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文档简介
离散数学课件第五章代数结构第1页,课件共58页,创作于2023年2月证明:1)充分性
a,b
G,有(ab)(ab)=(aa)(bb)左端=a(ba)b右端=a*(a*b)*b即a(ba)b=a(ab)b由可约性得,用a-1左
上式,再用b-1右
上式,得(ab)=(ba)
2)必要性从“<G,
>是阿贝尔群”的结论出发,推出“(ab)(ab)=(aa)(bb)”。(证略)第2页,课件共58页,创作于2023年2月补充:元素的阶(a的阶,记为|a|)1.元素a的幂的定义定义:给定群<G,*>,
a
G,若n
N,则定义:a0=e,an+1=an*a,a-n=a-1*a-1**a-1=(a-1)n=(an)-1对m用归纳法可证:am*an=am+n(m,n
I),对k用归纳法可证:(am)k=amk(m,k
I)第3页,课件共58页,创作于2023年2月补充:元素的阶(a的阶,记为|a|)2.元素a的阶的定义设<G,*>是群,
a
G能够使am=e的最小正整数m,称为a的阶。若m不存在,则说a是无阶的。例1:在整数加群<z,+>中,0的阶是1,其余元素均无阶。例2:在群<{1,-1},*>中,-1的阶是2,1的阶是1。例3:在整数加群<z6,+6>中,求各元素的阶:123450632361第4页,课件共58页,创作于2023年2月循环群与生成元定义5-5.2设<G,
>为群,如果在G中存在元素a,使得G中的任何元素都可表示为a的幂(约定a0=e,ak=a*a*…*a(k个)),称<G,
>为循环群,这时a称为循环群G的生成元。例1:整数加群<I,+>是循环群,其生成元为。计算群的生成元是判别一个群是否为循环群的关键。1和-1第5页,课件共58页,创作于2023年2月循环群举例例:循环群<{0°,60°,120°,180°,240°,300°},★>,0o是该循环群的幺元。60o是该循环群的生成元。(60o)1=60o,(60o)2=60o★60o=120o,(60o)3=60o★60o★60o=180o,(60o)4=240o,(60o)5=300o(60o)6=0o=e,(60o)7=60o,(60o)8=120o,……a★b表示平面图形连续旋转a和b得到的总旋转角度,并规定旋转360°等于原来的状态。300°也是生成元:300°,240°,180°,120°,60°,0°第6页,课件共58页,创作于2023年2月循环群的性质定理5-5.2任何一个循环群必定是阿贝尔群。证设<G,
>是一个循环群,a是该群的生成元,则对于任意的x,y
G,必有r,s
I,使得
x=ar和y=as
而且x
y=ar
as=ar+s=as+r=as
ar=y
x因此,运算可交换,是阿贝尔群。第7页,课件共58页,创作于2023年2月循环群中生成元的阶(周期)定理5-5.3
设<G,
>为循环群,a
G是该群的生成元,如果G的阶数是n,即|G|=n,则an=e,且
G={a,a2,a3,...,an-2,an-1,an=e}其中,e是群<G,
>的幺元。n是使得an=e成立的最小正整数,称为元素a的阶或周期。第8页,课件共58页,创作于2023年2月定理5-5.3的证明证明思路:先证a的阶为n。设对于某个正整数m,m<n,有am=e。那么,由于<G,
>是一个循环群,所以对于G中任意的元素都能写为ak(k
I),而且k=mq+r,其中q是某个整数,0≤r<m,则有ak=amq+r=(am)q
ar=(e)q
ar=ar因此,G中每一元素都可写成ar,G中最多有m个元素。与|G|=n矛盾。所以am=e是不可能的。
再用反证法证明a,a2,...,an互不相同。设ai=aj,其中1≤i<j≤n,就有aj-i=e,而且1≤j-i<n,这已经有上面证明是不可能的。第9页,课件共58页,创作于2023年2月循环群中生成元的阶例1:循环群<{0°,60°,120°,180°,240°,300°},★>,60o是生成元;e=0o;6是使(60o)n=e的最小正整数,故60o的周期(阶)为6。例2:<{5j|j
I},+>是无限循环群,其中-5,5是均生成元。同理,300°的阶也是6。第10页,课件共58页,创作于2023年2月例3:循环群<Nk,+k>,其中Nk={[0],
,[k-1]},[x]表示N中的模k等价类,[x]+k[y]=[(x+y)modk]。求<N4,+4>的幺元、生成元,并求生成元的周期。解:任意[x]
N4,必有[x]+4[0]=[x],故[0]为该群的幺元;[1]和[3]都是生成元,周期都是4。([1])1=[1],([1])2=[2],([1])3=[3],([1])4=[0]([3])1=[3],([3])2=[2],([3])3=[1],([3])4=[0]思考:为什么[2]不是生成元?<N5,+5>的生成元?第11页,课件共58页,创作于2023年2月例4:设G={α,β,γ,δ},*的运算表如下,证<G,*>是循环群。*αβγδααβγδββαδγγγδβαδδγαβ
证:从运算表可验证<G,*>是群。从表中可看出α是幺元。γ:γ2=β,γ3=δ,γ4=αδ:δ2=β,δ3=γ,δ4=αβ:β2=α,β3=β,β4=α故生成元为:γ,δ故<G,*>是循环群。第12页,课件共58页,创作于2023年2月练习1证明:循环群的任何子群必定也是循环群。证设<G,*>是循环群,其生成元是a。设<S,*>是<G,*>的子群,且S≠{e}。那么,存在最小正整数m,使得amS,对于任意的aiS,必有i=tm+r
(t
I+,0≤r<m),故ar=ai-tm=ai*(amt)-1S。又因为m是使amS的最小正整数,所以r只能取值为0,所以i=tm,即ai=(am)t。这说明,S中任一元素都是am的乘幂。因此,<S,*>是以am为生成元的循环群。第13页,课件共58页,创作于2023年2月练习2设<G,*>是一个独异点,并且对于G中的每一个元素x都有x*x=e,其中e是幺元,证明<G,*>是一个阿贝尔群。证
1)证G中每个元素均有逆元。∵任意x
G都有x*x=e,故x-1=x。
2)证运算满足交换律。∵任意a,b
G都有(a*b)-1=a*b∴a*b=(a*b)-1=b-1*a-1=b*a∴运算满足交换律。综上所述,<G,*>是一个阿贝尔群。第14页,课件共58页,创作于2023年2月练习3设G={[1],[2],[3],[4],[5],[6]},G上的二元运算×7如表所示。问<G,×7>是循环群吗?若是,求其生成元。×7[1][2][3][4][5][6][1][1][2][3][4][5][6][2][2][4][6][1][3][5][3][3][6][2][5][1][4][4][4][1][5][2][6][3][5][5][3][1][6][4][2][6][6][5][4][3][2][1]生成元为:[3],[5]第15页,课件共58页,创作于2023年2月5-7陪集与拉格朗日定理(群的分解)定义5-7.1设<G,
>为群,A,B
ρ(G),且A≠Φ,B≠Φ,记AB={ab
aA,bB}和A-1={a-1
aA}
分别称为A,B的积和A的逆。定义5-7.2设<H,
>为<G,
>的子群,那么对任一a
G,称aH={a*h|h∈H}为H的左陪集(leftcoset),记为aH;称Ha={h*a|h∈H}为H的右陪集(rightcoset),记为Ha。第16页,课件共58页,创作于2023年2月陪集举例例1.求出<N6,+6>关于子群<{[0],[3]},+6>的所有左陪集,右陪集。解:令H={[0],[3]},则左陪集:右陪集:[0]H={[0],[3]}=[3]HH[0]={[0],[3]}=H[3][1]H={[1],[4]}=[4]HH[1]={[1],[4]}=H[4][2]H={[2],[5]}=[5]HH[2]={[2],[5]}=H[5]从中可以看出:{[0]H,[1]H,[2]H}是G的一个划分。第17页,课件共58页,创作于2023年2月陪集的性质设<H,*>是<G,*>的子群,
a,b
G则aH=bH或aH∩bH=Ф。证:对于aH和bH,只有两种情况:
①
aH∩bH=Ф②aH∩bH≠Ф对于第二种情况,设
f
aH∩bH
h1,h2
H,使f=a*h1=b*h2
a=b*h2*h1-1
bH
x
aH则
h3
H,x=a*h3=b*h2*h1-1*h3
bH
aH
bH,同理bH
aH
aH=bH第18页,课件共58页,创作于2023年2月拉格朗日定理定理5-7.1(拉格朗日定理)
设<H,
>为有限群<G,
>的子群,|G|=n,|H|=m,那么|G|/|H|=n/m是整数,即m|n。
第19页,课件共58页,创作于2023年2月拉格朗日定理的推论推论1任何质数阶的群不可能有非平凡子群。推论2
设<G,
>为n阶有限群,那么对于任意a
G,a的阶必是n的因子且必有an=e,这里e是群<G,
>的幺元。如果n为质数,则<G,
>必是循环群。第20页,课件共58页,创作于2023年2月拉格朗日定理推论2的证明证:若a
G的阶是r,则{e,aa2,a3,…,ar-1}是G的子群且该子群的阶为r,由拉格朗日定理可知r整除n,所以a的阶必是n的因子。故n=rt(t
I+),故an=e。设<G,*>为质数阶群,则
a
G且a
e,∵a的阶数可整除|G|,但是|G|为质数,所以a的阶数等于群的阶数。∴{a,a2,
,ar}=G
∴
<G,*>是循环群第21页,课件共58页,创作于2023年2月拉格朗日定理练习例1.试证奇数阶群所有元素之积等于幺元。证:设<G,*>是一个群,e为幺元,则在G中不存在这样的元素a:a
e,a=a-1∵若a=a-1则a2=e
<{a,e},*>是<G,*>的子群又因为|{a,e}|=2,所以由拉格朗日定理可得:2整除|G|,这与G是奇数阶群矛盾。
所以,∀a∈G,若a≠e,a、a-1总是成对出现
G={e,a1,a1-1,a2,a2-1,
,an,an-1},其中ai
ai-1
e*a*a1-1*
*an*an-1=e第22页,课件共58页,创作于2023年2月拉格朗日定理练习例2.任何一个四阶群只可能是循环群或者Klein四元群。(P211)证设四阶群为<{e,a,b,c},*>。其中e是幺元。当四阶群含有一个四阶元素时,这个群就是循环群。当四阶群不含有四阶元素时,则由推论2可知,除幺元e外,a,b,c的阶一定都是2(幺元是唯一的一阶元)。a*b不可能等于a,b或e,否则根据消去律,将导致b=e,a=e或a=b的矛盾。所以a*b只能等于c。同样地有b*a=c以及a*c=c*a=b,b*c=c*b=a。因此,这个群是Klein四元群。第23页,课件共58页,创作于2023年2月四阶群(只有两个)Klein四元群:eeabceeabcaaecbbbceaccbae四阶循环群:eeabceeabcaabcebbceacceab第24页,课件共58页,创作于2023年2月练习:P211-(5)1、证A非空设<G,*>的幺元为e,则有e*H*e-1=H故e∈A.2、证∀a,b∈A,a*b-1∈A
=H,故a*b-1∈A第25页,课件共58页,创作于2023年2月练习:P211-(8)apt-1(apt-1)p第26页,课件共58页,创作于2023年2月5-8同态与同构定义5-8.1设<A,★>和<B,
>是两个代数系统,f是从A到B的一个映射,
a1,a2
A,有
f(a1★a2)=f(a1)
f(a2)(先算后映=先映后算)则称f为由代数结构<A,★>到<B,
>的同态映射,称<A,★>同态于<B,
>,记为A~B。称<f(A),
>为<A,★>的一个同态象。其中
f(A)={x|x=f(a),a
A}
B第27页,课件共58页,创作于2023年2月(G,*)(S,o)a●b●a*b●f(a)●f(b)●f(a)of(b)●同态象f通过映射建立了两个代数系统之间的联系。第28页,课件共58页,创作于2023年2月同构(同态双射)定义5-8.2当同态映射f分别是入射(单射)、满射、双射时,分别称f是单一同态、满同态、同构映射。如果存在一个从<A,★>到<B,*>的同构映射,则称代数系统<A,★>与<B,*>同构,记作A≌B。定义5-8.3设<A,★>是一个代数系统,如果f是<A,★>到<A,★>的同态,称f为A的自同态。如果g是<A,★>到<A,★>的同构,称f为A的自同构。第29页,课件共58页,创作于2023年2月同构举例例1:设H={x|x=dn,d
I+,n
I},定义映射f:I->H
为对任意I,有f(n)=dn,那么,f是<I,+>到<H,+>的一个同构,即I≌H。例2:设fk:I
I,fk(x)=kx,其中I为整数集合。∵fk(x1+x2)=k(x1+x2)=k*x1+k*x2=fk(x1)+fk(x2)
fk是从<I,+>到<I,+>的自同态,若k
0,则fk是单一同态,若k=
1,则fk是<I,+>到<I,+>的自同构。第30页,课件共58页,创作于2023年2月同构举例证明:设f:N
Nk(k>0),f(x)=xmodk。证明f是<N,+>到<Nk,+k>的满同态。证:设x1=lk+h1,x2=mk+h2(h1,h2<k)则∵f(x1+x2)=(x1+x2)modk=(h1+h2)modk=h1+kh2=
f(x1)+kf(x2)∴f(x1+x2)=f(x1)+kf(x2)
∴f是同态。又因为f是满射
∴f是<N,+>到<Nk,+k>的满同态。第31页,课件共58页,创作于2023年2月同态象的性质定理5-8.2设f是由<A,★>到<B,
>的一个同态映射。(a)如果<A,★>是半群,那么在f作用下,同态象<f(A),
>也是半群。(b)如果<A,★>是独异点,那么在f作用下,同态象<f(A),
>也是独异点。(c)如果<A,★>是群,那么在f作用下,同态象<f(A),
>也是群。第32页,课件共58页,创作于2023年2月定理5-8.2的证明证明思路:先证(a):<f(A),
>是半群证
运算在f(A)上封闭
设<A,★>是半群,<B,
>是一个代数结构,如果f是由<A,★>到<B,
>的一个同态。则f(A)
B。对于任意的a,bf(A),必有x,yA,使得
f(x)=a,f(y)=b。在A中必有z=x★y,所以ab=f(x)
f(y)=f(x★y)=f(z)
f(A)第33页,课件共58页,创作于2023年2月证
在f(A)上满足结合律对于任意的a,b,c
f(A),必有x,y,z
A,使得f(x)=a,f(y)=b,f(z)=c因
为在A上是可结合的,所以a
(bc)=f(x)
(f(y)
f(z))=f(x)
f(y★z)=f(x★(y★z))=f((x★y)★z)
=f(x★y)
f(z)
=(f(x)
f(y))
f(z)=(ab)c故<f(A),
>是半群。
第34页,课件共58页,创作于2023年2月再证(b):<f(A),
>是独异点设<A,★>是独异点,e是A中的幺元,那么f(e)是f(A)中的幺元。因对于任意的a
f(A),必有xA,使得f(x)=a所以a
f(e)=f(x)
f(e)=f(x★e)=f(x)=a=f(e★x)=f(e)
f(x)=f(e)a因此f(e)是<f(A),
>中的幺元,<f(A),
>是独异点。第35页,课件共58页,创作于2023年2月最后证(c):<f(A),
>是群设<A,★>是群,对于任意的a
f(A),必有xA,使得f(x)=a因为<A,★>是群,所以对于任意的xA,都有逆元x-1A,且f(x-1)
f(A),而
f(x)
f(x-1)=f(x★x-1)=f(e)=f(x-1★x)=f(x-1)
f(x)所以,f(x-1)是f(x)的逆元。即f(x-1)=(f(x))-1因此<f(A),
>中的任意元素都有逆元,<f(A),
>是群。综合上述(a)、(b)、(c)三步,定理证毕第36页,课件共58页,创作于2023年2月同态核定义5-8.4如果f为代数结构<G,★>到<G’,
>的一个同态映射,G’中有么元e’,那么称下列集合为f的同态核,记为K(f)。
K(f)={x
x
G∧f(x)=e’}第37页,课件共58页,创作于2023年2月同态核的性质定理5-8.3设f为群<G,★>到群<G’,
>的同态映射,那么f的同态核K是G的子群。证明思路:设e是<G,★>的幺元,e’=f(e),故e
K。证★运算在K上封闭。设k1,k2
K,则f(k1★k2)=f(k1)
f(k2)=e’
e’=e’故k1★k2
K,★运算在K上封闭。
证K中的元素有逆元。对任意的k
K,f(k-1)=[f(k)]-1=e’-1=e’故k-1
K。结论得证。第38页,课件共58页,创作于2023年2月同态核举例例:f:<I,+>
<N5,+5>,
x
N,f(x)=xmod5则
x,y
I,f(x+y)=(x+y)mod5=xmod5+5ymod5=f(x)+5f(y)
f是从<I,+>到<N5,+5>的同态
ker(f)={x|x
I
f(x)=0}={0,5,-5,10,-10,
}第39页,课件共58页,创作于2023年2月代数结构的划分——同余关系显然整数集合I上的模k余数相等关系R是等价关系。容易证明,对于
a,b,c,d
I,R对整数上的加运算满足性质:若x≡y(modk)且z≡w(modk),则(x+z)≡(y+w)(modk),称这种特殊的等价关系为同余关系。
将上述同余关系推广,则得到代数结构上一般意义的同余关系。第40页,课件共58页,创作于2023年2月同余关系与同余类定义5-8.5
设R为<A,★>中A上的等价关系,若
<a1,a2>
R,<b1,b2>
R
<a1★b1,a2★b2>
R则称R为A上关于二元运算★的同余关系。由这个等价关系将集合划分成的等价类就称为同余类。例:1、前例<I,+>上的模k余数相等关系就是同余关系。2、<I,*>上的恒等关系R是同余关系;第41页,课件共58页,创作于2023年2月例:<I,+>,在I上定义R:<x,y>
R
|x|=|y|,R是<I,+>的同余关系吗?解:1)自反性:
x
I,|x|=|x|
<x,x>
R2)对称性:
x,y
I,若<x,y>
R则|x|=|y|
<y,x>
R3)传递性:
x,y,z
I,若<x,y>
R,<y,z>
R则|x|=|y|=|z|
<x,z>
R
R是一等价关系
x1,y1,x2,y2
I,若<x1,y1>
R,<x2,y2>
R,但<x1+x2,y1+y2>
R不一定成立。例<1,-1>,<2,2>
R,但<1+2,-1+2>
R,
R不是同余关系第42页,课件共58页,创作于2023年2月同余关系与划分类似于集合论中等价关系及其相应的划分,同余关系所得到的等价类称为同余类,同余类的集合是同余关系所诱导的一个划分。例:课本P218例6。代数系统<A,★>,A上的★运算见表5-8.5,在A上定义的等价关系R见表5-8.6。(1)R是A上关于★的同余关系。如何验证?
<a1,a2>
R,<b1,b2>
R
<a1★b1,a2★b2>
R(2)R将A划分为同余类:{a,b}、{c,d}(3)R诱导的一个划分为:{{{a,b},{c,d}}
第43页,课件共58页,创作于2023年2月★abcdaaadcbbacdccdabdddbaabcda√√b√√c√√d√√第44页,课件共58页,创作于2023年2月练习P222(11):设f和g都是群<G1,★>到群<G2,*>的同态,证明<G,★>是<G1,★>的一个子群,其中G={x|xG1且f(x)=g(x)}第45页,课件共58页,创作于2023年2月证:(1)证G是G1的非空子集设群<G1,★>的幺元为e,则f(e)是群<G2,*>的幺元,同时g(e)也是群<G2,*>的幺元,故f(e)=g(e),故eG。
(2)证任意a,bG,有a★b-1G
任意a,bG,有a★b-1
G1,f(a★b-1)=f(a)*f(b-1)=g(a)*g(b-1)=g(a★b-1)故a★b-1G。综上所述,<G,★>是<G1,★>的一个子群。第46页,课件共58页,创作于2023年2月5-9环与域定义5-9.1设<A,★,
>是一个代数系统,如果满足(1)<A,★>是阿贝尔群.(2)<A,
>是半群.(3)乘运算
对加运算★可分配,即对任意元素a,b,c
A,a(b★c)=(a
b)★(a
c)(b★c)
a=(b
a)★(c
a)称代数结构<A,★,
>为环(ring)。一般将★称为加运算,记为“+”,将
称为乘运算,记为“
”。第47页,课件共58页,创作于2023年2月例1.1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环。2)实系数多项式对于多项式加法,乘法是个环。第48页,课件共58页,创作于2023年2月环的性质定理5-9.1设<A,+,
>为环,那么对任意a,b,cA,有(1)
a=a
=
(加法幺元必为乘法零元)(2)a(-b)=(-a)
b=-(a
b)(3)(-a)(-b)=a
b(4)a
(b-c)=(a
b)-(a
c)
(5)(b-c)
a=(b
a)-(c
a)其中
是加法幺元,-a表示a的加法逆元,并将a+(-b)记为a-b。第49页,课件共58页,创作于2023年2月特殊的环定义5-9.2当环<A,+,
>中
运算满足交换律时,称<A,+,
>为交换环;当
运算有幺元时,称A为含幺环。两者都含有时,称A为含幺交换环。第50页,课件共58页,创作于2023年2月特殊的环(续)定义5-9.3设<A,+,
>是一个代数系统,如果满足:(1)<A,+>是阿贝尔群(2)<A,>是可交换独异点,且无零因子,即对任意的a,bA,a≠,b≠,必有a
b≠。(3)运算对于运算+是可分配的。则称<A,+,
>为整环。
若<A,+,
>既是交换环、含幺环,也是无零因子环,则称R是整环。例:1)<I,
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