻+|4||+|42|+…+|"2021|

A.24042B.1C.22021D.0

8.已知正四棱锥P-ABCQ的所有棱长均为2/5,E,F分别是PC,A8的中点，M为棱

PB上异于P,8上的一动点，现有以下结论：

①线段EF的长度是2&；

②/周长的最小值为遍+2&；

③存在点M使得必，平面MEF；

④NEMF始终是钝角.

其中不正确的结论共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共2（）分，在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.家庭开支是指一般生活开支的人均细分.如图所示的是2017年和2020年小王的家庭收

入用于各项支出的比例分配图，其中房贷每年的还款数额相同.

2017年各项支出2020年各项支出

存款7%

水、电、气、

通讯8%；

60%

水、电、'

通讯8%

根据以上信息，判断下列结论中正确的是（）

A.小王一家2020年的家庭收入比2017年增加了1倍

B.小王一家2020年用于其他方面的支出费用是2017年的2倍

C.小王一家2020年用于饮食的支出费用相比2017年明显增加

D.小王一家2020年用于娱乐的费用比2017年增加了7%

10.三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遗

址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀

的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2cm,外径长3cm,

筒高4c%,中部为边长是3c〃i的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，

则()

A.该玉琮的体积为18+等S1^)

B.该玉琮的体积为27-詈(cm?)

C.该玉琮的表面积为54+TT(cm2)

D.该玉琮的表面积为54+9n(C/M2)

11.已知点P(2,4),若过点Q(4,0)的直线/交圆C(x-6)2+丫2=9于A,8两点，

R是圆C上动点，则()

A.|48|的最小值为2注

B.P到/的距离的最大值为2娓

C.同•说的最小值为12-2娓

D.|PR|的最大值为4扬3

12.已知斜率为k的直线/过抛物线C：/=2px(p>0)的焦点，且与抛物线C交于A,B

两点，抛物线C的准线上一点M(-1,-1),满足瓦,而=0，则()

A.p=2B.k=-2

C.|48|=娓D.△MAB的面积为苗&

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.设S,是等差数列｛m｝的前〃项和，若S4=2S3-2,2a5-46=7,则Ss=.

22_

14.已知双曲线G：2I-t=l(b>0)的右焦点为凡其一条渐近线的方程为戚-2)=0,

4卜z

点P为双曲线C\与圆C2：(x+3)2+必=产(r>0)的一个交点，若|PF|=4,则双曲线

C)的离心率为；r=.

15.已知函数f(x)的定义域为R,对任意xeR,fCx+2)=y(x)恒成立，且当xe(0,

2］时，/(%)=2”则f(7)=.

16.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是古代中国劳动人民的智慧结晶.它是由一块

正方形、一块平行四边形和五块等腰直角三角形组成的，可拼成1600种以上的图形.如

图所示的是一个用七巧板拼成的大正方形飞镖靶盘（靶盘各块上标有分值），现向靶盘

随机投镖两次，每次都没脱靶（不考虑区域边界），则两次投中分值之和为2的概率

为

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在①2cb=cosB,②2acosC+c=2/>,③“sinAcosC+Lcsin2A=，§加。04这三个条件中

acosA2

任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.

问题：锐角AABC的内角A,B,C的对边分别为mb,c,且______.

（1）求A；

（2）求cosB+cosC的取值范围.

18.己知数列｛©,｝中，a\—\,其前〃项和S,满足“0+i=S"+l（〃€N*）.

⑴求S”；

s-S

（2）记儿=甘~+^1^求数列｛5｝的前"项和北.

19.2021年，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利.为了巩固拓展脱贫攻坚成果，不断提高群

众的幸福感，某县继续推进山羊养殖项目.为了建设相应的配套项目，该县主管部门对

该县近年来山羊养殖业的规模进行了跟踪调查，得到了该县每年售卖山羊数量y（单位:

万只）与相应年份代码x的数据如表：

年份201520162017201820192020

年份代码X123456

售卖山羊y111316152021

（万只）

（1）由表可知》与x有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程;

（2）已知该县养殖的山羊品种只有甲、乙两种，且甲品种山羊与乙品种山羊的数量之比

为2：3,甲品种山羊达到售卖标准后的出售价为2500元/只，乙品种山羊达到售卖标准

后的出售价为2700元/只.为了解养殖山羊所需要的时间，该县主管部门随机抽取了甲

品种山羊和乙品种山羊备100只进行调查，得到要达到售卖标准所需的养殖时间如表：

养殖时间（月数）6789

甲品种山羊（只）20353510

乙品种山羊（只）10304020

以上述样本统计的养殖山羊所需时间情况估计全县养殖山羊所需时间（即以各养殖时间

的频率作为各养殖时间的概率），且每月每只山羊的养殖成本为300元，结合（1）中所

求回归方程，试求2022年该县养殖山羊所获利润的期望（假设山羊达到售卖标准后全部

及时卖完）.（利润=卖山羊的收入-山羊的养殖成本）

参考公式及数据：回归直线方程为二一二，其中

y-bx+a

n__n__

-L（Xi-x）（y--y）工x：y「nx，y

b=lzl________________,-

n_2n07'a=y-bx'

52（Xj-x）£x^-nx

i=li=l

20.如图，在三棱柱ABC-Ai&Ci中,AC=BC=1,NAC如=120°,44=AiB=2,NAiAC

=60°.

（1）证明：平面ABC_L平面4ACG；

441

21.已知椭圆E：三座fl（a〉b〉O）的离心率为《，椭圆上的点离右焦点F的最短距

a"L2

离为1.

（1）求椭圆E的方程.

(2)直线/(斜率不为0)经过尸点，与椭圆E交于A,3两点问x轴上是否存在一定点

使得留若存在‘

P,求出尸点的坐标;若不存在，请说明理由.

22.已知函数/(x)=xex-2ax+a.

(1)当a=-1时，求曲线y=/(x)在点(0,f(0))处的切线方程;

(2)若/(x)有两个零点，求实数。的取值范围.

参考答案

一、选择题（每小题5分，共40分.）

1.己知集合4={加炉-2x〈O},B={x[l<xW2},PliJAAB=()

A.(1,2]B.(1,2)C.[0,2]D.(0,1)

解：：A={x|0WxW2},B={x[l<xW2},

：.AQB=(1,2],

故选：A.

2.已知复数z满足（2+0z=2-i（i为虚数单位），贝ijz在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2

但2-i(2-i)3-4i34.

解:由(2+z)z—2-i,[讨7--------=-7-------:----------r-=--------------------1'

2+i(2+i)(2-i)555

.♦•Z在复平面内对应的点的坐标为（/，V）,位于第四象限.

故选：D.

3.生物入侵指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害

的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为。，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T为相

邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型K（〃）=入/〃〃来描述该

物种累计繁殖数量”与入侵时间K（单位：天）之间的对应关系，且Qh£+1，在物种

入侵初期，基于现有数据得出Q=9,7=80.据此，累计繁殖数量比现有数据增加3倍

所需要的时间约为（）（历2比0.69,勿3比1.10）

A.6.9天B.11.0天C.13.8天D.22.0天

T

解：因为Q』+l，（2=9,T=80,

A

所以9年+1，解得入=10,

设初始时间为Ki,初始累计繁殖数量为n,累计繁殖数量增加3倍后的时间为Ki,

贝!jK2-K\=Xln（4,?）-入方〃=入/〃4=20加2—13.8天.

故选：C.

4.已知非零向量7,E满足|E|个历|，且（ZA）1（3a+2b）＞则之与E的夹角为（）

A.45°B.135°C.60°D.120°

解：根据题意，设W与E的夹角为e,

因为（a-b）（3a+2b>Ib\^［2Ia卜

222

^^(a-b)-(3；+2b)=3；-I-b-2b=-；b-l=0'变形可得以羡-丁.

一T一4I-

则c°s8=—~V=「_*

IaI|b|IaIV2IaI2

又由。日0°,180°],所以。=135°.

故选：B.

JT

5.把函数y=2sin2x的图象向左平移孑个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度,

可得到函数/（X）的图象，则（）

兀

A.f(x)=2sin(2x-^-)+l

B.f(x)的最小正周期为2n

JT

c./（X）的图象关于直线对称

D./U）在［二，器］上单调递减

612

7T

解：将函数y=2sin2x的图象向左平移g个单位长度得到

O

JT9TT

y=2sin2(=2sin(2x-^―)的图象，

oJ

再问上平移l个单位长度可得到f（x）=2sin（2x+^~）+l的图象，故48错误.

0\I-11"JI!/,-11'JI

令2x+~~-=+k兀，kEZ,得x=^kEZ,当&=0时，x-：当左=1时,

X*•兀，故c错误.

人兀/2兀/"3兀„

令亏+2卜兀42乂片厂《三厂+21?兀，依Z.

1T5打

求得-五+k兀4x4+kTT，Aez,

1T兀

所以，/（X）在5］上单调递减，故。正确,

6~12

故选：D.

6.己知函数f（x）=--x,则（）

X

A.于（x）的单调递减区间为（0,1）

B.7（x）的极小值点为1

C.7(x)的极大值为-1

D./(%)的最小值为-I

解：f'令(P(x)=l贝ij。'(x)=1-2x<0,

//Y

XXX

所以(p(x)=l-/"-N在(0,+OO)上单调递减，

因为<p(1)=0,所以当0cx<1时，cp(%)>0；当x>l时，(P(x)<0,

所以/(X)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+8),

故/(X)的极大值点为1,f(X)极大他=/(1)=-1.

故选：C.

7.已知(2-x)2O2l=ao+ai(x+1)+ai(x+1)2+-+awi\(x+1)202WO|oo|+|a11+|«2|+-+|a202i|

=()

A.24042B.1C.22。21D.0

解：因为(2-x)2021=[3-(x+1)]2O21=ao+«i(x+1)+ai(x+1)2+-+a202i(x+1)2021,

的展开式中，ao,42,04,•,42020都大于零，

而ai,43,as,“2021都小于零，

所以，|ao|+|<2l|+|«2|+"+|«20211=(ao+S+iM…+。2020)-(〃1+。3+。5+，"+。2021).

+,，+-a20214(M2

令x=-2,则a0-a1+a2-a3a4-a5+,a20202021=4=2.

所以，|oo|+|ai|+|a2|+Ta202i|=24042,

故选：A.

8.已知正四棱锥P-ABC。的所有棱长均为2/万，E,尸分别是PC,48的中点，M为棱

PB上异于P,8上的一动点，现有以下结论：

①线段EF的长度是2&；

②尸周长的最小值为遍+2点;

③存在点M使得P8J_平面MEF；

④/EMF始终是钝角.

其中不正确的结论共有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

解：

如图1,设正方形A8CO的中心为0,连接OC,P0,

贝ijPOJ_平面A3CD,0C=0P=2.

设OC的中点为H,连接EH,FH,则EH〃。尸，

所以EH=—PO^\.

2

在中，OH=l,OF=®,NTOC=135°,

所以由余弦定理可得FH=娓,

所以EF=，EH2+FH2=&，故①不正确

将正△PA8和正△P2C沿PB翻折到一个平面内，

如图2,当E,M,尸三点共线时，ME+MF取得最小值，

此时，点M为PB的中点，ME+MF=BC=2限，

所以△EMF周长的最小值为、用+2&,故②正确.

若PB_L平面则PB_LME,

此时点M为PB上靠近点P的四等分点，

而此时，PB与根显然不垂直，故③不正确.

当点、M在线段PB上无限靠近点尸时，的长度无限趋向于近，

△EMF趋向于以点尸为顶点的等腰三角形，此时NEMF为一个锐角，故④不正确.

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.家庭开支是指一般生活开支的人均细分.如图所示的是2017年和2020年小王的家庭收

入用于各项支出的比例分配图，其中房贷每年的还款数额相同.

2017年各项支出20204各项支出

存款7%

水、电、气、

通讯8%；

房健

60%

水*电J

通风«%

根据以上信息，判断下列结论中正确的是()

A.小王一家2020年的家庭收入比2017年增加了1倍

B.小王一家2020年用于其他方面的支出费用是2017年的2倍

C.小王一家2020年用于饮食的支出费用相比2017年明显增加

D.小王一家2020年用于娱乐的费用比2017年增加了7%

解：因为小王家房贷每年的还款数额相同，设为“，

则2017年总收入为与a，2020年总收入为与

32

因为小王家2020年的家庭收入比2017年增加了?a，即增加了50%,所以A错误.

因为小王家2017年和2020年用于其他方面的支出费用分别为士a和县a，所以B错误.

1010

因为小王家2017年和2020年用于饮食的费用分别为Va和提a，明显增加，所以C正

128

确.

因为小王家2017年和2020年的总收人不一样，所以。错误.

故选：C.

10.三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遗

址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀

的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2cm,外径长3cm,

筒高4c〃?，中部为边长是3a”的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，

贝()

A.该玉琮的体积为18+等(cm?)

B.该玉琮的体积为27-B(cm3)

C.该玉琮的表面积为54+TT(cm2)

D.该玉琮的表面积为54+9n(。加)

解：由图可知，组合体的体积

v=nX4X[(-1)2-12]+3X3X3-KX3X号)2=27-等(cm3)，

组合体的表面积

S=3冗X1+2X[3X3-兀X(1o]+3X3X4+27TX[(y)-12]+27TX4=54+971(cm2)

故选：BD.

11.已知点P(2,4),若过点Q(4,0)的直线/交圆C(x-6)2+y2=9于A,8两点,

R是圆C上动点，则()

A.|4阴的最小值为2企

B.P到/的距离的最大值为2旄

C.而•加的最小值为12-2旄

D.|PR|的最大值为4扬3

解：如图，当直线/与x轴垂直时，HBI有最小值，且最小值为2泥，故A正确；

当直线/与PQ垂直时，P到/的距离有最大值，且最大值为|PQh2娓，故B正确；

设R(6+3cos0,3sin0),则同一苏=(2,-4)-(4+3cos9,3sin8-4：=6cos。-

12sin0+24,

•，-PQPR=6V5cos(0+(t>)+24-则同林的最小值为24-6娓，故C错误；

当P,C,R三点共线时，最大，且最大值为|PC|4T=4&+3，所以力正确.

故选：ABD.

12.已知斜率为攵的直线/过抛物线Cy^=2px(p>0)的焦点，且与抛物线C交于A,B

两点，抛物线C的准线上一点M(--1),满足位•而=°，则()

A.p=2B.k=-2

D.△MA8的面积为殳区

c.|阴=遥

2

解：由题意知，抛物线C的准线为x=-1,即当=1，得P=2,故选项A正确.

因为p=2,所以抛物线C的方程为V=4x,其焦点为尸(1,0).

因为直线/过抛物线的焦点尸(1,0),所以直线的方程为y=Z(x-1).

因为瓦•而=0，所以M在以A8为直径的圆上.

yi=4xiy<-y4

设点A(xi,V),8(X2,”)，联立方程组<:，两式相减可得'~-?=---=k.

x-x

y2=4x2l2丫1+丫2

o2

设AB的中点为Q(xo,yo),则y^L，因为点Q(xo,yo)在直线/上，所以X0L^+1,

ukk

22

所以点Q(—7+1，丁)是以AB为直径的圆的圆心.

k2k

ARXi+Xn+22x+2O

由抛物线的定义知，圆。的半径r若■=1/2—=—In—-4+2.

222

因为|QM|2=(-^-+2)2+(Y+l)2=r2.所以(-y+2)2+(1-+1)2=(-^-+2)2,

kkk

解得左=-2,故选项3正确.

90

因为％=-2,所以弦长|AB|=2r=2(r+2)=2(二+2)=5,故选顶C不正确.

因为％=-2,所以直线/为)，+2(x-1)=0,由点到直线的距离公式可得,

点M到直线/的距离d=4==L=V5,所以sAHAB4'd'跳1=鼻泥X5挈，

YJ,十乙乙乙乙

故选项。正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.设为是等差数列｛m｝的前"项和，若S4=2S3-2,2a5-。6=7,则$8=64.

解：设｛〃“｝的公差为d.

因为S4=2S3-2,2a5-熊=7,

4a<+6d=2(3a«+3d)-2

所以/、，、，

2(a1+4d)-(a[+5d)=7

ai=1,

所以41，

d=2,

所以58=80+284=8+56=64.

故答案为：64.

22_

14.已知双曲线Ci：江-工fl(b>0)的右焦点为F,其一条渐近线的方程为后-2y=0,

4b‘

点P为双曲线G与圆C2：(x+3)2+产=/(r>0)的一个交点，若|PQ=4,则双曲线

Ci的禺心率为；r=8.

~2~-----

解：设/为双曲线Cv£-工1=1的左焦点，

14b2

因为。=2,一条渐近线的方程为泥x-2y=0.所以b=&，

故离心率J1+(且「=!•.

VaN

圆C2的圆心为双曲线Ci的左焦点，连接

因为|PF2|=4,所以尸在双曲线的右支上由|尸用-|PW=2a=4,

得r=|PF|=8.

故答案为：g；8.

15.已知函数/(x)的定义域为R,对任意X6R,/(x+2)="(x)恒成立，且当在(0,

2］时，/(%)=23则/(7)=54.

解：因为f(x+2)=3/(x),

所以/(7)=3/(5)=32f(3)=3»(1)=54.

故答案为：54.

16.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是古代中国劳动人民的智慧结晶.它是由一块

正方形、一块平行四边形和五块等腰直角三角形组成的，可拼成1600种以上的图形.如

图所示的是一个用七巧板拼成的大正方形飞镖靶盘(靶盘各块上标有分值)，现向靶盘

随机投镖两次，每次都没脱靶(不考虑区域边界)，则两次投中分值之和为2的概率为

5

P(-l)4P(-2)=iP(-3)=i

oo

P(0)=4>P⑴4p(2)=iP⑶$

481616

所以两次投中分值之和为2的概率为：

故答案为：

64

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在①2cb=cosB_,②2acosC+c=2b,③asinAcosC+EcsinZAuJ^cosA这三个条件中

acosA2

任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.

问题：锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且______.

(1)求A；

(2)求cosB+cosC的取值范围.

解：(1)选①

因为2c-b=cosB,

acosA

所以2sinC-sinBcosB

sinAcosA

所以2sinCcosA-sinBcosA=sinAcosB,

整理得2sinCcosA=sinBcosA+sinAcosB=sin(A+B)=sinC.

因为sinCKO,所以cosA=].

TTTT

因为AC(0,—),所以AF.

4O

选②

因为2〃cosC+c=28,

所以2sinAcosC+sinC=2sin8=2sin(A+C),

所以2sinAcosC+sinC=2siiL4cosC+2cosAsinC,

整理得sinC=2cosAsinC.

因为sinCWO,所以cosA=].

TTTT

因为A€(0,-T-),所以A二Q-

选③

因为asinAcosC卷csin2Az:/bcosA，

所以sinAsinAcosC+sinCsinAcosAV^sinBcosA,

所以sinA(sinAcosC+sinCcosA)=s/3sinBcosA，

整理得sinAsinB=V3sinBcosA.

因为sinBWO,所以sinA二匾cosA.

因为AC(0,所以tanA=近，A=^-.

IT

(2)因为人=-弓-,

V37兀、

所以COSB+COSC=CQSB-COS(B+A)=|-COSB

因为BE(0,5),C=-^-B€(0,g),

rrK.广/兀兀、rrK171尸，兀2兀

所以BE(―,—))所以BTE(―)公)，

所以s,1]>故cosB+cosCE除11.

18.已知数列｛飙｝中，0=1,其前〃项和S,满足④+I=S“+1(nGN*).

(1)求&；

S-S

(2)记儿=谭n+1々~求数列｛儿｝的前"项和方.

SnSiH-l

解：(1)当〃)2时，a„=S„i+l,又““+i=S”+l,

所以Cln+1-(ln~~Sn~Sn-1=。”，即Cln+1=2。”(〃三2),

在Q〃+1=S〃+1中，令〃=1,可得42=0+1.因为〃|=1,所以42=20=2,

故｛册｝是首项为/，公比为2的等比数列，

其通项公式为an=2kl,

所以Sja/i-lZn-L

,c、5壮11_11

⑵因为九"7二

SnM2n-l2n+1-l

所以Tn=(/)+gV)+…+(房变］)=1-肃彳

19.2021年，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利.为了巩固拓展脱贫攻坚成果，不断提高群

众的幸福感，某县继续推进山羊养殖项目.为了建设相应的配套项目，该县主管部门对

该县近年来山羊养殖业的规模进行了跟踪调查，得到了该县每年售卖山羊数量y(单位:

万只)与相应年份代码x的数据如表：

年份201520162017201820192020

年份代码尤123456

售卖山羊y111316152021

(万只)

(1)由表可知y与x有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；

(2)已知该县养殖的山羊品种只有甲、乙两种，且甲品种山羊与乙品种山羊的数量之比

为2：3,甲品种山羊达到售卖标准后的出售价为2500元/只，乙品种山羊达到售卖标准

后的出售价为2700元/只.为了解养殖山羊所需要的时间，该县主管部门随机抽取了甲

品种山羊和乙品种山羊备100只进行调查，得到要达到售卖标准所需的养殖时间如表：

养殖时间(月数)6789

甲品种山羊(只)20353510

乙品种山羊(只)10304020

以上述样本统计的养殖山羊所需时间情况估计全县养殖山羊所需时间(即以各养殖时间

的频率作为各养殖时间的概率)，且每月每只山羊的养殖成本为300元，结合(1)中所

求回归方程，试求2022年该县养殖山羊所获利润的期望(假设山羊达到售卖标准后全部

及时卖完).(利润=卖山羊的收入-山羊的养殖成本)

参考公式及数据：回归直线方程为,二一二，其中

y-bx+a

n__n__

-L(x-x)(y--y)工-nx-y

工4111••A

卜二Li__________________二Li______________

n_"n_'a=y-bx>

£(Xj-x)Xxj-nx

i=li=l

较14g(i卬/-_l+2+3+4+5+6弓—11+13+16+15+20+21「

［解答］解.(1)因为x=-----------二3.5，y=--------7--------二16，

66

所以

1_-2.5义(-5)+(-l-5)X(-3)+(-0.5)义0+0.5义(-1)+1.5X4+2.5X535

h=---------------------------------------------------------=-----n

(-2.5)2+(-l.5)2+(-0.5)2+0.52+l.52+2.5217-5

可得a=16-2X3.5=9,

所以y与x之间的线性回归方程为工

y-2x+9M

(2)由(1)可知，当x=8时，可得

y-Zb

其中甲品种山羊有25义差=10万只，乙品种山羊有25乂菖=15万只.

55

由频率估计概率，可得甲品种山羊达到售卖标准需要的养殖时间为6个月，7个月，8个

月和9个月的概率分别为0.2,0.35,0.35和0.1,

所以甲品种山羊要达到售卖标准需要养殖时间的期望为6X0.2+7X0.35+8X0.35+9X0.1

=7.35（月）.

由频率估计概率，可得乙品种山羊达到售卖标准需要的养殖时间为6个月，7个月，8个

月和9个月的概率分别为0.1,0.3,0.4和0.2,

所以乙品种山羊要达到售卖标准需要养殖时间的期望为6X0.1+7X0.3+8X0.4+9X0.2=

7.7（月）.

养殖每只甲品种山羊利润的期望为2500-7.35X300=2500-2205=295（元），

养殖每只乙品种山羊利润的期望为2700-7.7X300=2700-2310=390（元），

故2022年该县售卖的山羊所获利润的期望为10X295+15X390=8800（万元）.

20.如图，在三棱柱ABC-4B1G中，AC=BC=1,乙4c8=120°,44=4B=2,ZA\AC

=60°.

（1）证明：平面48cl.平面AiACG；

（2）若CP=^CC1，求二面角P-A山-A的余弦值・

【解答】（1）证明：连接4c.在△AiAC中，4A=2,AC=1,/4AC=60°,

由余弦定理得A]C=百，

222

^flUA1C+AC=A1A.所以AGAC.

同理4C_LBC.又因为BCrMC=C,

所以4CJ_平面ABC.

因为AiCu平面A\ACC\,

所以平面ABC_L平面A\ACC\.

（2）解：以C为坐标原点，忌的方向为