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文档简介
3.5孤波(soliton)由英国人罗素(J.S.Russell)1834年首先发现。(1)非线性耦合振子couplingoscilators弹簧扭矩弹簧小摆幅,线性化linearization行波解cc.前项的复共轭(波动复习)色散关系dispersionlaw禁带:此时为虚数,对应指数衰减波。
线性波动方程的解是简单的,任意解都可以展开为各种行波的叠加。Anarbitrarywavecanbeexpressedasasuperpositionofplanewaves波动在介质中传播,能量不损耗。行波特点:波以固定的形状在空间运动。导带:(波动复习)bandgaptransparentband波包:wavepacket(波动复习)波包分波相位波数分布(波动复习)如果相位在随k快速变化,振幅近似等于零。因此波包中心可以定义为相位随k变化最慢的地方:群速度groupvelocity(波动复习)波幅明显不等于零的地方,位相在缓慢变化。此范围的边界可由下式估计:当波包为高斯型时,等号成立。可证对任意波包,uncertaintyrelation(波动复习)波包不确定性关系对一个给定的分波,它的波形运动速度由等相面的运动速度给出,相速度:如果线性依赖于,则相速度等于群速度如果非线性依赖于,则相速度与有关,即不同颜色的波速度不同。这个现象称为色散。色散关系:dispersionlaw(波动复习)phasevelocity(波动复习)fasterslower非线性方程effectofnonlinearitysine-Gordon方程行波(平面波)不是解。但是否存在类似行波的形状固定的解呢?istherewaveoffixedform?形状固定的波的一般形式:
假如形状固定的波存在,把其一般形式代入波动方程,fromthewaveequation,onehas积分一次:afterthefirstintegration通解即使存在,一般也很难找到通解。ifthereis,itmustbeafunctionofxi但对这个问题,如果可以得到简单的解:当有有当亮孤子brightsoliton暗孤子darksoliton
在线性系统中,仅当介质没有色散时才存在形状固定的行波。在非线性系统中,色散可以被非线性效应抵消,出现形状固定的孤波。通过下面的分析大致可看到这种可能性:因为频率与振幅有关,非线性项从任意一个给定频率(波数)的波中产生新的不同频率(波数)的波,所以波包的波数不确定性由于非线性作用变大。有不确定性关系知,波包的空间不确定性相应变小。所以非线性作用可以抵消使波包散开的色散。(2)Korteweg-de-Vries(KdV)方程1895年Kruskal和deVries导处长波和小振幅近似下的水面波方程缘由:
它其实是非常普遍的一个具有色散和非线性的方程。先看一个线性的向右传播的波动方程:无色散:存在弱色散时,存在弱非线性项(最高到2次)时,方程有一般的形式都是小量,所以再作标度变换参考系变换得KdV方程由可见:非线性项使得分波的速度依赖于分波的振幅。对形状固定的波,代入KdV方程得积分一次得再积分一次得设的三个根为解:其中为雅可比椭圆函数,周期为2k故u的周期为当k=0时,当k=1时,其中为无穷运处的均匀值。KdV孤子解:速度正比于振幅a,波宽反比于a的平方根。
应用:空气动力学,水波,磁流体波
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