人口预测与数据拟合

人口预测与数据拟合1、摘要：随着人口的增加，人们越来越认识到资源的有限性，人口与资源之间的矛盾日渐突出，人口问题已成为世界上最被关注的问题之一。问题给出了1790—2000年间美国的人口数据，通过分析近两百年的美国人口统计数据表，得知每10年的人口数和人口增长率的变化。预测美国未来的人口。首先，人口增长率是变化值。对于问题（1）假设了人口上限因此我们选择建立Logistic模型（模型1）其次，根据表中的人口数据，进行曲线拟合（模型2），通过Matlab进行人口预测。关键词：预测模型人口增长率Logistic2、实验问题：1970年到1980年间美国人口数的统计数据如表所示1790180018101820183018401850186018701880统计3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.21890190019101920193019401950196019701980统计62.072.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.51）根据表中的数据，分别用不同次数的多项式拟合美国人口数量增长的近似曲线图。（2）根据表中的数据，建立符合Malthus模型的美国人口数量增长曲线模型。（3）设美国人口总体容量为4.5亿，试用Logistic模型建立美国人口增长曲线模型。（4）分别用上述三种方法预测2000年，2005年，2015年，2020年美国人口数量，并对不同方法的预测结果进行比较分析。3、实验问题的分析：根据以上问题的提出我们可以通过两种模型来进行求解，Malthus模型和Logistic模型来预测美国人口数量和统计的结果的差别。Malthus模型：1798年，英国统计学家Malthus在在进行大量统计的基础上发现了一种关于生物种的繁殖规律，就是一种个体数量的增长率与该时刻种群的个体数量成正比。有效地控制人口的增长，认识人口数量的变化规律，建立人口模型，做出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。整个模型的过程中应当包括：人口增长的变化规律；人口数量的死亡的变化规律；人口平均生育的变化规律；统计人口是的过程等。人口预测是一个相当复杂的问题，影响人口增长除了人口数与可利用资源外，还与医药卫生条件的改善，人们生育观念的变化等因素有关……•可以采取几套不同的假设，做出不同的预测方案，进行比较。人口预测可按预测期长短分为短期预测（5年以下）、中期预测（5〜20年）和

长期预测（20〜50年）。在参数的确定和结果讨论方面，必须对中短期和长期预测这两种情况分开讨论。中短期预测中所用的各项参数以实际调查所得数据为基础，根据以往变动趋势可较准确加以估计，推算结果容易接近实际，现实意义较大。4、实验模型的假设：（1）、人口数量在某一年内增长的速度较快，在哪一年内不记人口的死亡人数，和种种影响人口增长的因素。（2）、假设美国人口上限为5亿，根据表中给出的人口增长率，进行适当的处理，建立微分方程模型；（3）、利用（2）中的模型计算各年人口，与实际人口数量比较，计算模型的计算误差；（4）、利用（2）中的模型预测美国2010,2020,2030,2040,2050年的人口；（5）、假设人口增长率服从［1.1,1.3］上的均匀分布，结合（2）中建立微分方程模型，预测美国2010,2020,2030,2040,2050年的人口.5、模型的建立：模型1图1为1790-2000年的人口数据，人口增长率r为每10年的取值。首先对人口增长率进行处理求出其他年份相对于1790年的增长率Rr++rR=tn二丄—n其中11=1800年•••..t21=2000年（1<nW21）。例如1810年相对于1790年的增长率为（3.11+2.99）/2=3.05其他年份同理可得如图2；对增长率R求平均直为Rx=2.64%模型1为阻滞增长模型假设人口增长率r（x）是t时人口x（t）的函数，r（x）应该是x的减函数。一个简单的假设是假设r（x）为x的线性函数r（x）=r-s*x,s>0.最大人口数量Xm=500当x=Xm时增长率为零。在线性化假设前提下可以得到r（x）=r（1-x/Xm）,（公式1）其中的r我们取之前求得的平均增长率r=0.0264,Xm=500。在公式1假设下，模型可修改为打=rX打=rX(1-（公式2）桫(0)=上述方程改为Logistic模型x(t)x(t)/1+(x/x-1)e-rt（公式3）取2.718，t为Dt，求出每10年的rt值带入方程算出各年的人口数以及和实际值的误差见图3。2010年的R*t=5.808，预测人口为362.32；2020年的R*t=6.072，预测人口为387.59；2030年的R*t=6.336，预测人口为408.16；2040年的R*t=6.6，预测人口为427.352050年的R*t=6.864，预测人口为442.48；

观察预测结果1930年以前只有180018101820误差较小，其它年份误差正负都稍微偏大，1940年以后预测值逐年大于实际值，说明在给定最大人口数后增长•T伪人r~i•T伪人r~i[百ZO人厂|1曽长7F：r绻丄YUUd.u厶Ub1800匕一:-;:-J-111KIn7.72.AA1820合一62.971E3U丄2.U2.玄丄1LJ4U17.1乩UL1斤"23.2月一nn156031.42.45丄8703S.52.dd丄七兰UbU.二、己.吐二1：3〕2一：-）兴一os1<innFrvn1.<i11^1092.01.66丄-J^U丄U6.b1.<L61士工.二1.g1<0401/31.71-041<^5O150.71.581^50丄79.31.d9丄■JYUUU<1.U丄.丄S1妙C匚1-nn1P9门咒匚1.41.nq2000281.41.16率选择不适当，与给定的最大人口数不匹配，有待改进。士皆细2_9曰110502N.99曰N.ess5.O12»93SV：2・S23-743图（1）图（2）IZ^IHL%[^I孕_dISi.I廊珀1^▼<ZI乍▼A”I邕E23▼咼51.93AECDE邛苗A匚l匚百77)平均斥牛十计算■值谣差179Hsy1SOO5.30.2645.06-0.2412107.20.522&.G-0.G13209.G0.7923.54-0.16183012.91.05611.03-1.871BlIir.i1.:心14.巧iyhoMM一21.匕辭iy.44-4.'fE1S6031.<L1.34223.S-7.G1S703G.e2.11230.E-□.1133050.22.37639-11-2t1Km。62.9N6449.沙-1沙1Wiii7H.IlHi14一74-I：%一〃iyiu92.Us-i^yvy.sa-1^.翻192010G.53.<L3297.S5-3.6E1930123.23.G9C120.13-3.011940131.73.96145.7714.071勺斤「」1FSu.74.7加1T4.XP产一砂1SdKl117M.：V4.4如*1III.1KI1.x197020<L.04.752238.134.11950226.55.016270.2743.771990251.45.23303.0351.GO2000231.45.544333.33I51.93II图(3)模型2根据表中的人口数据，进行曲线拟合，建立数学模型；利用(1)中的模型计算各年人口，与实际人口数量比较，计算模ii=1型的计算误差；利用(1)中的模型预测美国2010,2020,2030,2040,2050年的人口；利用MATLAB进行曲线拟合，首先在平面上绘出已知数据的分布图，通过直观观察，猜测人口随时间的变化规律，再用函数拟合的方法确定其中的未知参数，从而估计出20102020203020402050年的美国人口。利用MATLAB作出美国人口统计数据的连线图如图4。图5建模方法1的拟合效果图由图4可以发现美国人口的变化规律曲线近似为一条指数函数曲线，因此我们假设美国的人口满足函数关系x=f(t),f(t)=ea+bt,a,b为待定常数，根据最小二乘拟合的原理，a,b是函数E(a,b)(f(t)-x)2的最小值点。其中x是iiitj时刻美国的人口数。利用MATLAB中的曲线拟合程序“curvefit”编制的程序如下：首先创建指数函数的函数M――文件用最小二乘拟合求上述函数中待定常数，以及检验拟合效果的图形绘制程序m-function,fun1.mfunctionf=fun1(a,t)f=exp(a(1)*x+a(2));t=1790:10:2000;x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976...92106.5123.2131.7150.7179.3204226.5251.4281.4];plot(t,x,'*',t,x);a0=[0.001,1];a=curvefit('fun1',a0,t,x)ti=1790:5:2050;xi=fun1(a,ti);holdonplot(ti,xi);t1=2010;x1=fun1(a,t1)holdoff在MATLAB命令窗口运行该程序，输出结果a=0.0148-23.8311；x1=358.48因此，参数a=0.0148,b=-23.8307,拟合函数在2010处的函数值f(2010)=358.48。通过作图，我们来看看拟合的误差如何，见图5。从图中可看出，拟合曲线与原数据还是比较吻合，因此，预测美国在2010年的人口数为358.48百万。同理2020年预测人口为413.33;2030年预测人口为452.57;2040年预测人口为475.89;2050年预测人口为494.18。图6为误差值%观察误差和图像，模型2对过去的统计数据吻合得较好，但也存在问题，即人口是呈指数规律无止境地增长，此时人口的自然增长率随人口的增长而增长，这不可能。一般说来，当人口较少时增长得越来越快，即增长率在变大；人口增长到一定数量以后，增长就会慢下来，即增长率变小这是因为，自然资源、环境条件等因素不允许人口无限制地增长，它们对人口的增长起着阻滞作用，而且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。而且人口最终会饱和，趋于某一个常数xm这里通过Matlab对模型1中的公式3进行一次计算拟合：functionf=fun3(a,t)f=a(1)./(1+(a(1)/3.9-1)*exp(-(t-1790)*a(2)));x=1790:10:2000;y=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976...92106.5123.2131.7150.7179.3204226.5251.4281.4];plot(x,y,'*',x,y);a0=[0.001,1];a=curvefit('fun3',a0,x,y)xi=1790:5:2050;

yi=fun3(a,xi);holdonplot(xi,yi);x1=2010;y1=fun3(a,x1)holdoffABCD年伪人口(百万：)曲线拟合泯差鳴17903.913005.35-433.31S107.27352.11S209.69-S42.5183012・914.541£・7184017.117-452.1135023.224-3S5.11SS031.432.22.S18703虫&39・7631880SO.250・30・21890S2.962.7-0.3190076.074.4-2191092.039.3—2-91920106・5102・3-3.91930123・2120・4-2.31940131.7131.2-0.41950150.7150.3-0.31960179.3177.3-0.11970204・□203・6-0.21980226.5225.7-0.31990251.4256.4220002S1.42S5.71.5图(6)将r(即a(2))的初值取为小于1的数，比如取a=[200,0.1]时，得到a=[311.950.0280],y1=267.19，即(2)中的r=0.0280,x=311.95，2010年美国的人口预计为267.19。这个结果还比较合理，当tm时，静增长率趋于零，人口数趋于311.95百万人，即极限人口x=311.95。拟合效果见图7,这种效果比之前情形好。从图7看出，在前一段吻合得比较好，但在最上面，若拟合曲线更接近原始数据，对将来人口的预测应该更好。因此略加修改将拟合准则改为：minE(a)二工(f(t)一x)2+w区(f(t)一x)2iiiii=1i=n+1其中w为右端几个点的误差权重，在此处应该取为大于1的数，这样会使右边的拟合误差减小，相应的，其他点的误差会有所增加。如何才能使这些误差的增减恰当呢？可以通过调整w和n的具体取值，比较他们取各种不同值时的拟合效果，从而确定出一个合适的数值。n=16;w=2;x=1790:10:2000;x1=x(1:n);x2=x(n+1:21);y=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976...92106.5123.2131.7150.7179.3204226.5251.4281.4];y1=y(1:n);y2=y(n+1:21);f=[fun3(a,x1),w*fun