3.4 曲线与方程（练习） - 解析版

33．4曲线与方程（练习）解析第页3．4曲线与方程（练习）解析一．单项选择题：（每小题5分，共6小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列各对方程中，表示相同曲线的一组是A．与B．与C．与D．与【答案】C【解析】选项A，表示直线，不表示直线，所以表示不同曲线；选项B，表示点，表示两条直线和，所以表示不同曲线；选项C，与都表示双曲线；选项D，中，而中，表示不同曲线．故选C．2．已知动点到直线的距离是它到点的距离的倍，则动点的轨迹方程为A．B．C．D．【答案】B【解析】因为点到直线的距离是到点的距离的2倍，所以，化简得，．即动点的轨迹方程为．故选B．3．设定点、，动点满足条件，则点的轨迹是A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．不存在【答案】C【解析】因为，所以，所以，当时，点的轨迹为线段；当时，点的轨迹为椭圆．故选C．4．“点在曲线上”是“点到两坐标轴距离相等”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由“点在曲线上”一定能推出“点到两坐标轴距离相等”，故充分性成立；当“点M到两坐标轴距离相等”时，点不一定在曲线上，此时，点也可能在曲线上，故必要性不成立．故选A．5．已知，为两个不相等的非零实数，则方程与所表示的曲线可能是ABCD【答案】C【解析】由题意知：，当时，为焦点在轴上的椭圆，是过一、二、三象限的直线，故选项A不可能；当时，为焦点在轴上的椭圆，是过一、二、三象限的直线，故选项B不可能；当时，为焦点在轴上的双曲线，是过一、三、四象限的直线，故选项C可能；当时，为焦点在轴上的双曲线，是过一、二、四象限的直线，故选项D不可能；故选C．6．平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，，点满足．设点的轨迹为，则下列结论正确的是A．轨迹的方程为B．在上到直线的距离为点有三个C．在上存在点，使得D．在轴上存在异于，的两点，，使得【答案】D【解析】设，则，化简得，，所以选项A错误；圆心到直线的距离，又半径为，所以在上到直线的距离为点有两个，所以选项B错误；若在上存在点，使得，可设，则，化简得，与联立，方程组无解，故不存在点，所以选项C错误；假设在轴上存在异于，的两点，，使得，设，，则，化简得，由轨迹的方程为，可得，，解得，或，（舍去），所以选项D正确．故选D．二．填空题（每小题5分，共6小题．）7．已知过平面外一点的斜线与平面所成角为，斜线交平面于点，若点与平面的距离为，则斜线段在平面上的射影所形成的图形面积为．【答案】【解析】如图，过点作平面的垂线，垂足为，连接，所以线段为线段在平面上的射影，为斜线与平面所成的角，则，又，所以，故射影形成的图形为半径为的圆面，其面积为．8．已知动圆经过双曲线的左焦点且与直线相切，则圆心的轨迹方程为．【答案】【解析】因为动圆经过双曲线的左焦点，且与直线相切，所以圆心到点的距离与到直线的距离相等，均为的半径．因此，圆心的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，所以其方程为．9．已知平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大，则动点的轨迹方程为．【答案】或【解析】设点的坐标为，则，两边平方并化简，得，所以.于是动点的轨迹方程为或．10．下列关于曲线的说法正确的是_________．（填上所有正确的序号）①点在曲线上；②曲线关于直线对称；③曲线是中心对称图形；④曲线围成的区域的面积小于．【答案】①③【解析】对①，将点代入可得，故①正确；对②，替换可得，与原表达式不同，故②错误；对③，将替换成，替换成可得，故③正确；对④，因为，故，则，故，设为曲线上一点，故，说明在圆上或圆外，故曲线C围成的区域的面积应大于或等于，故④错误．综上所述，①③正确．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）11．（本小题满分12分）设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足．（1）求点的轨迹方程；（2）设点在直线上，且．证明：过点且垂直于的直线过的左焦点．【答案】（1）；（2）证明详见解析．【解析】（1）设，，则，．由得．因为在上，所以，所以．因此点的轨迹为．由题意知，设，，则，由，得，即，又由（1）知，故．又，所以，.所以．又过点存在唯一直线垂直于，所以过点且垂直于的直线过的左焦点．12．（本小题满分12分）已知平面内的动点满足，记点的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）设，，若过的直线与交于两点，且直线与交于点．证明：点在定直线上．【答案】（1）；（2）证明详见解析．【解析】（1）由题意可知：点到点与到点的距离之差为，且，所以动点的轨迹是