专题2-8恒成立和存在型求参归类（讲练）

专题恒成立和存在型求参归类一、知识梳理与二级结论二、热考题型归纳【题型一】参变分离基础型【题型二】参变分离：虚设零点【题型三】参变分离：洛必达法则【题型四】分类讨论求参型【题型五】分类讨论求参：端点值型【题型六】分类讨论求参：隐零点型【题型七】分类讨论求参：整数型【题型八】同构型求参数【题型九】x1与x2型求参：恒成立与存在型【题型十】x1与x2型求参：值域子集型【题型十一】x1与x2型求参：绝对值分离同构【题型十二】数列型恒成立求参【题型十三】三角函数型恒成立存在求参三、高考真题对点练四、最新模考题组练知识梳理与二级结论一、虚设零点法：涉及到导函数有零点但是求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形时，可以将这个零点只设出来而不必求出来，然后寻找一种整体的转换和过度，再结合其他条件，进行代换变形，从而最重获得问题的解决虚设零点转化技巧：（1）、整体代换：把超越式子（多为指数和对数式子）转化为普通的（如二次函数一次哈数等）可解式子，如比值代换等等。（2）、反代消参：反解参数代入，构造单一变量的函数。如果要求解（或者要证明）的结论与参数无关，则可以通过反解参数，用变量（零点）表示参数，然后把函数变成关于零点的单一函数，再对单一变量求导就可以解决相应的问题。（3）留参降次（留参、消去指对等超越项）：如果要求解的与参数有关，则可以通过消去超越项，建立含参数的方程或者不等式。恒等变形或者化简方向时保留参数，通过“降次”变换，一直降到不可再降为止，再结合条件，求解方程或者不等式，解的相应的参数值或者参数范围。二、常见同构技巧：三、洛必达法则：1.洛必达法则可处理，，，，，，型。2.在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。3.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：及；

(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；

(3)，那么=。

法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)及；

(2)，f(x)和g(x)在与上可导，且g'(x)≠0；

(3)，那么=。

法则3若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)及；

(2)在点a的去心HYPERLINK邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；

(3)，那么=。四、恒（能）成立问题的解法：1.若在区间上有最值，则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.2.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.五.对于含有全称量词，特称量词的题目，有以下常见结论：；；.六.不等式恒成立（能成立）问题，一般有两种方法：方法1：分离参数法解决恒(能)成立问题，方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.热点考题归纳【题型一】参变分离型【典例分析】已知函数，其中．(1)讨论的单调性；(2)若，，求的最大值．【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上增，在上减．(2)【分析】（1），讨论或判断的单调性；（2）由题意可得：对任意恒成立，即，通过导数求的最小值．【详解】（1），当时，当恒成立，在上单调递增；当时，令，得，令，得，在上单调递增，在上单调递减，综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）依题意得对任意恒成立，即对任意恒成立，令，则，令，则在上单调递增，，当时，，即；当时，，即，在上单调递减，在上单调递增，，，故的最大值为．【提分秘籍】参变分离型求参数：参变分离：当不等式含有两个字母时，其中一个有定义域的为变量，另外一个则为参数。两个变量比较容易拆开时，则用参变分离。不容易拆开时，则可以采用分类讨论和最值分析法来解决这类问题。

如何确定参数与变量：一般情况下，有范围的字母为变量，构造关于它的函数，所求的字母（一般情况下）看为参数。参变分离发的适用范围：恒成立或者存在问题求参数、是否能分离变量，如能分离（参数），则可以通过对变量函数求最值得到。、参变分离后，已知变量的函数解析式是否能求出最值（端点值或临界值），若无法求出最值，则无法用参变分离解决。【变式演练】（广东省湛江市第二十一中学2020-2021学年高三3月数学试题）已知函数，（1）求函数的单调区间和极值；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为，极小值为，极大值为；（2）.【分析】（1）求，解不等式和可得单调递增和单调递减区间，由单调性即可得极值；（2）由题意可得：不等式对于任意恒成立，令，只需，利用导数判断单调性求最值，即可求解.【详解】（1）定义域为，，令，可得，，由，得；由，得或，所以函数的单调增区间为单调减区间为，所以当时，函数极小值为，当时，函数的极大值为，（2）若，不等式恒成立，即对于任意，不等式恒成立，设，，则，因为，恒成立，所以在区间上单调递增，所以，所以，所以实数的取值范围是.【题型二】参变分离求参：虚设零点型【典例分析】（2020秋·辽宁营口·高三营口市第二高级中学校考阶段练习）已知函数，（1）判断函数在区间上的单调性；（2）若当时，恒成立，求正整数的最大值．【答案】（1）减函数；（2）3.【分析】（1）求出导函数，由确定增区间，由确定减区间；（2）不等式，变形为，因此令，利用导数求出的最小值，即可得的取值范围，从而得到最大的正整数．【详解】（1），∵，∴，∴，∴在上是减函数；（2）当时，恒成立，即对恒成立，，记，则，∴在上单调递增，又，∴存在唯一实数根，且满足，，由时，，时，，知的最小值是，∴，正整数k的最大值是3．【提分秘籍】虚设零点转化技巧：（1）、整体代换：把超越式子（多为指数和对数式子）转化为普通的（如二次函数一次哈数等）可解式子，如比值代换等等。（2）、反代消参：反解参数代入，构造单一变量的函数。如果要求解（或者要证明）的结论与参数无关，则可以通过反解参数，用变量（零点）表示参数，然后把函数变成关于零点的单一函数，再对单一变量求导就可以解决相应的问题。（3）留参降次（留参、消去指对等超越项）：如果要求解的与参数有关，则可以通过消去超越项，建立含参数的方程或者不等式。恒等变形或者化简方向时保留参数，通过“降次”变换，一直降到不可再降为止，再结合条件，求解方程或者不等式，解的相应的参数值或者参数范围。【变式演练】（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）已知函数，（，为自然对数的底数）.(1)求函数的极值；(2)若对，恒成立，求的取值范围.【答案】(1)极大值为，无极小值(2)【分析】（1）求导后，根据的正负可求得的单调性，根据极值的定义可求得结果；（2）分离变量可将问题转化为在上恒成立；求导后可令，利用导数可求得的单调性，利用零点存在定理可求得的零点，并得到的单调性，由此可求得，化简可得，由此可求得的取值范围.【详解】（1）定义域为，，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，的极大值为，无极小值.（2）由得：，在上恒成立；令，则；令，则，在上单调递增，又，，，使得，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，；由得：，，，，则实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数的极值、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式，将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系问题，从而利用导数求解函数最值来求得变量的取值范围.【题型三】参变分离求参：洛必达法则型【典例分析】已知．（1）求的单调区间；（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．【解析】（1）的定义域为，，令，则所以当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，所以时，（1），即在上单调递增，所以的增区间为，无减区间．（2）对任意，不等式恒成立等价于对任意，恒成立．当，对任意，不等式恒成立等价于对任意，恒成立．记，则，记，则，所以在单调递减，又（1），所以，时，，即，所以在单调递减．所以，综上所述，的取值范围是．【提分秘籍】若函数f(x)和g(x)满足下列条件：及；

(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；

(3)，那么=。

【变式演练】已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直．（1）求实数的值；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1），；函数在处取得极值，；又曲线在点处的切线与直线垂直，；解得：；（2）不等式恒成立可化为，即；当时，恒成立；当时，恒成立，令，则；令，则；令，则；得在是减函数，故，进而（或，，得在是减函数，进而）．可得：，故，所以在是减函数，而要大于等于在上的最大值，但当时，没有意义，变量分离失效，我们可以由洛必达法得到答案，，故答案为．【题型四】分类讨论求参型【典例分析】（2023·甘肃定西·统考一模）已知函数.(1)当时，求函数的图象在处的切线方程；(2)若恒成立，求实数的最小值.【答案】(1)(2).【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可；（2）由恒成立，即恒成立，设，由单调性可得对恒成立，于是恒成立，设，根据函数的单调性及最值求出答案.【详解】（1）当时，，所以，所以函数图象在处的切线方程为，即.（2）恒成立，即恒成立，于是恒成立，即恒成立，设，则，当时，单调递增，所以，对恒成立，即对恒成立，于是恒成立，设，当时，单调递增；当时，单调递减，，所以的最小值是.【提分秘籍】分类讨论法：考虑导函数等0时是否有实根，从而分类讨论导函数有实根，但是实根是否落在定义域内，从而讨论。导函数有实根，导函数也落在定义域内，但是这些实根的大小关系不确定从而进行讨论【变式演练】（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数．(1)若，求的单调区间；(2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为；(2).【分析】（1）求导后，解不等式可得增区间，解不等式可得减区间；（2）先由时不等式成立，得，再将不等式化为，构造函数，利用导数求出其最小值，代入可解得结果.【详解】（1），，令，得或，令，得或，令，得，所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）关于x的不等式在上恒成立，即在上恒成立，当时，得，即，令，，因为，所以，设，则，令，得,令，得，所以在上为减函数，在上为增函数，所以，即，所以，所以在上为增函数，所以，即.【题型五】分类讨论求参：端点值型【典例分析】（2023·安徽宣城·统考二模）已知函数．(1)若，求．(2)证明：，．【答案】(1);(2)证明见解析.【分析】（1）利用换元法，把题意转化为证明.令，，分类讨论求参：和，利用导数判断单调性，得到，解出；（2）利用分析法，只需证，.记，利用导数判断出在内单调递减，由，即可证明.【详解】（1）令，则可化为.令，，则若，则，此时在内单调递增，，所以时，，不符合题意；若，则由得．当，单调递增；当，，单调递减．因为，所以当或者时，，不符合题意；当时，，符合题意，故，解得．（2）要证，,只需证，由（1）可知，．记，则当时，因此在内单调递减，又，所以即，故，.【提分秘籍】端点值效应：端点值效应，是通过端点值来缩小参数范围，从必要条件入手寻找充要条件。1、恒成立或者存在求参数型题2、函数的最值只可以再极值点和端点值处取得3、本质是“求函数的值域”问题。【变式演练】(全国新课标理)设函数。（1）若，求的单调区间；（2）若当时，求的取值范围原解：（1）时，，.当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加（II）由（I）知，当且仅当时等号成立.故 ，从而当，即时，，而，于是当时，.由可得.从而当时， ，当时，，而，于是当时，. 综合得的取值范围为【题型六】分类讨论求参：隐零点【典例分析】（2023·河南安阳·统考三模）已知函数.(1)证明：曲线在处的切线经过坐标原点；(2)记的导函数为，设，求使恒成立的的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据导数的几何意义求出函数在处的切线方程即可证明；（2）把不等式恒成立转化为求函数的最大值小于等于零恒成立，然后利用导数求出函数的最大值即可得结果.【详解】（1）由已知得，所以，又，所以在处的切线方程为，即，恒过坐标原点.（2），定义域为，.当时，在上单调递增，且，故不恒成立.当时，设，则，则当时，在上单调递减，又，因为，所以，即，由零点存在定理知在内存在唯一零点，即，即.当时，，于是在上单调递增，当时，，于是在上单调递减，所以在处取得极大值也是最大值，要使恒成立，只需.因为，由，解得，故所求的的取值范围是.【提分秘籍】虚设零点法：涉及到导函数有零点但是求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形时，可以将这个零点只设出来而不必求出来，然后寻找一种整体的转换和过度，再结合其他条件，进行代换变形，从而最重获得问题的解决【变式演练】（2023·贵州铜仁·统考模拟预测）已知函数，．(1)若过点作曲线的切线有且仅有一条，求实数t的值；(2)若恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)或；(2).【分析】（1）设切点，求出.然后根据导数的几何意义推得.根据已知可得出，求解即可得出答案；（2）先证明当时，有.然后可推得，进而可得出所以当时，成立.然后验证时，当时，有，即可得出答案.【详解】（1）设切点，由，求导得，根据导数的几何意义，得，化简可得，，依题意方程仅只一个实根，于是，解得或，所以当或时，过点P作曲线的切线有且仅有一条．（2）设，，则恒成立，于是在上单调递增，则，即，因此当时，恒有成立，则有，当且仅当时等号成立，令，，则恒成立，即在上单调递增，又，，根据零点存在定理可得，，使得，于是在上恒成立，所以当时，，即成立；当时，存在满足，即，此时，，不合题意，综上，a的取值范围是．【点睛】思路点睛：先证明，进而得出，即可得出时，恒成立.然后说明，不成立即可.【题型七】分类讨论求参：整数型参数【典例分析】（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）已知函数(1)求曲线在处的切线方程；(2)写出一个适当的正整数，使得恒成立，并证明．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义，根据切线方程的公式，求得切点坐标与斜率，可得答案；（2）先写出一个正整数，整理不等式，构造函数，利用导数研究函数的单调性，研究最值，可得答案.【详解】（1），因为，所以，则，所以曲线在处的切线方程为，即．（2）当时，恒成立，即恒成立，证明过程如下．今，①当时，，所以．②当时，，令，则，可知在上单调递增．当时，，所以，即在上单调递增，又因为，所以，即在上单调递增，所以成立．一般情况下探求：当时，，即，令，①当时，，所以．②当时，，令，则，可知在上单调递增．又因为，所以存在，使得，即，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，所以只需满足即可.【提分秘籍】讨论出单调性，要注意整数解中相邻两个整数点函数的符号【变式演练】（2022届高三下学期临考冲刺原创卷（三）数学试题）已知函数（）．(1)讨论的单调性；(2)是否存在，使得对恒成立？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．(2)不存在满足条件的整数a，理由见解析【分析】（1）构造新函数，分及两种情况，利用导数研究函数的单调性即可求解；（2）将问题进行转化，构造新函数并求导，分和两种情况分别讨论，利用导数研究函数的单调性及最值，整理求解．(1)因为，所以．记，则，当时，，即在上单调递增；当时，由，解得，即在上单调递增；由，解得，即在上单调递减．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．(2)假设存在，使得对任意恒成立，即对任意恒成立．令，则，当且时，，则在上单调递增，若对任意恒成立，则，即，矛盾，故舍去；当，且时，由得；由得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则令即可．令，则，当，即时，单调递增；当，即时，单调递减，所以，所以不存在且，使得成立．综上所述，不存在满足条件的整数a．【题型八】同构型求参数【典例分析】（河北省衡水中学2023届高三上学期期末数学试题）已知函数.(1)求证：；(2)若，都，求k满足的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）利用同构，转化为.构造函数，利用导数求出最小值，即可证明；（2）把转化为对恒成立.构造函数，利用导数判断出单调性，转化为对恒成立，分离参数后，构造函数，利用导数求出，即可求解.【详解】（1）函数的定义域为..令，则.因为，所以当时，，单减；当时，，单增.所以，即，所以成立.（2）即为，亦即为，可化为对恒成立.不妨设，则.当时，，单减；当时，，单增.所以当时，有对恒成立.即.令，则.所以当时，，单减；当时，，单增所以.即.综上所述：的取值范围为.【提分秘籍】同构法求参数范围通过对原函数进行适当的代换或者变换，可以带到一个与之相同（同构，结构相同，性质相同）的新函数，新函数相对容易处理。利用同构法，可以讲原函数问题转化为一个更简单的问题，并通过求导求最值进行分析从而得到参数范围。同构法求解参数范围：寻找原函数及其特点进行适当的变形方式。对构造的新函数进行求导分析根据新函数极值最值等得到参数范围【变式演练】（2022秋·江苏扬州·高三仪征中学校联考阶段练习）已知函数，.(1)若在点处的切线与在点处的切线互相平行，求实数a的值；(2)若对，恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)2(2)[，+∞）【分析】（1）分别求得和，根据，列出方程，即可求解；（2）将不等式变形转化为，构造函数，，利用导数求得函数单调性和最值，即可求出实数的取值范围．【详解】（1）依题意，，，则，，因为在点,处的切线与在点,处的切线互相平行，所以，又因为，所以（2）由，得，即，即，设，则，，由，设，可得，所以时，，单调递减；当时，，单调递增，所以,所以在上单调递增，所以对恒成立，即对恒成立，设，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，故，所以实数的取值范围为．【题型九】x1与x2型求参：恒成立与存在型【典例分析】（陕西省咸阳市高新一中2022-2023学年高三理科数学试题（A卷））已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a.（1）求函数f(x)＝x＋在上的值域；（2）若∀x1∈，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先求导数，判断函数单调性，结合单调性求解值域；（2）把条件转化为，分别求解的最小值可得实数a的范围.【详解】（1），因为，所以，即函数为减函数，因为，所以值域为.（2）因为∀x1∈，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，所以，因为，所以，所以，即.【提分秘籍】一般地，已知函数，(1)若，，总有成立，故；(2)若，，有成立，故；(3)若，，有成立，故；(4)若，，有成立，故．【变式演练】（安徽省滁州市定远县育才学校2021-2022学年高三上学期第二次月考数学（文）试题）已知函数，在处取得极小值．(1)求函数的解析式；(2)求函数的极值；(3)设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)极小值；极大值(3)．【分析】（1）根据函数在极值处导函数为，极小值为联立方程组即可求得，，求得函数解析式，求导，利用导数判断原函数的单调性，检验求得，值是否满足题意；（2）由（1）即可求得极大值和极小值；（3）依题意只需即可，当时，函数有最小值，即对任意总存在，使得的最小值不大于；对于，分、、三种情况讨论即可．【详解】（1）∵，则，由题意可得，解得，则函数的解析式为，且，令，解得：，则当变化时，的变化情况如下表：减极小值增极大值减故符合题意，即.（2）由（1）可得：当时，函数有极小值；当时，函数有极大值2.（3）∵函数在时，，在时，且，∴由（1）知：当时，函数有最小值，又∵对任意总存在，使得，则当时，的最小值不大于，对于开口向上，对称轴为，当时，则在上单调递增，故的最小值为，得；当时，则在上单调递减，故的最小值为，得；当时，则在上单调递减，在上单调递增，的最小值为，得或，不合题意，舍去；综上所述：的取值范围是.【题型十】x1与x2型求参：值域子集型【典例分析】（2023·高三课时练习）已知函数，，．(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；(2)若方程在上恰有两个不同的实数根，求的取值范围；(3)若对任意，总存在唯一的，使得，求的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，则，解得的值；（2）若方程在上恰有两个不同的实数根，故在上有两个实数根，进而得到答案；（3）若对任意，总存在唯一的，使得，则的值域满足，进而得到答案．【详解】（1），即曲线在点处的切线斜率为，曲线在点处的切线与直线垂直，；（2）若方程在上恰有两个不同的实数根，即在上恰有两个不同的实数根，当时，等式不成立，故在上有个实数根，令，则恒成立，故在和上均为增函数；当时，；当时，，综上可得：（3）由（1）中得：当时，，函数为减函数；当时，，函数为增函数；故当时，函数取最小值，当时，函数，，当时，函数；当时，由得：，由对任意，总存在唯一的，使得得：，解得：；当时，由得：，满足对任意，总存在唯一的，使得当时，由得：，由对任意，总存在唯一的，使得得：，解得：；综上可得：【提分秘籍】一般地，已知函数，（1）相等关系记的值域为A,的值域为B,①若，，有成立，则有；②若，，有成立，则有；③若，，有成立，故；【变式演练】（2021秋·河南·高三校联考阶段练习）已知函数：.（1）当时，求的最小值；（2）对于任意的都存在唯一的使得，求实数a的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）求导，对参数进行分类讨论，根据不同情况下函数的单调性，即可求得函数的最小值；（2）根据题意，求得不同情况下的值域，结合其值域为的子集，列出不等式，则问题得解.【详解】（1）时，递增，,时，递减，，时，时递减，时递增，所以综上，当；当当（2）因为对于任意的都存在唯一的使得成立,所以的值域是的值域的子集.因为递增，的值域为（i）当时，在上单调递增，又，所以在[1,e]上的值域为,所以，即.（ii）当时，因为时，递减，时，递增，且，所以只需即，所以（iii）当时，因为在上单调递减，且，所以不合题意.综合以上，实数的取值范围是.【题型十一】x1与x2型求参：绝对值型分离同构型【典例分析】（河南省部分学校2022-2023学年高三12月大联考理科数学试题）已知（）．(1)讨论的单调性；(2)若，函数，，，，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.(2)【分析】（1）先求出的导数，根据的取值范围进行分类讨论即可；（2）当，时，，去绝对值后，构造函数求解即可.【详解】（1）由已知，（）的定义域为，，①当时，在区间上恒成立，在区间上单调递增；②当时，令，则，，解得（舍），，∴当时，，∴，∴在区间上单调递减，当时，，∴，∴在区间上单调递增，综上所述，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）当时，，，，，，等价于，即，令，，则恒成立，令，，则，令，解得，当时，，在区间单调递增；当时，，在区间单调递减，∴当时，的最大值为，∴当时，，即，∴在区间上单调递减，不妨设，∴，，有，又∵在区间上单调递减，，，且，有，∴等价于，∴，设，，则，，且，等价于，即在上单调递减，∴，∴，∴，∵当时，的最大值为，∴的最小值为，∴，综上所述，满足题意的实数的取值范围是.【提分秘籍】1.含绝对值型，大多数都是有单调性的，所以可以通过讨论去掉绝对值。2.去掉绝对值，可以通过“同构”重新构造函数。【变式演练】（2021-2022学年河北省衡水中学高三一调考试数学）已知（1）讨论的单调性，（2）当时，若对于任意，都有,求的取值范围.【答案】（1）时在上单调递增；时，的递增区间为,的递减区间为；（2）【分析】（1）求得导函数，分和两种情况讨论导函数的符号，解不等式即可求得单调区间；（2）根据（1）中得到的单调性结论，将绝对值不等式转化，构造函数，通过求导数，分离参数后转化为二次函数，即可求得的取值范围．【详解】（1）∵当时当时恒成立∴在上单调递增当时，令得，令得∴的递增区间为，的递减区间为（2）由（1）知时在上单调递增不妨设，可化为即令则在单调递增对恒成立则【题型十二】数列型恒成立求参【典例分析】（河南省驻马店市环际大联考圆梦计划2022-2023学年高三上学期期中考试文科数学试题）已知函数．(1)求的最大值；(2)设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值．【答案】(1)0(2)3【分析】（1）求出，得出函数的单调性、极值、最值；（2）根据（1），令得，两端累加求和（右端恰为等比数列）即可得出.【详解】（1），当时，，当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，则在时，取得极大值，且为唯一极值点，∴在时，取得最大值0．（2）由（1）知当时，．令得．从而即，故．而，所以m的最小值为3．【变式演练】（2023·吉林·统考模拟预测）已知函数，且.(1)求实数的取值范围；(2)设为整数，且对任意正整数，不等式恒成立，求的最小值；(3)证明：.【答案】(1)(2)2(3)证明见解析【分析】（1）法一：由得出，利用导数得出，进而得出实数的取值范围；法二：由确定是上最小值，也是极小值，进而得出的值，再检验即可；法三：由洛必达法则求解即可；（2）由，通过赋值得出，再由等比求和公式得出的最小值；（3）由在上恒成立，令和，由对数的运算证明即可.【详解】（1）法一：在上恒成立在上恒成立设①当时，恒成立在上单调递增，且时，不符合题意，舍去②当时，令，则；令，则.在上单调递减，在上单调递增.设令，则；令，则.在上单调递增，在上单调递减，即当时，的取值范围是：.法二：在上恒成立是上最小值，也是极小值，即当时，令，则；令，则在上单调递减，在上单调递增即，满足：在上恒成立法三：①当时，恒成立，.②当时，恒成立，设设在上单调递增，在上单调递增当时，为“”型由洛必达法则得当时，，即③当时，恒成立，设设在上单调递减，在上单调递增当时，为“”型由洛必达法则得当时，，即综上，的取值范围是：（2）由（1）知，，即在上恒成立（当且仅当时取等）令，则.即又且的最小值为2.（3）不等式在上恒成立（当且仅当时取等）令，则，即.令，则，即故.【点睛】关键点睛：在解决问题（2）（3）时，关键是利用不等式，通过赋值得出的最值和证明不等式.【题型十三】三角函数型恒成立存在求参【典例分析】已知函数，．(1)求证：在上单调递增；(2)当时，恒成立，求的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先求函数的导数，分，两种情况讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可得出结论；（2）由题意得恒成立，当，时，显然恒成立；当时，得，构造函数，结合函数的单调性及最值即可得出结果．【详解】（1），，当时，，，，（等号不能同时成立），所以；当时，，，，所以，所以当时，，综上，在上单调递增．（2），化简得，①当时，，显然恒成立；②当时，，显然恒成立；③当时，，∴．设，，设，．∵，∴，，∴，在上单调递增，又由，所以当时，∴，，∴在上单调递减，当时，，，∴在上单调递增，所以，故．【提分秘籍】三角函数与导数应用求参：正余弦的有界性三角函数与函数的重要放缩公式：.【变式演练】（江苏省盐城市第一中学2022-2023学年高三上学期12月学情调研（五）数学试题）已知函数已知函数．(1)当时，若，证明：．(2)当时，，求a的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）首先不等式变形后，构造函数，利用导数证明，即可证明；（2）首先构造函数，分，和三种情况讨论函数的单调性，讨论不等式，并得到的取值范围.【详解】（1）当时，需证，只需证设，，当时，，所以在上单调递增，所以．所以（2）因为，所以设，可得，又，则，若，，由（1）知，当时，；当时，，所以恒成立，符合题意；若，，当时，，不合题意；若，因为时，，所以在上单调递增，因为，又，所以存在，，当时，，在上单调递减，，不合题意；综上，，的取值范围是．高考真题对点练1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数(1)当时，讨论的单调性；(2)若恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)答案见解析.(2)【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可;（2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可.【详解】（1）令,则则当当,即.当,即.所以在上单调递增,在上单调递减（2）设设所以.若,即在上单调递减,所以.所以当,符合题意.若当,所以..所以,使得,即,使得.当,即当单调递增.所以当,不合题意.综上,的取值范围为.,对应当.2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程．(2)若函数在单调递增，求的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；（2）原问题即在区间上恒成立，整理变形可得在区间上恒成立，然后分类讨论三种情况即可求得实数的取值范围.【详解】（1）当时，，则，据此可得，所以函数在处的切线方程为，即.（2）由函数的解析式可得，满足题意时在区间上恒成立.令，则，令，原问题等价于在区间上恒成立，则，当时，由于，故，在区间上单调递减，此时，不合题意;令，则，当，时，由于，所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增，所以，在区间上单调递增，，满足题意.当时，由可得，当时，在区间上单调递减，即单调递减，注意到，故当时，，单调递减，由于，故当时，，不合题意.综上可知：实数得取值范围是.3．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)在上单调递减(2)【分析】（1）代入后，再对求导，同时利用三角函数的平方关系化简，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解；（2）法一：构造函数，从而得到，注意到，从而得到，进而得到，再分类讨论与两种情况即可得解；法二：先化简并判断得恒成立，再分类讨论，与三种情况，利用零点存在定理与隐零点的知识判断得时不满足题意，从而得解.【详解】（1）因为，所以，则，令，由于，所以，所以，因为，，，所以在上恒成立，所以在上单调递减.（2）法一：构建，则，若，且，则，解得，当时，因为，又，所以，，则，所以，满足题意；当时，由于，显然，所以，满足题意；综上所述：若，等价于，所以的取值范围为.法二：因为，因为，所以，，故在上恒成立，所以当时，，满足题意；当时，由于，显然，所以，满足题意；当时，因为，令，则，注意到，若，，则在上单调递增，注意到，所以，即，不满足题意；若，，则，所以在上最靠近处必存在零点，使得，此时在上有，所以在上单调递增，则在上有，即，不满足题意；综上：.4．（2023·全国·统考高考真题）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.(3)若在存在极值，求a的取值范围.【答案】(1)；(2)存在满足题意，理由见解析.(3).【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数的方程，解方程可得实数的值，最后检验所得的是否正确即可；(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论，和三中情况即可求得实数的取值范围.【详解】（1）当时，，则，据此可得，函数在处的切线方程为，即.（2）令，函数的定义域满足，即函数的定义域为，定义域关于直线对称，由题意可得，由对称性可知，取可得，即，则，解得，经检验满足题意，故.即存在满足题意.（3）由函数的解析式可得，由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点;令，则，令，在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点，当时，，在区间上单调递减，此时，在区间上无零点，不合题意;当，时，由于，所以在区间上单调递增，所以，在区间上单调递增，，所以在区间上无零点，不符合题意；当时，由可得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故的最小值为，令，则，函数在定义域内单调递增，，据此可得恒成立，则，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，故，即(取等条件为)，所以，，且注意到，根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点.当时，，单调减，当时，，单调递增，所以.令，则，则函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以，所以函数在区间上存在变号零点，符合题意.综合上面可知:实数得取值范围是.5．（2023·全国·统考高考真题）（1）证明：当时，；（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．【答案】（1）证明见详解（2）【分析】（1）分别构建，，求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得结果；（2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究在上的单调性，求导，分类讨论和，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解.【详解】（1）构建，则对恒成立，则在上单调递增，可得，所以；构建，则，构建，则对恒成立，则在上单调递增，可得，即对恒成立，则在上单调递增，可得，所以；综上所述：.（2）令，解得，即函数的定义域为，若，则，因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，不合题意，所以.当时，令因为，且，所以函数在定义域内为偶函数，由题意可得：，（i）当时，取，，则，由（1）可得，且，所以，即当时，，则在上单调递增，结合偶函数的对称性可知：在上单调递减，所以是的极小值点，不合题意；（ⅱ）当时，取，则，由（1）可得，构建，则，且，则对恒成立，可知在上单调递增，且，所以在内存在唯一的零点，当时，则，且，则，即当时，，则在上单调递减，结合偶函数的对称性可知：在上单调递增，所以是的极大值点，符合题意；综上所述：，即，解得或，故a的取值范围为.6．（2022·全国·统考高考真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．(1)若，求a；(2)求a的取值范围．【答案】(1)3(2)【分析】（1）先由上的切点求出切线方程，设出上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出即可；（2）设出上的切点坐标，分别由和及切点表示出切线方程，由切线重合表示出，构造函数，求导求出函数值域，即可求得的取值范围.【详解】（1）由题意知，，，，则在点处的切线方程为，即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得；（2），则在点处的切线方程为，整理得，设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得，则，整理得，令，则，令，解得或，令，解得或，则变化时，的变化情况如下表：01000则的值域为，故的取值范围为.7．（2021·天津·统考高考真题）已知，函数．（I）求曲线在点处的切线方程：（II）证明存在唯一的极值点（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．【答案】（I）；（II）证明见解析；（III）【分析】（I）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；（II）令，可得，则可化为证明与仅有一个交点，利用导数求出的变化情况，数形结合即可求解；（III）令，题目等价于存在，使得，即，利用导数即可求出的最小值.【详解】（I），则，又，则切线方程为；（II）令，则，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，当时，，，当时，，画出大致图像如下：所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，当时，，则，单调递增，当时，，则，单调递减，为的极大值点，故存在唯一的极值点；（III）由（II）知，此时，所以，令，若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，故，所以实数b的取值范围.最新模考真题1．（2023·福建泉州·校考模拟预测）已知函数.(1)若，求的极值；(2)若对任意，恒成立，求整数m的最小值.【答案】(1)极大值为，无极小值(2)1【分析】（1）求导函数，由导函数确定函数的单调性得极值；（2）不等式恒成立转化为在上恒成立，设，转化为求的最大值，确定的零点的范围，得出最大值的范围后可得最小的整数．【详解】（1）当时，，.当时，，则在上单调递增；当时.，则在上单调递减.所以在时取得极大值且极大值为，无极小值；（2）因为对任意，恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，设，则.设，显然在上单调递减，因为，，所以，使得，即，当时，，；当时，，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，因为，所以，故整数m的最小值为1.2．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知函数．(1)讨论函数的零点的个数﹔(2)当时，若对任意，恒有，求实数a的取值范围．【答案】(1)当时，无零点，当或有一个零点，当，有2个零点，(2)【分析】（1）利用导数求解函数的单调性，即可结合函数图象求解，（2）将不等式等价于，构造函数，利用导函求解单调性，即可将问题进一步转化为恒成立，取对数即可求解.【详解】（1）令则，记，则，当时，，此时在单调递减，当时，，此时在单调递增，故当时，取极大值也是最大值，又，而当时，，故当时，，当时，，作出的图象如下：

因此当时，即，无交点，此时无零点，当或时，即或，有一个交点，此时有一个零点，当时，即，有两个交点，此时有2个零点，综上可知：当时，无零点，当或有一个零点，当，有2个零点，（2）当时，若对任意，恒有等价于：对任意，恒有，令，则不等式等价于，由于，令，当单调递减，当单调递增，所以，故在单调递增，由得对任意恒成立，两边取对数得对任意恒成立，故，所以故的范围为3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数.(1)当时，求函数的图象在处的切线方程；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求得斜率，然后用点斜式求得直线方程；（2）令（），转化为，恒成立，构造函数利用导数结合单调性和最值可得答案.【详解】（1），当时，，，，，所以时，函数的图象在处的切线方程为：；（2）（）恒成立，令（），，（）恒成立，即为，恒成立，，令，恒过，（ⅰ）若，即，，，，在上单调递增，恒成立.（ⅱ）设抛物线与轴的两个交点分别为，且，当，即时，，，则，在上单调递减，此时，不满足恒成立，综上可知：的取值范围为.4．（2024·江西·校联考模拟预测）已知函数.(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求得函数定义域为，，通过分类讨论即可得到答案；（2）首先得到的范围，将原式转化为对恒成立，即对恒成立，通过导数研究函数最值即可得到答案.【详解】（1）定义域为，，①当时，令，得，此时单调递增，令，得，此时单调递减；②当时，令，得，此时单调递增，令，得，此时单调递减；综上所述，当时，在单调递增，在单调递减；当时，在单调递增，在单调递减.（2）记，由（1）知，当时，，则，则，当时，恒成立，即对恒成立，即对恒成立，则，即对恒成立，令，对恒成立，则在单调递增，所以，所以，即实数的取值范围为.5．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知函数．(1)若，求函数的最值；(2)若，函数在上是增函数，求a的最大整数值．【答案】(1)最小值为，最大值为(2)0【分析】（1）求导分析函数的单调性与最值即可；（2）将题意转化为在上恒成立，参变分离可得，设，求导后根据零点存在性定理可得上有极大值点，设为，再根据满足的方程代入，结合的取值范围分析最大值的范围即可.【详解】（1）若，则函数，．令，则或，由于，因而当时．单调递减，当时．单调递增，所以的最小值为，最大值为（2），由在上是增函数，得在上恒成立，即，分离参数得设，则，，即设，由于因而方程在上有解，设为，则，且当时，，当时，所以的最大值为．因而，即，又又所以a的最大整数值为0．6．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）函数.(1)当时，求函数的极值；(2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)极大值为，无极小值(2)【分析】（1）在定义域内求导，利用导函数求出函数的极值；（2）将原式转化为，进而转化为式子和需同号的问题，然后令，求导研究其单调性及值域，再根据函数值先得出参数需大于0，然后通过对参数分为和进行分类讨论即可得出最后结论.【详解】（1）当时，，令，则此时当，，函数在区间单调递增，当，，函数在区间单调递减，所以函数的极大值为，无极小值.（2）原式等价于，即，因为所以，即，令，可得，因为对任意恒成立，所以，可得.当时，因为，所以，所以在上单调递增，又因为，所以当时，，当时，，所以符合题意；当时，令，解得，，因为所以当时，有，即在上单调递减，又因为，所以