抽象函数问题 高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

第三章函数抽象函数问题1.了解函数模型的实际背景.2.会运用函数的解析式理解和研究函数的性质.

例1：设函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2. (1)求证：f(x)是奇函数；

(2)试问当－3≤x≤3时，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由.(1)证明：令

x＝y＝0，则有f(0)＝2f(0)⇒f(0)＝0.令y＝－x，则有f(0)＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x).∴f(x)是奇函数.(2)解：当－3≤x≤3时，f(x)有最值，理由如下：任取x1<x2，则x2－x1>0⇒f(x2－x1)<0.且f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)＝－f(x2－x1)>0.∴f(x1)>f(x2).∴y＝f(x)在R上为减函数.因此f(3)为函数的最小值，f(－3)为函数的最大值.f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.∴函数f(x)的最大值为6，最小值为－6.

【规律方法】(1)利用赋值法解决抽象函数问题时需把握如下三点：一是注意函数的定义域，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“f”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“f”.(2)解决f(x＋y)＝f(x)＋f(y)型抽象函数的一般步骤为：f(0)＝0⇒f(x)是奇函数⇒f(x－y)＝f(x)－f(y)⇒单调性.

(3)判断单调性小技巧：设x1<x2，则x2－x1>0⇒f(x2－x1)<0⇒f(x2)＝f(x2

－x1

＋x1)＝f(x2

－x1)＋f(x1)<f(x1)，得到函数单调递减.【互动探究】1.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则下列判断错误的是()答案：D

例2：已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，对定义域内的任意x1，x2

都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时f(x)>0，f(2)＝1. (1)求证：f(x)是偶函数；

(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

(3)解不等式f(2x2－1)<2.

例3：定义在R上的函数y＝f(x)，f(0)≠0，当x＞0时，f(x)>1，且对任意的a，b∈R，有f(a＋b)＝f(a)·f(b). (1)求证：f(0)＝1；

(2)求证：对任意的x∈R，恒有f(x)＞0；

(3)求证：f(x)是R上的增函数；

(4)若f(x)·f(2x－x2)＞1，求实数x的取值范围.＞0.(1)证明：令

a＝b＝0，则f(0)＝[f(0)]2.∵f(0)≠0，∴f(0)＝1.(2)证明：∵当

x＜0时，－x＞0，∴f(0)＝f(x)·f(－x)＝1.∴f(x)＝

1f(－x)又∵当x≥0时，f(x)≥1＞0.∴x∈R时，恒有f(x)＞0.＝f(x2－x1)＞1.(3)证明：设

x1＜x2，则x2－x1＞0.∴f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)·f(x1).∵x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＞1.又∵f(x1)＞0，∴f(x2)f(x1)∴f(x2)＞f(x1).∴f(x)是R上的增函数.(4)解：由

f(x)·f(2x－x2)＞1，f(0)＝1，得f(3x－x2)＞f(0).∵f(x)是R上的增函数，∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.∴实数x的取值范围是{x|0<x<3}.f(0)＝1⇒f(－x)＝⇒f(x－y)＝【规律方法】(1)解决有f(a＋b)＝f(a)·f(b).函数型抽象函数的一般步骤为：

1f(x)f(x)f(y)⇒单调性.

(2)判断单调性小技巧：设x1>x2