江苏省无锡市江阴月城中学2022-2023学年高三数学文摸底试卷含解析

江苏省无锡市江阴月城中学2022-2023学年高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B试题分析：∵等差数列单调递增，∴，∵，即，即，∴.考点：等差数列的通项公式.2.集合M=｛x||x－3|＜4｝,N=｛x|x2＋x－2＜0，x∈Z},则MN（

）A.{0}

B.{2}

C.

D.

{参考答案：A略3.若直角坐标平面内的两个不同的点M、N满足条件①M、N都在函数y=f（x）的图象上；②M、N关于原点对称．则称点对[M，N]为函数y=f（x）的一对“友好点对”（注：点对[M，N]与[N，M]为同一“友好点对”）．已知函数f（x）=，此函数的“友好点对”有(

)A．0对 B．1对 C．2对 D．3对参考答案：C【考点】进行简单的合情推理．【专题】新定义．【分析】根据题意：“友好点对”，可知，欲求f（x）的“友好点对”，只须作出函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数f（x）=log3x（x＞0）交点个数即可．【解答】解：根据题意：当x＞0时，﹣x＜0，则f（﹣x）=﹣（﹣x）2﹣4（﹣x）=﹣x2+4x，则函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的函数是y=x2﹣4x（x≥0）由题意知，作出函数y=x2﹣4x（x≥0）的图象及函数f（x）=log3x（x＞0）的图象如下图所示由图可得两个函数图象共有两个交点即f（x）的“友好点对”有：2个．故选：C．【点评】本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解，合理地利用图象法解决．4.奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）为偶函数，且f（1）=2，则f（4）+f（5）的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2参考答案：A【考点】抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论．【解答】解：∵f（x+1）为偶函数，f（x）是奇函数，∴设g（x）=f（x+1），则g（﹣x）=g（x），即f（﹣x+1）=f（x+1），∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x+1）=f（x+1）=﹣f（x﹣1），即f（x+2）=﹣f（x），f（x+4）=f（x+2+2）=﹣f（x+2）=f（x），则f（4）=f（0）=0，f（5）=f（1）=2，∴f（4）+f（4）=0+2=2，故选：A．5.下面几个命题中，假命题是（

）

A.“若,则”的否命题；

B.“，函数在定义域内单调递增”的否定；

C.“是函数的一个周期”或“是函数的一个周期”；

D.“”是“”的必要条件.参考答案：D6.已知,则是的什么条件.A.必要不充分

B.充分不必要

C.充要

D.既不充分也不必要参考答案：B略7.已知复数，则的虚部是

（

）

（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：B试题分析：由，则复数z的虚部是，故选B.考点：复数代数形式的乘法运算.8.如图所示，为了测量某湖泊两侧间的距离，李宁同学首先选定了与不共线的一点，然后给出了三种测量方案：（的角所对的边分别记为）：①测量

②测量

③测量则一定能确定间距离的所有方案的序号为A.①②

B.②③

C.①③

D.①②③参考答案：D略9.（5分）已知O为坐标原点，点A（x，y）与点B关于x轴对称，，则满足不等式的点A的集合用阴影表示（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】：向量在几何中的应用．【专题】：计算题；压轴题；转化思想．【分析】：先求出点B的坐标，并用点A的坐标表示出+，最后把原不等式转化为x2+（y﹣1）2≤1，找出点所在的位置即可求出结论．解：由题得：B（﹣x，y），=（0，2y）．∴+=x2+y2+2y=x2+（y﹣1）2﹣1．∴不等式转化为x2+（y﹣1）2≤1．故满足要求的点在以（o，1）为圆心，1为半径的圆上以及圆的内部．故选C．【点评】：本题主要考查向量的基本运算以及计算能力和转化思想的应用，属于基础题．10.定义两种运算：，，则函数（

）A．是奇函数

B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数

D．既不是奇函数又不是偶函数参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=ln（﹣x）（其中e为自然数对数的底数），则f（tan）+2f（tanπ）+f（tan）=_________．参考答案：212.若满足约束条件则目标函数的最大值是

．参考答案：14略13.已知，，则=

参考答案：014.已知函数f（x）的部分图象如图所示，若不等式﹣2＜f（x+t）＜4的解集为（﹣1，2），则实数t的值为．（写过程）参考答案：﹣1【考点】函数的图象．【专题】应用题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】根据图象的平移即可得到t的值．【解答】解：由图象可知，﹣2＜f（x）＜4的解集为（0，3），不等式﹣2＜f（x+t）＜4的解集为（﹣1，2），∴y=f（x+t）的图象是由y=f（x）的图象向右平移1个单位得到的，∴t=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了图象的平移和图象的识别，属于基础题．15.已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，，若此三棱柱的外接球的表面积为6π，则AB=________参考答案：2【分析】根据直三棱柱的几何性质和，可知直三棱柱的外接球的球心是的中点，这样通过计算可以求出的长度.【详解】设三棱柱的外接球的半径为由于直三棱柱的外接球的球心是的中点，所以，在，中，，所以在中，.【点睛】本题考查了已知直三棱柱的外接球的表面积求底面边长问题，考查了空间想象能力、运算能力.16.已知数列{an}中a1=1，an+1=an+n，若利用如右图所示的程序框图计算该数列的第8项，则判断框内的条件是

参考答案：17.设的内角，A、B、C的对边分别为a、b、c，且的值为

，参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.对于无穷数列{an}，{bn}，若－…，则称{bn}是{an}的“收缩数列”.其中，，分别表示中的最大数和最小数.已知{an}为无穷数列，其前n项和为Sn，数列{bn}是{an}的“收缩数列”.（1）若，求{bn}的前n项和；（2）证明：{bn}的“收缩数列”仍是{bn}；（3）若，求所有满足该条件的{an}.参考答案：（1）（2）证明见解析（3）所有满足该条件的数列为【分析】（1）由可得为递增数列，，，从而易得；（2）利用，，可证是不减数列（即），而，由此可得的“收缩数列”仍是.（3）首先，由已知，当时，；当时，，；当时，（*），这里分析与的大小关系，，均出现矛盾，，结合(*)式可得，因此猜想（），用反证法证明此结论成立，证明时假设是首次不符合的项，则，这样题设条件变为（*），仿照讨论的情况讨论，可证明．【详解】解：（1）由可得递增数列，所以，故的前项和为.（2）因为，，所以所以.又因为，所以，所以的“收缩数列”仍是.（3）由可得当时，；当时，，即，所以；当时，，即（*），若，则，所以由（*）可得，与矛盾；若，则，所以由（*）可得，所以与同号，这与矛盾；若，则，由（*）可得.猜想：满足的数列是：.经验证，左式，右式.下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件.法1：由上述时的情况可知，时，是成立的.假设是首次不符合的项，则，由题设条件可得（*），若，则由（*）式化简可得与矛盾；若，则，所以由（*）可得所以与同号，这与矛盾；所以，则，所以由（*）化简可得.这与假设矛盾.所以不存在数列不满足的符合题设条件.法2：当时，，所以即由可得又，所以可得，所以，即所以等号成立的条件是，所以，所有满足该条件的数列为.【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查学生创新意识．第（1）（2）问直接利用新概念“收缩数列”结合不等关系易得，第（3）问考查学生的从特殊到一般的思维能力，考查归纳猜想能力，题中讨论与大小关系是解题关键所在．本题属于难题．19.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F也是抛物线y2=4x的焦点．（1）求椭圆方程；（2）若直线l与C相交于A、B两点，若=2，求直线l的方程．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）根据抛物线的方程与焦点坐标的关系求出椭圆的右焦点F，得到椭圆的参数c的值，利用椭圆的离心率公式求出椭圆中的参数a，根据椭圆中的三个参数的关系求出b，代入椭圆的方程，求出椭圆方程．（2）先检验直线的斜率非零，设出两个交点A，B的坐标，由已知的向量关系得到两个交点坐标间的关系，设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，据韦达定理得到两个交点坐标的关系，联立几个关于坐标的等式，求出m的值即得到直线的方程．【解答】解：（1）根据F（1，0），即c=1，据得，故，所以所求的椭圆方程是．（2）当直线l的斜率为0时，检验知．设A（x1，y1）B（x2，y2），根据得（1﹣x1，﹣y1）=2（x2﹣1，y2）得y1=﹣2y2．设直线l：x=my+1，代入椭圆方程得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，故，得，代入得，即，解得，故直线l的方程是．20.如图，在三棱柱中，、分别是、的中点.（1）设棱的中点为，证明：平面；（2）若，，，且平面平面，求二面角的余弦值.参考答案：（1）证明：连接是的中点，是的中点，可由棱柱的性质知，且；四边形是平行四边形分别是、的中点平面平面平面（2）方法一：建立如图所示的空间直角坐标系面的一个法向量为：，，由和的坐标可解得面的一个法向量设二面角的大小为，则方法二：在面内作于点在面内作于点，连接.平面平面平面是二面角的平面角在中，，.设二面角的大小为，则21.函数y=﹣sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（﹣，））的一条对称轴为x=，一个对称中心为（，0），在区间[0，]上单调．（1）求ω，φ的值；（2）用描点法作出y=sin（ωx+φ）在[0，π]上的图象．参考答案：【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；正弦函数的图象．【分析】（1）由条件利用三角形函数的周期，对称轴，对称中心，即可ω，φ．（2）用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期[0，π]上的图象．【解答】解：（1）由题意得：，即，解得又ω＞0，k∈Z，所以ω=2，x=为对称轴，2×+φ=kπ+，所以φ=kπ﹣，又φ∈（﹣，），∴φ=﹣，（2）由（1）可知f（x）=sin（2x﹣），由x∈[0，π]，所以2x﹣∈[﹣，]，列表：2x﹣﹣0πx0πf（x）﹣010﹣1画图：22.如图，在底边为等边三角形的斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB，四边形B1C1CB为矩形，过A1C做与直线BC1平行的平面A1CD交AB于点D．（Ⅰ）证明：CD⊥AB；（Ⅱ）若AA1与底面A1B1C1所成角为60°，求二面角B﹣A1C﹣C1的余弦值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）连接AC1交AC于点E，连接DE．推导出BC1∥DE，由四边形ACC1A1为平行四边形，得ED为△AC1B的中位线，从而D为AB的中点，由此能证明CD⊥AB．（Ⅱ）过A作AO⊥平面A1B1C1垂足为O，连接A1O，以O为原点，以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣A1C﹣C1的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC1交AC于点E，连接DE．因为BC1∥平面A1CD，BC1?平面ABC1，平面ABC1∩平面A1CD=DE，所以BC1∥DE．又因为四边形ACC1A1为平行四边形，所以E为AC1的中点，所以ED为△AC1B的中位线，所以D为AB的中点．又因为△ABC为等边三角形，所以CD⊥AB．解：（Ⅱ）过A作AO⊥平面A1B1C1垂足为O，连接A1O，设AB=2．因为AA1与底面A1B1C1所成角为60°，所以∠AA1O=60°．在RT△AA1O中，因为，所以，AO=3．因为AO⊥平面A1B1C1，B1C1?平面A1B1C1，所以AO⊥B1C1．又因为四边形B1C1CB为矩形，所以BB1⊥B1C1，因为BB1∥AA1，所以B1C1⊥AA1．因为AA1∩AO=A，AA1?平面AA1O，