2021年广东省珠海二中高考数学考前模拟试卷一附答案解析

2021年广东省珠海二中高考数学考前模拟试卷（1）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

XV

1.已知X,y均不为0,则由一茴的值组成的集合的元素个数为（）

1川IZI

A.1B.2C.3D.4

2.已知i为虚数单位，则平=（）

A.4-3iB.4+3iC.3-4iD.3+4i

3.已知函数f（x）的部分图象如图所示，则它的解析式可能是（）

sinSx

A./(x)

2-X-2X

sinSxcos5x

C./(X)=\2X-2-X\D./(%)=|2X-2-X|

4.设函数〃＞）=1一6一,以下结论一定错误的是（）

A.1（乃＞2

B.若/'（/-2x-2）＜e-e-1,则x的取值范围是（一2,3）

C.函数y=/（%）在（一8,+8）上单调递增

D.函数f（x）有零点

过椭圆三患N=2的右焦点F2作倾斜角为艺弦AB,则MB/为（）

S砚

6.已知直线点〃平面4,Pg,那么过点F且平行于直线。的直线（）

A.只有一条，不在平面a内.B.有无数条，不一定在a内.

C.只有一条，且在平面a内.D.有无数条，一定在&内.

7.已知定义在R上的函数f（x）的导函数为/'（x）,且满足/（无）一/（乃>0,/'（2O21）=e2021,则不

等式f（“nx）（证的解集为（）

A.（e2021,+oo）B.（O,e2021）C.（e2021e,+oo）D.（0,e2021e）

8.二项式（质-5）"的展开式中第4项为常数项，则常数项为（）

A.10B.-10C.20D.-20

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.已知a>b>0,0<c<1,则（）

cccc

A.ac>beB.a>bC.ab<baD.logca<\ogcb

10.已知无穷等差数列｛a.｝的公差N*,Sn为其前ri项和，且5,23,29是数列｛an｝中的三项，则

下列关于数列｛斯｝的选项中，正确的有（）

A.dmax—6B.S3<2a4

C.数列｛sin&J为单调递增数列D.143一定是数列｛册｝中的项

11.下列命题正确的有（）

A.+=0

B.若豆=（1,1）,把五向右平移2个单位，得到的向量的坐标为（3,1）

C.在中，若。点满足引+而+岳=U，则。点是△ABC的重心

D.在AABC中，若次=4（曷+急），则P点的轨迹经过的内心

12.在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c一b=2bcos4则下列结论正确的

有（）

A.A=2B

B.B的取值范围为（0,5

C.7的取值范围为（四,2）

D•高-总+2s讥4的取值范围为（冬3）

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知点P在A4BC内，且满足而=:荏+工前，并设APCB,△PCA,AP/IB的面积依次S「S,

342

S3,则Si：S2：S3=------

14.12.已知数列｛aJ为等差数列,S*为其前%项和，且+须=2,则Swo=.

15.命题“三嘱:eR,产工0”的否定是一

16.球面上四点aB,c,D满足48=1,BC=6,AC=2,若四棱锥D-由体积的最大值为多

则这个球体的表面积为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.如图，在AABC中，B=^,BC=2遮，点。在边4B上，4。=DC,

DELAC,E为垂足.

(I)若ABC。的面积为哈求CD的长;

(11)若。5=芋，求角4的大小.

18.(本小题满分16分)

已知数列｛4｝的前〃项和S.满足：S=Xa-1),数列｛〃｝满足：对任意”eV有

力吹=(”-1).2川+2.

(1)求数列｛4｝与数列他｝的通项公式；

⑵记数列｛—｝的前〃项和为证明：当〃>6时，昨一讣1.

4

19.如图，平面a、/?、r两两相交，a、b、c为三条交线，且可/b,问：a与c,b与c之间有什么关系.

20.为降低空气污染，提高环境质量，政府决定对汽车尾气进行整治.某厂家生产甲、乙两种不同

型号的汽车尾气净化器，为保证净化器的质量，分别从甲、乙两种型号的净化器中随机抽取100

件作为样本进行产品性能质量评估，评估综合得分m都在区间[70,95].已知评估综合得分与产品

等级如表:

综合得分m等级

m>85一级品

75<m<85二级品

70<m<75三级品

根据评估综合得分，统计整理得到了甲型号的样本频数分布表和乙型号的样本频率分布直方图(

图表如下).

综合得分频数

[75,80)10

[80,85)30

[85,90)40

[90,95]20

合计100

(I)从厂家生产的乙型净化器中随机抽取一件，估计这件产品为二级品的概率；

(口)从厂家生产的乙型净化器中随机抽取3件，设随机变量X为其中二级品的个数，求X的分布

列和数学期望；

(HI)根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两种型号汽车尾气净化器的优劣情况进行比较.

21.已知函数/(x)=Inx,g(x)=\CLX2+(a-l)x.

(1)讨论F(x)=g(x)-f(尤)的单调性：

(2)若函数h(x)=f(x)+：-zn有两个零点%i，x2,且%2>/，求m的取值范围，并证明：九(2)>0・

22.已知椭圆C：=l(a>b>0)的离心率为圣焦距为2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线y=kx与椭圆C交于点E,F,过点E作EM1x轴于点M,直线FM交椭圆C于另一点N,证

明：EF1EN.

参考答案及解析

1.答案：C

解析：

本题考查集合中元素的个数，属基础知识的考查.

对后一卷由X、y的正负分四种情况去绝对值讨论即可・

lAllzI

解:xy均正或均负时，亩一番=°；

x正y负时•，亩一淄=2；

x负y正时,亩一七=一2，

故已-言的值组成的集合的元素个数为3个.

dllzI

故选C.

2.答案：4

解析：解：如2=巴里=芈%=4—33

II-lz

故选：A.

利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题.

3.答案：D

解析：解：根据题意，依次分析选项：

对于4/(%)=聋;，其定义域为｛x|%W0｝,有/(-x)=哭著=言与=/(“)，为偶函数,

在区间(0,2)上，sinx>0,2-x—2、<0,则/Q)<0,不符合题意；

对于8,f(x)=设驾，其定义域为｛制XR0｝,有/(一乃=*等=—/(x),/(x)为奇函数，不符

合题意；

对于C，/(乃=郎*，其定义域为｛x|xK0｝,有f(—乃=翟骂=一/(乃，/(x)为奇函数，不符

合题意；

对于。，/'。)=含=，其定义域为｛x|x彳0｝，有/(—x)=黑雪=喂肾=f(x)，/(©为偶函

4I-4I4I

数,

在区间(0*)上，cosx>0,则f(x)>0,符合题意；

故选：D.

根据题意，结合函数的图象依次分析选项，综合可得答案.

本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性的判断，属于基础题.

4.答案：B

解析：

本题考查了利用导数研究函数的单调性以及函数零点的应用问题，是基础题.对函数f(x)求导数，

判断f'(x)>2,利用「(%)>0判断f(x)是定义域R上的增函数，利用函数的单调性求出/(--2%-

2)<e-e-i的解集，根据f(0)=0判断/(x)有零点.

解：函数/'(x)=e*—e-x,则1(x)=e*+e-x2-e—=2,

当且仅当x=0时取“="，二A正确；

由/'(x)>0知，/(%)是定义域R上的增函数，

由/(%2—2x-2)<e—e-1=/(I),得/—2x—2<1,

解得-l<x<3,

••。的取值范围是(一1,3),B错误；

函数y=/(%)在(-8,+8)上单调递增，c正确；

/(0)=6。一6。=0,.•./(>)有零点，£>正确.

故选8.

5.答案：B

解析：试题分析：椭圆日#/=：!，则。=是，b=l,c=l,端=色=遮，两个焦点赢(一1,0),

篝疝%

弱(1,0)。

餐

直线4B的方程为y=%-1,代入三普靖=R整理得3谓-%；­=©

所以由弦长公式得|4B|=疝子|叼|=+£,故选B.

~署

考点：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，弦长公式的应用。

点评：基础题，利用数形结合思想，通过确定弦的方程，进一步转化成代数问题。

6.答案：C

解析：思路分析：直接利用直线与平面平行的性质定理，判断出正确结果.

解：过a与P作一平面/?,平面a与平面口的交线为b,

因为直线a〃平面a,所以a//b,在同一个平面内，过点作已知直线的平行线有且只有一条，

所以选项C正确.

故选C.

点评：本题是基础题，考查直线与平面平行的性质定理的应用，考查基本知识的灵活运用.

7.答案：D

解析：解：令g(x)=等，则g'(x)>0,

••.g(x)在R上单调递增，

令”“nx,贝行gbix)<诉,即为整<1=喝孕，即为g(t)<g(2021),

t<2021,即?rar<2021,解得0cx<e202】e.

故选：D.

构造函数9(乃=詈，易知g(x)为增函数，令t=则所求不等式等价为g(t)<g(2021),由此

可得t的取值范围，进而求得x的取值范围，即得解.

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的求解，考查构造函数思想及运算求解能力，属

于中档题.

8.答案：B

解析：

本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.

利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0,求出r,将r的值代入通项求出展开

式的常数项.

解：展开式的第四项是：制肉如⑹卜蚩尸二一篇哀…)，

第4项为常数项，令n—5=0得n=5,

展开式的常数项为：一盘=-10.

故选B.

9.答案:ABD

解析：解：由a>b>0,0<c<1,可得ac>be,故A正确；

由0<c<l,可得函数/(x)=必为增函数，由a>b>0,所以f(a)>/(b),即胪>眇，故8正确；

由0<c<l,可得c-l<0,所以函数g(x)=在(0,+8)上单调递减，

因为a>b>0,所以g(a)<g(b),HPac-1<6C-1,BRhac<abc,故C错误；

由0<c<1,可得<%)=logeX在(0,+8)上单调递减，

因为a>b>0,所以九(a)<h(b),BPlogca<\ogcb,故。正确.

故选：ABD.

由不等式的基本性质可判断选项4由基函数的性质可判断选项B,C；由对数函数的性质可判断选

项。.

本题主要考查不等式的基本性质，考查函数思想与逻辑推理能力，属于基础题.

10.答案：AD

解析：解：由23-5=18；29-23=6,d€N*,因此公差d是6和18的公约数，即d=1、2、3或

6,A正确,

若的=5,d=l,则S3=5+6+7=18,而2a4=2x8=16<18,B错，

若a[=2,d=1则a2=3,&3=4显然有sin2>sin3>sin4,C错；

因为143-29=114=6x19=kd(k6N*),所以D正确.

故选：AD.

由5,23,29是数列｛an｝中的三项，可得公差d是6和18的公约数，即可判断选项A；

举反例，如％,=5,d=1,易通过比较S3和2a4的大小关系判断选项B-.举反例，如的=2,d=1,

可得=3,a3=4,易知sin2>sin3>sin4从而判断选项C；通过143-29=114,而114是dgc

的整数倍，易判断选项D.

本题主要考查等差数列通项公式、前n项和、等差数列的性质等，考查运算求解能力和理解能力，属

于中档题.

11.答案：ACD

解析：解：对于4：AB-AC-'CD+BD=AD-AD=0>故A正确；

对于B：若五=(1,1),把不向右平移2个单位，得到的向量的坐标为(1,1),故B错误；

对于C：在△ABC中，若0点满足瓦5+赤+元=6,

如图所示：

整理得：以。4和OB为邻边作平行四边形，

所以面=死，

则。。=20E,

则。点是△ABC的重心，故C正确；

对于以由于福，像为单位向量，

由于方=4(磊+焉)，则P点的轨迹在角平分线上，即经过AABC的内心，故。正确.

故选：ACD.

直接利用向量的线性运算，单位向量的应用，中线向量，三角形的重心和内心的应用判断AB、C、

。的结论.

本题考查的知识要点：向量的线性运算，单位向量的应用，中线向量，三角形的重心和内心的应用，

主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

12.答案：AD

解析：

本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦函数的性质以及对勾函数性质在解三角

形中的综合应用，属于拔高题.

由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinQ4-B)=sinB,结合角的范围可求4=

2B,即可判断4

由题意可得范围2”，可得三<B<£即可判断8；

由正弦定理，二倍角公式可求£=2COSB,结合B的范围，利用余弦函数的性质即可判断C；

利用三角函数恒等变换的应用化简可得就-高+25讥4=熹+25讥4笠。《，可畔<

sinA<1,令t=t<1),则/(t)=，2吟<t<1),由对勾函数性质即可求解.

解：•・•c-b=2bcosA,

・••由正弦定理可得si几C-siziB=2sinBcosA,

又sinC=sin(A+8)=sinAcosB+cosAsinB,

/.sinAcosB+cosAsinB—sinB=2sinBcosAfWflsinAcosB-sinB=sinBcosA,

・•・sinAcosB-cosAsinB=sin(/-F)=sinB,

-A,B,C为锐角，

・•.A—B=B,即4=28,故选项A正确;

0<2B<

三^<A<^,故选项B错误;

0<”316432

*=鬻=甯£=2皿亦（鱼,何，故选项。错误；

---------+2sinA='皿+2sinA=‘皿瑞二助+2sinA=4一+2sinA,

tanBtanAsinBstnAsinBsinAsinA

又W<A<-,・•.一<sinA<1,

322

令t=sinA<t<1),则f(t)=14-2t(苧V£<1),

由对勾函数性质可知，f(t)=4+2t在te(号,1)上单调递增，

b、1,nV355/31

X/(y)=W+2XT=V'/⑴=[+2x1=3,

2

―--------—I-2sinA=---I-2sinA6(—―,3),故选项D正确.

tanBtanAsinA3

故选：AD.

13.答案：5：4：3

解析：解：设荏=3荏，AC=4AF,

以荏，都为邻边作四边形，

所以方=AE+AF，

所以AAEP与AAFP的面积相等，设面积为

1,

则APAB的面积为S3=3,

△P4C的面积S2=4,

因为PF〃4B,M

SAPA81

所以

^hABC4f

所以△ABC的面积为S=3x4=12,

所以△PBC的面积Si=12-3-4=5,

所以Si：S2：S3=5：4：3.

故答案为：5：4：3.

作图使得四=3AE，AC=4版,再以荏，都为邻边作四边，由向量的加法法则可得而=荏+"，

设S"EP=S"FP=1,再利用同底或等高分析面积SI，52,S3,即可得出答案.

本题考查共线向量，面积比，解题中注意转化思想的应用，属于中档题.

14.答案:100

解析：解：由题意知：

故答案是100.

々、+々州)=

5100=+"ioo)=50(50x2=100

L.UK：A-上阳.…

解析：试题分析：根据题意，由于将存在改为任意，结论变为否定，在可知命题•幅纪R，

0”的否定为浮屣R,靖演0,故答案为替案图R,靖泡0。

考点：特称命题的否定

点评：主要是考查了特称命题的否定，属于基础题。

16.答案：等

解析：解：=BC=V3,AC=2,

AB1BC,S^ABC=与,

•••三棱锥。-ABC的体积的最大值为更，

2

•••。到平面4BC的最大距离为3,

设球的半径为R,则/=3x(2/?-3),

...R=|,

•••球。的表面积为4兀/?2=等.

故答案为：甯

确定4B14C,SAABC=F，利用三棱锥ABC的体积的最大值为3,可得。到平面ABC的最大距离

为3,再利用射影定理，即可求出球的半径，即可求出球。的表面积.

本题考查球的半径，考查体积的计算，确定。到平面4BC的最大距离为3是关键.

17.答案：解：(1)由已知得543°="58£)7/8=¥

又BC=2y[3,sinB=曰得BD=痘

在小BCD中，由余弦定理得CD=y/BC2+BD2-2BC-BD-cosB=

J(2次产+(遮产-2•2V3-V3•1=3

所以CD的长为3.

,.、.2>/3AC

(11)在2\48。中，由正弦定理得以罚=逅，

2

又由已知得，E为4C中点，.•.4C=24E,

所以AE-s讥4=|,

•oDE./sinA

又一=tanA=------

AEcosA

所以4E.si7L4=DE.cosA=瞪cos4,

得血4=争所以4=.即为所求•

解析：(I)利用三角形△BCD的面积为雪，结合余弦定理，求CC的长；

(n)利用正弦定理，结合三角形求解4的余弦函数值，然后求解4的大小；

本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查数形结合以及计算能力.

(1)当”=1时，名=。:=2(%—1)，所以q=2,

当打>1时，冬=，-，_!=2(/，

所以数列沁,是以3=2,公比3=2的等比数列，

通项公式为%=2气"€.V)

18.答案:

由®»有4备=隼-1>2'+2=2，彳号4=1.

当空>2时，4或=9；4+—多+…+4与)一(23：+G%+…+4-Q—)

=[5-»k+R-[5-2]=,于是得幺="

故数列的通项公式为4="e-v'>

殳+以+…+义二+2+…十三

(2)证明：方=G%4=5亍2〃,所

以冢=*+捺j…6,

17.111.1八

错位相减裨3方=E-亍”F+…+丁一产.

M*2n*2

所以心-2—-即|2-北|=~.

”!>+2)<jm"—2)

下证：当打>6时一r1,令f(»).2*,

.2)3--

/(»-1)-/(»)=F3?~~~.”

当楼>2时，A»*n-/(»)<0即当n>2时，/(»：|单测减反/we,

次”—2)<]

所以当“A6时，mo«l,即-T—，即当">6时.附|2-r.|<1

(1)利用公式4=3*7"1=2(a*-aQ可整理得到：“

数列㈤是以勾=2，公比”：的等比数列，“

从而可得到通项公式,故可求得数列出1的通项公式”

解析•TC巴二bTI色

,(2)利用错位相减得只=2-二，即，|--用二2'

当外》2时，〃*+1)-.«刈<°,即当热>2时，Z(»J单调减，又f(6)<r

■4-2)々

所以当力>6时，/(«)<!，即"'，即当附>6时，"|2-讣1

19.答案:解：a//c,b〃c；

证明如下：

•・,any=Q,/?ny=b,

・•・QC6，bc0,

又•・•allb,

・•・a///?；

又丁aA/?=c,

aaa,

■■a//c；

同理b〃c.

解析：得出结论。〃。，b//c；利用直线与平面平行的判断定理与性质定理，即可证明结论成立.

本题考查了直线与平面平行的判断定理与性质定理的应用问题，也考查了几何语言与图形语言以及

符号语言的应用问题，是基础题.

20.答案：解：(I)设“从厂家生产的乙型净化器中随机抽取一件，这件产品为二级品”为事件A

由图可得尸(4)=(0.02+0.03)x5=0.25...............................(3分)

(U)X的可能取值为0,1,2,3P(X=0)=C先)。©3=|^5=1)=玛(»(1=方(>=2)=

或针(》4P(X=3)=C犯)3申。=±.................伊分)

所以X的分布列为

X0123

272791

p

64646464

......................................(9分)

方法一：E(X)=0x刍+1x刍+2x盘+3x白=：................(10分)

646464644、/

方法二：X服从二项分布X〜8(3,0.25)所以E(X)=np=3x0.25=0.75

(HI)答案不唯一，只要有数据支撑，言之有理可得分(下面给出两种参考答案)

(1)可根据三级品率进行比较，由图表可知甲型产品三等品概率为0,乙型三等品概率0.05.所以可以

认为甲型产品的质量更好：

(2)可根据一级品率进行比较，由图表可知甲型产品一等品概率为0.6,乙型一等品概率为0.7.所以可

以认为乙型产品的质量更好；......................(13分)

解析：(I)设“从厂家生产的乙型净化器中随机抽取一件，这件产品为二级品”为事件4由图可

得p(A)=(0.02+0.03)X5=0.25

(n)根据独立重复试验的概率公式以及二项分布可得.

(HI)答案不唯一，只要有数据支撑，言之有理可得分.

本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题.

(ax(x+1)

21.答案：解：(l)F(x)=[a/+(a-l)x-Znx,F'(x)=ax+a—l-^=~^(x>o),

①当aSO时，F'(x)<0,所以F(x)在(0,+8)上单调递减；

②当a>0时，可知F