2021年超级全能生高考数学联考试卷（文科）（3月份）附答案解析

2021年超级全能生高考数学联考试卷（文科）（3月份）

单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.若Z=[X]X2-2X<0],B=[x[^<1],则4nB=()

A.(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.[1,2)

2.复数2=言0是虚数单位），则|Z|=（）

A.1B.V2C.V3D.V5

3.在区间［-自上随机地取一个数x，则事件“sinx*"发生的概率为（）

4.下列函数中，既是奇函数，又在区间（0,+8）上单调递增的函数为（）

A.y=x2—xB.y=%+2sinx

C.y=%3+%D.y=tanx

5.己知函数/（x）=2sin（x-》cos《-x）,则下列说法错误的是（）

A.函数/（x）的最小正周期为兀

B.%=一总是函数“X）图象的一条对称轴

C.函数〃x）的图象关于点©,0）中心对称

D.将函数g（x）=cos2x-siMx的图象向右平移居个单位后得到函数/（x）的图象

6,已知△力BC中，A=30°,C=45°,b=8,则a等于（）

A.4B.4V2C.4V3D.4（V6-V2）

7.在数列｛%｝中，的=2（为虚数单位），（1+。/1+1=（1-。0„5€2*）,贝!|£12012的值为（）

A.-2B.0C.2D.2i

8.“=”在基本算法语句中叫（）

A.赋值号B.等号C.输入语句D.输出语句

9.己知点P在AABC所在平面内，且万・丽=丽•正=正・方，则点P是△48（7的（）

A.重心B.外心C.垂心D.内心

10.已知某一几何体的正（主）视图与侧（左）视图如图，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的

图形有（）

正注凝网触左）视图

①②③④⑤

A.①②③⑤B.②③④⑤C.①③④⑤D.①②③④

2

11.双曲线y2-^=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为（）

1-1

A.4B.-4C.2-D.--2

12.如图所示，正方形4BCD的边长为2,切去阴影部分围成一个正四棱锥，则当正四棱锥体积最大

时，该正四棱锥外接球的表面积为（）

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.设实数x、y满足则z=|x+y+4|的取值范围为.

14.一物体以"=312+101+3的速度沿直线运动，则该物体开始运动后5秒内所经过的路程s为

米.（速度单位：米/秒，路程单位：米）

15.己知椭圆C的方程为三+^=l（a22b>0）,则椭圆C的离心率的取值范围是____.

azbz

16.三条直线两两平行，则过其中任意两条直线最多可确定个平面.

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学

数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）.如图

所示茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩.

甲乙

0901568

7732801256689

8422107135

9877665789

88775

(1)学校规定：成绩不低于75分的为优秀.请画出下面的列联表.

甲班乙班合计

优秀

不优秀

合计

(2)判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.

下面临界值表仅供参考：

P(K2>k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n(ad-bc')2

参考公式：K2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

18.如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为a的正方体4BC0-中分离出来的.

(1)直接写出NDQDi在图中的度数和它表示的角的真实度数.

(2)求乙4传1。的真实度数.

(3)设=如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛多少体积的水？

19.设数列｛5｝满足%=0且即+1=二?,n6N*.

(1)求证数列｛盒｝是等差数列，并求数列｛an｝的通项公式；

(2)设瓦=f五，Sn为数列｛与｝的前n项和，证明：Sn<l.

20.(本小题满分14分)

已知椭圆“::^'^=31，其左准线为电，右准线为抛物线%以坐标原点淳为顶点，鼻为准线,

，交用于潮拂两点.

(1)求抛物线，的标准方程;

(2)求线段耨的长度.

21.已知函数—2x)e*.

(1)求曲线y=f(x)在原点处的切线方程.

(2)当x<2时，求函数y=f(x)的零点个数;

22.在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程；二;:为参数)，曲线c的参数方程为

翁鬻3为参数)•

(I)求直线与曲线c的普通方程;

(口)求直线与曲线C的公共点为直径的圆的极坐标方程.

23.已知函数f(x)=条图象上斜率为3的两条切线间的距离为等，函数g(x)=f(x)-,+3.

(1)若函数g(x)在％=1处有极值，求g(x)的解析式；

(2)若函数g(x)在区间［-1,1］上为增函数，且/-mb+4>g(x)在％W时恒成立，求实数ni的

取值范围.

参考答案及解析

1.答案：D

解析：解：由4中的不等式变形得：x(x-2)<0,

解得：0cx<2,即4=(0,2),

由B中的不等式变形得：i-l<0,即匕S0,

XX

整理得：—>0,

X

解得：%<0或％21,即B=(-oo,0)U[l,+oo),

则4CB=[1,2).

故选：D.

求出4与B中不等式的解集确定出4与B,找出两集合的交集即可.

此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.答案：A

解析：解:(2+i)(l+2i)2+5i+2/_Si

(l-2i)(l+2i)l2-(2i)2—"5

|z|=1.

故选:A.

首先化简复数z,然后再求|z|.

本题考查复数的模及运算，考查数学运算能力，属于基础题.

3.答案：B

解析：解:在区间[一一3上,由sinxN；,得g咛,

故选：B.

由已知求解三角不等式可得久的范围，再由测度比是长度比得答案.

本题考查儿何概型的概率的计算，考查三角不等式的解法，是基础题

4.答案：C

解析：解：对于4y=x2-x,是非奇非偶的函数，不满足条件；

对于B,y=x+2sinx,是定义域R上的奇函数，但在(0,+8)上不是单调函数，不满足条件;

对于C,y=x3+x,是定义域R上的奇函数，且在区间(0,+8)上单调递增，满足条件；

对于D,y=tanx,是定义域｛x|xHg+卜兀,k€Z｝上的奇函数，但在(0,+8)上不是增函数，不满足

条件.

故选：C.

根据函数的奇偶性和单调性逐项判断即可.

本题主要考查了函数的奇偶性、单调性的判断问题，要熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性.

5.答案：C

解析：解：/(x)=2sin(x-^)cos(^-x)=2sin(x-^)cos(x-^)=sin(2x-^),

由周期公式可得：T=y=7T,故A正确；

由2x—g=Mr+],得：无=等+患，k£Z,

k=-l时，％=一专，故8正确；

由2%—?=々兀，得：%=-+-,kWZ,

326

k=_l时，x=故(一%0),故C错误；

JO

将函数g(x)=cos2x-sin2x-cos2x的图象向右平移居个单位后得到函数g(x)=cos2(x—|^)=

cos(2x-=sin(2x-=f(x)的图象，故。正确;

故选：C.

利用诱导公式，二倍角的正弦公式化简函数解析式，进而求出的周期、对称轴、对称中心以及三角

函数的平移变换，可得4B、。都正确，C错误.

本题主要考查复合三角函数的周期性、奇偶性的应用，考查了三角函数平移变换的应用，属于中档

题.

6.答案：D

解析：解：由题意得，A=30。，C=45°,则B=兀一(4+。)=105。,

又b=8,由正弦定理得，急=熹

即。=鬻=慧=曲述一四)，

4

故选：D.

由内角和定理以及题意求出B,由正弦定理求出边a的值.

本题考查正弦定理的应用，以及内角和定理，熟练掌握定理和公式是解题的关键.

7.答案：A

解析：・••（1+3.（一居，；.驷=苧=孝邈—

故｛an｝是以2i为首项，-i为公

:嚓1+K尊+领一部

比的等比数列，。2。12=2ix(-i)2012-1=2ix(-04x502+3=2ixi=-2.

8.答案：A

解析：解：“=”在基本算法语句中叫赋值号.

功能是先计算出赋值号右边表达式的值，然后把这个值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于

表达式的值.

故选：A.

根据赋值号的定义即可得解.

本题主要考查了赋值号这个知识点的识记，属于基础题.

9.答案：C

解析：解：•••福•丽=丽・玩，

.•.而•值?-瓦5=0，即丽•琼f=0，

PB1CA,

同理可得PA1BC,PCLAB,

AP是△ABC的垂心.

故选C.

根据对PB=PB-无，移向并根据向量的数量积的运算法则，得到丽・（可-两=0,因此有PB1

CA,同理可得P41BC,PCLAB,根据三角形五心的定义，即可求得结果.

本小题主要考查向量的数量积的运算法则、三角形垂心等基础知识，考查运算求解能力，考查数形

结合思想、化归与转化思想.属于基础题.

10.答案：D

解析：试题分析：俯视图为⑤的几何体的侧视图如下，这与题目不相符，而①②③④符合题意。

故选。。

旦

考点：三视图

点评：本题考查简单空间图形的三视图，考查空间想象能力，是基础题.

11.答案：A

解析：解：双曲线y2-5=1（巾>0）的a=1，b=标，

则2布=2x2,

解得m=4.

故选A.

求出双曲线的a,b,由题意可得2标=2x2,解方程即可得到m.

本题考查双曲线的方程和性质，考查运算能力，属于基础题.

12.答案：D

解析：

本题考查球的表面积的求法，是较难题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.

正方形4BCD的边长为2,设正四棱锥底面边长为a,高为九，可得/=2-遮a，0<a<鱼，用a表

示正四棱锥体积心利用导数求得U最大时的a和九，即可利用勾股定理列方程求解正四棱锥外接球的

半径，进而求得表面积.

解：由题意，正方形ABC。的边长为2,可得对角线的一半为近，折成正四棱锥后，

设正四棱锥底面边长为a,高为九，

可得：Ja）2+F+ga=&,即公=2—ea,（0<a<V2）.

正四棱锥体积V=ga2.九

—302d2一&a=^2a4-V2a5.

令y-2a4—V2a5,

则y'=8a3-5/a3

令y，=0,可得a=挈，

当a6（0,华）时，/>0,y单调递增，

当a6（雪，鱼）时，/<0,y单调递减，

.•.当a=半时，y取得最大值，即体积V取得最大值，

此时九=旦，正四棱锥底面正方形外接圆半径为r=1

55

设正四棱锥外接球的半径R,

可得dp-R)2+(》2=R2,

解得：R2=券，

正四棱锥外接球的表面积S=4TTR2=翟TT.

故选：D.

13.答案：［6,11］

解析:作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义可得z=Ix+y+4］的范围为［6,11］.

14.答案:265

解析：解：由积分的物理意义可知该物体开始运动后5秒内所经过的路程s=C(3t2+10t+3)dt=

(t3+5t2+3t)lo=265.

故答案为：265.

根据积分的物理意义是求函数的积分即可.

本题主要考查导数的物理意义的应用，要求熟练掌握常见函数的积分公式.

15.答案：哼,1)

解析：解：由a22b可得a224b2,

又炉=a2-c2,

可得>4a2-4c2,即为4c2>3a2,

即cN3a,

2

即有e=->^.

a2

由0<e<1,可得更<e<1.

2

故答案为：

运用a,b,c的关系和离心率公式，结合已知不等式，即可得到所求范围.

本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的范围，属于基础题.

16.答案：3

解析：

本题给出三条直线两两平行，求经过其中任意两条直线确定平面的个数，着重考查了空间直线与平

面的包含关系的知识，属于基础题.

三条直线可能分布在同一个平面内，也可能不在同一个平面内，分以上两种情况加以讨论，可得经

过其中任意两条直线确定平面的情况，从而得到最多可以确定3个平面.

解：因为三条直线两两平行，所以分两种情况

①三条直线在同一平面a内，此时经过任意两条直线确定一个平面；

②三条直线不在同一个平面内，如三侧柱三条侧棱所在的直线，此时经过任意两条直线确定三个平

面.

综上所述，可得过其中任意两条直线最多可确定3个平面.

故答案为3.

17.答案：解：(1)列联表:

甲班乙班合计

优秀61420

不优秀14620

合计202040

(2/2的观测值k=40X(6X6-14X14)2=64>5024,

\/20x20x20x20

因此，我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关.

解析：本题考查了由茎叶图求列联表，及根据列联表计算K2的观测值，考查独立性检验，属于中档

题.

(1)由所给数据，结合茎叶图，即可补全列联表;

(2)把数据代入公式中，算出观测值，同所给的临界值表进行比较,即可得出结论.

18.答案：解：(1)4。口以在图中的度数和它表示的角的真实度数

都是45。；

(2)连接。则小&Ci。的三条边都是正方体的面对角线，

都是&a，

.•.△&GD是等边三角形，

:,乙41G。=60°.

(3)如果用图示中的装置来盛水，那么最多能盛的水的体积等于

三棱锥G-CBiDi的体积,

而％1-CJDi=^C-C1B1D1=§SABIQOI.CG=/

解析：（l）NDGDi在图中的度数和它表示的角的真实度数都是45。；

（2）连接则△4GD的三条边都是正方体的面对角线，都是近a,利用等边三角形的性质即可得

出；

（3）如果用图示中的装置来盛水，那么最多能盛的水的体积等于三棱锥G-C&D1的体积，即可得出.

本题考查了正方体的直观图的性质、等边三角形的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象

能力、推理能力与计算能力，属于中档题.

19.答案：（1）解：即+1=3羡，

11112-an1d

-if1-=2-即1-«„2-an

11T

•*•-----------------------=1,

1-an+l1-an

二数列｛—｝是公差为1的等差数列.

l-an

又J-=L故=几，

1—Ctj1—（171

所以an=1-;.

⑵证明:由⑴得匕=上铲=雷/-点S”=取M-/=1_焉<

1.

・•・Sn<1.

解析：（1）把即+1=3代入H-—十，能推导出：；4一—六=1，由此能证明数列｛十｝是公

1-a1-a

2-即l-an+1l-anl-an+lnn

差为1的等差数列，从而能求出即=1-3.

（2）由%=上笋=磊点=±-焉，利用裂项求和法能证明又<1.

本题主要考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查等

差数列的证明，证明数列为等差数列通常利用等差数列的定义证明，遇到与数列的和有关的不等式

可先考虑能否求和再证明.

20.答案：（1）,「=-：!解忘（2）16

解析：试题分析：⑴椭圆踹;：^开贮=：!中^=q,娥=史志=：1，左准线为米线gT，右准线

4察

为%:妒=燃，抛物线蛛准线为级』嘲二,施-七崎方程为，*=-Ifc

(2)方程中令级『一用得群=韭配..忸用=词

考点：椭圆性质抛物线方程

点评：圆锥曲线的几何性质是常出的考点

21.答案：解：(1)由f(x)=(%2-2盼/,得/'(x)=(一一2)e~则1(0)=-2,

曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=-2x.

(2)由(1)知/(X)=Q2-2)〃。42),令/(x)=0,得刀=/或%=-或，

・•・函数y=/(x)单调增区间为(―8,-夜)，(V2.2);单调减区间为(—VI鱼)，

当x＜一企时，/(%)=(x2-2x)ex＞0恒成立，

・•・/(X)在(-8,-a)上没有零点；

当一夜＜x＜或时，函数在区间(一鱼,四)上单调递减，且/(0)=0,存在唯一零点；

当或＜xW2时，/(%)在(e,2］上单调递增，且f(2)=0,存在唯一零点；

综上，函数y=f(x)零点个数为两个.

解析：(1)根据f(x)=(M-2x)eX,求出/(x)的导函数，然后求出切线的斜率f'(0),再求出切线方

程即可；

(2)根据/'(x)=0得到导函数(。)的零点，然后判断/(x)的单调性，再根据单调性和函数值得到/(x)

的零点个数.

本题考查了利用导数研究曲线的切线方程和利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论思想，属

中档题.

22.答案：解:(1);直线的参数方程为｛；：；：1«为参数)，消去参数3

•♦•直线的直角坐标方程为2x-y-2=0；

••・曲线C的参数方程为『=(0为参数)，

消去参数氏

•••曲线C的直角坐标方程为必=2x；

(口)由题意，片=2x

(2%—y—2=0

解得

一乙

U1\y2=一1

直线与曲线C的交点为4(2,2),8&-1).

・・•以4(2,2),B©,-1)为直径的圆的方程为：

(x-2)(x-i)+(y-2)(y+1)=0(也可求出圆的圆心，半径写出方程)

化简得：x2+y2—|x—y—1=0.

由极坐标系与直角坐标系的互化关系