2021-2022学年山西省太原市爱物中学高三数学文月考试卷含解析

2021-2022学年山西省太原市爱物中学高三数学文月考

试卷含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共5()分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

v=x+2［3—1

1.命题P：函数VX在［1,4］上的值域为L'2」；命题

q：log］a+l)>l0gj(a〉0)

22.下列命题中，真命题的是()

A.pAqB."""pVqC.pA-'qD.pVq

参考答案：

B

【考点】复合命题的真假；函数的值域.

【专题】简易逻辑.

【分析】根据条件分别判断两个命题的真假即可得到结论.

_2

解：...kxx在［1,上为减函数，在［M,4］上为增函数，

299

，当x=l时,y=1+2=3,当x=4时,y=4+4=2,即最大值为2,

__2____

当y=^+&=&+&=2亚，即最小值为2&,

9

故函数的值域为［2亚，2］,故命题p为假命题.

若a>0,则a+l>a,

则log2(a+1)<log2a,故命题q为假命题，

则［pVq为真命题.

故选:B.

【点评】本题主要考查复合函数命题的真假判断，分别判断命题P，q的真假是解决本题

的关键.

x\T>->5=1x|^^<0)

2.设集合2J,Lx-2J,则4rl8=()

A.(-l,2)B.[-l,2)C.(-l,2]D.[-l,2]

参考答案：

A

.集合A=Z~

解得x＞」,

(x+1)

-x|------<0[

B=lx-2){x|(x+l)(x-2)工0且x2}={x|-1^x<2},

则ADB=凶・lVx<2},

故选：A.

3.如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内

随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为（）

A.4B.5C.8D.9

参考答案：

B

【分析】

5g605

由几何概型中的随机模拟试验可得：S«1089将正方形面积代入运算即可.

【详解】由题意在正方形区域内随机投掷1089个点，

其中落入白色部分的有484个点，

则其中落入黑色部分的有605个点，

J605

由随机模拟试验可得：»1089,又&=9,

S_=-^-x9«5

可得a1089,故选B.

【点睛】本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规

则图形的面积的主要方法就是利用模拟实验，列出未知面积与已知面积之间的方程求解.

4.如图所示是一样本的频率分布直方图.则由图中的数据，可以估计样本的平均

数、众数与中位数分别是

A.12.5,12.5,12.5

B.13,12.5,13

C.13,13,12.5

D.12.5,13,13

参考答案：

B

5.已知命题q：?xGR,x2>0,则()

A.命题-1q：?xGR,x'WO为假命题B.命题-q：?x6R,x'WO为真命题

C.命题「q：?xGR,(WO为假命题D.命题「q：?xCR,rWO为真命题

参考答案：

D

【考点】2J：命题的否定.

【分析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是特称命题，依据全称命题的否定书写形

式写出命题的否定，再进行判断即可.

【解答】解：,••命题q：?x£R,x2>0,

命题「q：?xGR,x2^0,为真命题.

故选D

6.已知复数z满足：zi=2+i(i是虚数单位)，则z对应的点在复平面的()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

参考答案：

D

【考点】复数的代数表示法及其几何意义.

【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

2+i

【解答】解：由足zi=2+i,得2=丁=1-2"

...复数z在复平面内所对应的点的坐标是(1,-2),

Az对应的点在复平面的第四象限.

故选：D.

1/21

——~y=]

7.抛物线Cl：y=2Px2(p>0)的焦点与双曲线C2：3的右焦点的连线交C1于

第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=

用用2币述

A.16B.8C.3D.3

参考答案：

y=—xF。马

经过第一象限的双曲线的渐近线为3。抛物线的焦点为2，双曲线的右焦点

?(20)”」'版/,受《二。=当

为为(2,0)p,所以在2p处的切线斜率为3,即P3,所以

巳-0P-P

2__62

寺,即三点双吟，尸式2,0),以当聿共线，所以"2%，即

4g

P-----

3，选D.

8.已知向量/满足F—语用a.b=\,则F+N=

A.芯B.20C.屈D.10

参考答案:

C

略

9.下列命题中的真命题是()

r„3

□X€A,sinX+cosx=—

A.2B.Vxe(0㈤,sinx>cosx

C,太e(-8,0),2*<3"D.Vxe(0,4<o),e*>x+1

参考答案：

D

10.如图，正方形ABC。内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白

色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率

A.4B.8C.2

.

D.?

参考答案：

B

【解析】不妨设正方形边长为a.由图形的时称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即所各占圆面积的一

1/a”

一XTX（一＞

半.由几何概型概率的计算公式得，所求概率为^一一=：，选B.

a8

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.2018年俄罗斯世界杯将至，本地球迷协会统计了协会内180名男性球迷，60名女性球

迷在观察场所（家里、酒吧、球迷广场）上的选择，制作了如图所示的条形图，用分层抽

样的方法从中抽取48名球迷进行调查，则其中选择在酒吧观赛的女球迷人数为

人.

物75%人

酒吧江70人阂□

女性刃性

球迷

惜()人

广场X7.5G

参考答案：

4

总球迷是180+60=240人，家里的女性球迷是120x25%=30人，球迷广场女性

80x125%=10人，

所以在酒吧观赛的女球迷是60-3。-10=20人，

20

—x48=4

抽样中，选择在酒吧观赛的女球迷人数为240人.

7T_2

12.已知角%⑸，构成公差为行的等差数列.若s5--3,则：cosa+cosy=

参考答案：

-2/3

略

13.设/住）=11n工1,若函数米工）=〃力一皿在区间他2017）上有三个零点，则实数。的

取值范围是.

参考答案：

Jn20171

Gloi7_,g

14.已知双曲线a?2（a>0）的离心率为2,则a的值为.

参考答案：

返

3

I----------_c

【分析】求得双曲线的b2=2,由c=Y/+b2和e=£,解关于a的方程，即可得到所求

值.

22

xy]

【解答】解：由双曲线a''(a>0)得到b?=2,

则c=Va2+2,

所以a=2,

返

解得a=3.

V6

故答案是：3.

【点评】本题考查双曲线的方程和性质，注意运用离心率公式和基本量a,b,c的关系，

考查方程思想和运算能力，属于基础题.

15.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x20时，f(x)=x'-4x,那么，不等式f

(x+2)<5的解集是.

参考答案：

(-7,3)

【考点】函数单调性的性质；一元二次不等式的解法.

【专题】压轴题；不等式的解法及应用.

【分析】由偶函数性质得：f(|x+2|)=f(x+2),则f(x+2)<5可变为f(|x+2|)<

5,代入已知表达式可表示出不等式，先解出|x+2的范围，再求x范围即可.

【解答】解：因为f(x)为偶函数，所以f(|x+2|)=f(x+2),

则f(x+2)<5可化为f(|x+2|)<5,

即|x+2「-4|x+2|V5,(|x+2|+l)(|x+2|-5)<0,

所以|x+2<5,

解得-7<x<3,

所以不等式f(x+2)<5的解集是(-7,3).

故答案为：，（-7,3）.

【点评】本题考查函数的奇偶性、一元二次不等式的解法，借助偶函数性质把不等式具体

化是解决本题的关键.

16.抛物线了==/+4入-3及其在点41,0）和点灰3,0）处的切线所围成图形的面积

为____________________________________

参考答案：

2

3

17.已知F是抛物线V的焦点，M、N是该抛物线上的两点，1MFl+lRFh?,则线段

MN的

中点到x轴的距离为.

参考答案：

5

4

略

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.（本小题满分12分）

如图1,在△ABC中，AB=8C=2,NB=90。,。为8c边上一点，以边AC为对角线做平行四边

形AOCE,沿AC将△ACE折起，使得平面ACE_L平面ABC,如图2.

（1）在图2中，设M为4c的中点，求证:BM_LAE；

（2）在图2中，当DE最小时，求二面角4-OE-C的平面角.

参考答案：

（1）证明：•.•在AABC中，ABBC2,ZB90;

当"为AC的中点时，BM1AC

•.•平面ACE1平面ABC,BMU平面ABC,平面ACE「平面ABCAC

•平面ACE

AEc平面ACE

（2）如图，分别以射线BA,BC的方向为x,y轴的正方向，建立空间直角坐标系B-xyz

设BDI,则B(0,Q0),B(2,a0),C(0,20),D(0X0)

•.•AE2-1,4cAE45°,平面ACEJ•平面ABC

t12-t

印+中方应）

.DE2=(1--):+(1—t)2+(--)2=3(tA2+^,0<t<2

••一〜\―

当且仅当15时，DE最小，此时“气0'，E(污手

4

((x,y,z)•(0-,0)-0

04212

__(x.y.z).(-0.yV-j=0

设n《xy.z),n>L平面八DE,贝『IITDR0,即

|

苧=o

令X1,可得y。，z-v'2,则有i(1.0-V2)

，…、mn(1,0-^)(1.3-^)1

.•皿W|m|-|n|1(1,0.-物|(13雨|2

2兀

.•.观察可得二面角A-DE~C的平面角彳

J9已知全集。=R,产=('I。+1"2"+1)，0=('卜'-3'S10)

⑴若a=3,求G加A。

(2)若PuQ,求实数。的取值范围

参考答案：

解:(2=(x!?-3x<10}=(x|-2^x<5)

(I)当a・3时，P={^|a+1<x<2a+l}={x|4<x<7}；

(W不<4弧)7)

Cd)nQ-{*|x<4JS*>7)n0d-2C5)・(1|-24K<4)

(II)当P-0时，即2a+l«+l,得・<。，此时有P・°UQ；

(24-1>-2

<2a+l<5

当P.0时，由PUQ得：[2a+12a+l

解得0-42

综上有实数0的取值范围是(-吗2]

略

20.(本题满分12分)设函数/(x)=「.

(I)求证：

(II)记曲线y=在点尸("©)(其中£<0)处的切线为乙若/与入轴、1y轴所

围成的三角形面积为S,求S的最大值.

参考答案:

解：(I)设g(x)=e'-3.所以g'(x)=e'-e,-1分

由g'(x)=e*-e=O,彻x=l.--------------2分

所以，在区间(F,1)2g'(x)<0,函数g(x)在区间(y,l)上单调递减；-3分

在区间Q,+8)上,g'(x)>0.函数式x)在区间(1,9)上单调递中；——4分

g(x)2g(】)=0/(x)Sex-----------------------------...--5分.

(II)因为/■'(x)=e'，所以电线y=/(x)在点尸处切线为/：y-c'=e'(xr).一7分

切线/与x轴的交点为“-1,0),与丁绿的交点为(0遥‘re).

因为r<0,所以S=S。)=;。一OO-Oe'=;----------8分

8t=；。'(八―D，-----------------------------9分

在(YO,-1)上.5(。单调通〃在(-1,0)上，S⑴单调送或

2

所以.当f=-l时,S有最大像，此时S=一•--------------12分

e

21.记函数4(X)=a・x—(a£R,nCN*)的导函数为4(x),已知

f；(2)=12

(I)求a的值.

(II)设函数gn(X)=fn(X)-/inx,试问：是否存在正整数n使得函数即(X)

有且只有一个零点？若存在，请求出所有n的值；若不存在，请说明理由.

♦(X。)_/⑷

(III)若实数Xo和m(m>0,且mrl)满足：，n+lx0n+11rl,试比较Xo与m

的大小，并加以证明.

参考答案：

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性.

【专题】导数的综合应用.

【分析】(I)直接由,3◎)=12列式求a的值；

（II）求出函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，由导函数

的符号判断原函数的单调性，求出原函数的最值，根据最值分析函数的零点个数；

f：（X。）_.（m）

（IID求出fn（X）=n，x”I,代入*+1（x°）fn+l缶），解出刈，把x0与m作

差后构造辅助函数，求出辅助函数的导函数，由辅助函数的单调性即可证明X。与m的差与

0的大小关系，则结论得到证明.

【解答】解：（I）,3⑺=3ax,由J⑵=%得@=1；

2n

o，/、一n-1nn（x-n）

（n）gn（X）=xn-nlnx-1,8n⑷-rrx~~=-,

Vx>0,令gn（X）=0,得x=%.

当时，Sn（X）g0（x）是增函数；

当0<x<Mi时，gn（X）<0,即（x）是减函数；

s=n-nlnn-1

所以当x=*^时，g“（X）有极小值，也是最小值，n（正）.

当X—O时，gn（X）~*+8；

2>

当xf+8时，（可取x=e,e,e：…体验），gn（x）-+°°.

当n23时，8n（孤）=nL-l<0,函数g.（x）有两个零点；

当n=2时，gn（匹）=-21n2+1<°,函数g.（x）有两个零点；

当n=l时，gn=°,函数g“（x）只有一个零点；

综上所述，存在n=l使得函数g0（x）有且只有一个零点.

(Ill)端⑷…-)

11_1n

f；(X。)_fn(m)nxp=m-1

nn+1-

..fn-i(x0)，nT").(n+1)xoin1

n(mn+1-l)

解得x°(n+l)(mn-1),

-mn+l+m(n+l)-n

-

xnnF-----------------

则(n+l)(nin-1),

当m>l时，(n+l)(mn-1)>0,设h(x)=-xnH+x(n+l)-n(x2l),

则h'(x)=-(n+l)xn+n+l=-(n+l)(xtl-1)WO(当且仅当x=l时取等号)，

所以h(x)在［1,+8)上是减函数，

又因为田>1,所以h(m)<h(1)=0,所以x(,-mV0,所以XoVm.

当0<m<l时，(n+l)(mn-1)VO,设h(x)=-xn，1+x(n+l)-n(OVxWl),

则h(x)=-(n+l)xn+n+l=-(n+l)(xn-1)20(当且仅当x=l时取等号)，

所以h(x)在(0,1］上是增函数，又因为OVmVl,所以h(m)<h(1)=0,所以x°-m

>0,

所以xo>m.

综上所述，当m>l,x0<m.当OVmVl时，xo>m.

【点评】本题考查了导数在最大值最小值中的应用，考查了分类讨论的数学思想方法，训

练了构造函数法进行不等式的大小比较，是有一定难度题目.

a

22.己知函数f(x)=