高中数学九种方法解决三角函数最值问题

高中数学九种方法解决三角函数最值问题高中数学：9种方法解决三角函数最值问题。三角函数最值问题解题9法三角函数是重要的数学运算工具1:三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学中经:常涉及的问题.这部分内容是一札难点；它对三角函数的恒等变形能力及符合应用要求较高匚解决这一类问题的基本途径，同求解其他函敷最值一样，一方面应无分利用三角函数自身的特殊性〔如有界性等3另一方面还要注宸将求解三角函薮最值问题转化为求一些我们所熟知的函数［二法函数等。最值问题.下面就介绍几种常见的求三角函数最值的方法：若函数表达式中只含有正弦函数或余拓函数，切它们次数是2时，一般就希要通过配方或换元将绐定的函教化归为二院函数的最值问题来处理.Ml由豺尸=_.2沌_38盯十$的鼠小值为C)._jA.2 B,0 匚.4 D. 6［分析］本题可通过缶式=1一81K将函数表达式化为尸二8一工―-COSJr+2-因含有(3丫1COSK的二铁.式.可换元.令COSKM-,则一1工工兰Lr=£一比十2,配方.得［2/4,,''—1工:工L：当t=i时，即匚dkl时，>Z二口』选B.倒？求函数y=5sitiK+ccis2K的最值［分析］E观察三角的数名和角.其中一个为正弦.一个为余弦.角分别是单角和倍增.斯以光化简，使三角函数的名利角达到统一。TOC\o"1-5"\h\zf^ \ ^ . (. 5V33=5sinx+(1—2sin2jf)=—2sin2aH-5smaH-l=-2sin—— +——JT- QI 弓弓■,--1<sma<1,sinx=-1,2：=Ztzr——，七七“4=-2x—+—=-62 16 8」 「、，河， 门口33 “sinx=l;.x=2k7U十一，土Ez,外皿=—2x——十 =42 16 8二号［人林刷南法］V3y=—cos2k+——smx-cosx+1(aeR)例3m沏函数2 2 当函数¥取得最大值时.求自变量M的集合口［分析］此类问题为尸=以皿* 炉内的三角函数求最值问题，它可通

过降次化筒整理为'=〃地荣+旅8支型求解“TOC\o"1-5"\h\zl+cos2x75sin2x11 _ 511 ./乃 + +1=-cos2x+-sin21十一二一一co$2i+——$in2x2 2 2 4 4 422 2 ,*穴式7T,/3 、 727+—*—+2tor二1h一+k或ejLy_^=-62 6 4三利用三角函数的有界性在三角函数中,正弦函数与余弦函数具有一个最基盅也是最重要的特征一一有界性，利用正隹函数与余弦函数的有界性是求解三角函效最值的最基本方法口2eosx+ly二例4求函数2c8.1的值域acos工+bTOC\o"1-5"\h\zy= 7［分析］此为 人©£工一d型的三隹函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解口或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解口2 17=H //Icoszl<1 工”一.解法一：原函数变形为 2cos1 ,胃直接得到：尸一或 3cosx-y、Icosx|W1,A?JWL二n〈］解法-1原函数变形为 不刁 肉-川，”或~3例写己知函数,k)=2wHsiilR+CMK),求函数电)的最小正周期和最大值.［分析］在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通可除次化二次为一次式I再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式“m r(/(j)=2sinz+2anzcosx=1-cos2z+sm2x=1+V2i«21一一解： l引:, f3的最小正周期为汗，最大值为1+依，四引入参数法(换元法)

对于表达式中同时含有sin^cQSEr与鼠1/匚可笈的函数r运用关系或(sin2L±cosa)2(sin2L±cosa)2=1±2sinzcosa,注意换元后新变量的取值范围。W6求南数产smx+匚口需十由必力解的最大值口sinx+cosj;?=l+2sinxcosa.> .［分析］解：［一「同》一，其中-71忑' ［分析］解：［一「同》一，其中-71忑五利用基本不等触利用基本不等式照函数的最值，要合理的拆案项，蹇常数，同时嬖注意等号成立的密件，否则叁陷入误区口1 4y= ——+ 例7求函数卸,二⑶一人的最值口解,♦5垃2工+0寸工」+C^+4。+!:一丁）=5+匚优7+4团'工25+2又2二9当且应当gj、=4tai?人即gt工二士后时，等号成立，故必由二9A利用南雅密区间内的单调性2y、 7=smx+ Ws已知二巨电同，求函数 小汇的最小值0asina4- ［分析］此题为 如x以三角函数求最值问题，当应阻汕声工不能用均值不等式求最值・适合用函数在区间内的单调性来求解.sin工二£［0<7王l\y=£+1设 £,在（口，1）上为减函数，当t=l时,乃m二々七教形结合由于血.+峰广1二1,所以从图形考虑，点（COSES加）在单位圆上，这样对一类既含有正弦国乳又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求鼠例9求函数2-BSX 的最小值00-皿兀

V= ,［分析I法一，招表达式改写成2-as/y可看成连接两点A2。）与点融混眄切的直线的斜率.由于点（c硼例nx）的轨迹是单位圆的上半圆〔如图上所以求y的最小值就是在这个半圆上求一点1使得相应的直线斜率最小.役过点A的切线与半圆相切与点B则上必*了<0i^=tan—="-.可求得6 3忑_JT所以y的最小值为3（此时3）.法二：该题也可利用关系式asinx+bco2庐万如（工+夕）（即引入辅助角法）和育界性来求解。A判别式法sec2冗一tan冗y= 例10求函数 $eJx+tan=的最值口［分析］同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和首数分离法.secx-tanxtani-tanr+1y= = sec2Altan了tan2x4-tan1+1（v-l）tan2x+b+l）taii苫+卜-1）=0解Ay-l,tan1=0,1二k#e/时此时一亓二次方程总有实数解

:"二卜十1『—心—『"…(3y-l)(>-3)<0..——.y—3.■TT-"底+了优E4Pmim=3TOC\o"1-5"\h\z由产3rtanx=-lr $1 । ,笈 17=-ntan^=t,.x=k^r^-^=-由3 4 3九赫H触含缶数的三角函数的值域问题，需要对舂收进行讨论口=-cos2x+cisinx--=-cos2x+cisinx--制口设 4\(--0<x<-212人用a表示用四的最大值岫公/(1)=-sin2/(1)=-sin2x+flsina--+—.解： 42令£也曰_,则0<lr式0=/(幻=—d+画—；+；=—i口a1£——,2)->1当->1当2，即"之2g（力在曲1］上递增,伯 越1）二即0二厘工2时，国同在［o