广东省广州市2024届高三上学期8月阶段训练数学试题

2024届广州市高三年级阶段训练数学本试卷共4页，22题.满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号，座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数z满足，则（）A. B. C. D.3.在中，G为的重心，满足，则（）A. B. C.0 D.－14.设命题p：若数列是公差不为0的等差数列，则点必在一次函数图象上；命题q：若正项数列是公比不为1的等比数列，则点必在指数函数图象上.下列说法正确的是（）A.p，q均为真命题 B.p、q均为假命题 C.p真q假 D.p假q真5.某人从A地到B地，乘火车，轮船、飞机的概率分别为0.3，0.3，0.4，乘火车迟到的概率为0.2，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.4，则这个人从A地到B地迟到的概率是（）A.0.16 B.0.31 C.0.4 D.0.326.已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是，空气的温度是，则后物体的温度满足公式（其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中，冷却2min后牛奶的温度是，则下列说法正确的是（）A. B.C.牛奶的温度降至还需4min D.牛奶的温度降至还需2min7.已知，分别是椭圆C：的左，右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.8.记，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知一组样本数据，，…，均为正数，且，若由生成一组新的数据，，…，，则这组新数据与原数据的（）可能相等.A.极差 B.平均数 C.中位数 D.标准差10.已知O为抛物线C：的顶点，直线l交抛物线于M，N两点，过点M，N分别向准线作垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是（）A.若直线l过焦点F，则N，O，P三点不共线B.若直线l过焦点F，则C.若直线l过焦点F，则抛物线C在M，N处的两条切线的交点在某定直线上D.若，则直线l恒过点11.已知正四面体的棱长为2，下列说法正确的是（）A.正四面体的外接球表面积为B.正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值C.正四面体的相邻两个面所成二面角的正弦值为D.正四面体在正四面体的内部，且可以任意转动，则正四面体的体积最大值为12.若是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，且对任意，，都有，则下列说法正确的是（）A.一定为正数 B.2是的一个周期C.若，则 D.若在上单调递增，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则______.14.已知的两条直角边分别为3，4，以斜边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体体积是______.15.已知函数在上有且仅有4个零点，且，则______.16.已知：，：，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，当取到最小值时，点P坐标为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）在中，，，D为BC中点.（Ⅰ）若，求BC；（Ⅱ）若，求的值.18.（12分）西梅以“梅”为名，实际上不是梅子，而是李子，中文正规名叫“欧洲李”，素有“奇迹水果”的美誉.因此，每批西梅进入市场之前，会对其进行检测，现随机抽取了10箱西梅，其中有4箱测定为一等品.（Ⅰ）现从这10箱中任取3箱，求恰好有1箱是一等品的概率；（Ⅱ）以这10箱的检测结果来估计这一批西梅的情况，若从这一批西梅中随机抽取3箱，记表示抽到一等品的箱数，求的分布列和期望.19.（12分）如图，在四棱柱中，底面ABCD和侧面均为矩形，，，，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值.20.（12分）已知数列满足，.（Ⅰ）判断数列是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；（Ⅱ）若数列的前10项和为361，记，数列的前n项和为，求证：.21.（12分）已知双曲线与直线l：有唯一的公共点M.（Ⅰ）若点在直线l上，求直线l的方程；（Ⅱ）过点M且与直线l垂直的直线分别交x轴于，y轴于两点.是否存在定点G，H，使得M在双曲线上运动时，动点使得为定值.22.（12分）已知函数.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若两个不相等的正实数a，b满足，求证：；（Ⅲ）若，求证：.2024届广州高三阶段训练预试评会议标准制定2023.08.16一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1-5：ABACB6-8：DCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.BC10.BCD11.ABD12.BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.14.15.16.第15题别解：是的一个对称中心，，所以，，令，因为，所以，根据正弦曲线特征，当且仅当时，满足有且仅有4个零点，解得，所以，所以.17.解：（1）解法一：在中，D为BC中点，设，∴中，……1分中，……2分相加得到，而，，，∴得.……（5分）解法二：∵D是BC中点，∴……1分∴……2分即，得……3分又，∴……4分∴，即.解法三：由于，取DC中点E，连结AE，则……1分设，，则，，，……2分∴，，即，……3分解得，……4分所以……5分（2）解法一：在中，面积，面积，……6分而D为BC中点，则……7分∴……8分∴，则.……（10分）解法二：∵D是BC中点，∴，在中，，在中，……6分因为，所以……7分两式相除得……8分所以，解得……10分解法三：由于D是BC中点，延长AD至F，使得，连CF，BF……6分则四边形ABFC为平行四边形，所以，.……7分在中，……8分即，所以……10分18.【解析】（1）设抽取的3箱西梅恰有1箱是一等品为事件，……1分则；……3分因此从这10箱中任取3箱，恰好有1箱是一等品的概率为.……（4分）（2）解法一：由题意可知，从这10箱中随机抽取1箱恰好是一等品的概率，……5分由题可知的所有可能取值为0，1，2，3，则……6分，，，，所以的分布列为0123P……（10分）.……（12分）解法二：，，，，.19.（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD和四边形均为矩形，∴，……1分又∴，∴平面……2分∵平面，∴……3分∵，∴……（4分）（Ⅱ）解法一：设，∵，∴……5分∴，∴，∴，∴，……（6分）过C点作CM垂直交于点M，由（1）可知平面，∵平面，∴，∵，，∴平面，设与平面所成的角为，又，∴……9分∵平面，∴到平面的距离等于3……（10分）在平行四边形中，，∴，∴……11分∴，∴与平面所成角的正弦值.……（12分）解法二：由（1）证：，易知为等腰三角形.由（1）知：平面平面平面，过点作于H，则H为BC的中点，且平面ABCD，，又平面平面ABCD，所以到平面ABCD的距离等于到平面ABCD的距离，在四面体中利用等积法，求点A到平面的距离……11分由于四边形ABCD是矩形，以点B为原点，方向，方向分别为x轴，y轴，过点B垂直于平面ABCD的方向为z轴，如图所示.由（1）证：，易知为等腰三角形，取BC中点为H，连，，由（1）知：平面平面平面平面ABCD所以，，，，又……9分平面的法向量（过程略）……10分……11分20.【解析】（Ⅰ）数列成等比数列.……（1分）根据，得；……（3分）∵，∴，，即数列成等比数列.……（4分）（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得，∴，……（5分）故，由，得.……（7分）显然，单调递增，且，故，，.……（9分）∴，，……（10分）当时，……11分∴.综上，知.……（12分）解法二：……11分当时，，当时，.21.【解析】（1）联立，则……1分又∵点在直线l：上，所以，……2分∵时，∴，则：.……3分所以：，即，则.当时，；……（4分）所以：直线l的方程：……（5分）（Ⅱ）联立，则，因为，M是双曲线与直线的唯一公共点，所以，化简得，解得点M的坐标为，即为……（7分）于是，过点M且与l垂直的直线为，可得，，，……（9分）即，，于是……（10分）即P的轨迹方程为……（11分）所以存在定点，，使得当点M运动时，为定值13…（12分）因为切线斜率存在，所以设切点坐标为，切线可以写为，即，其中，由（1）得，即……6分又，所以，，代入整理得，所以过点M，垂直于切线的直线方程为……8分令得；令得……9分，，，代入得……11分22.【解析】（Ⅰ）函数的定义域是.……（1分）由，得在上单调递减；……（2分）由，得在上单调递增，综上知，的单调递减区间是，单调递增区间是.……（3分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得在的值域为，在上的值域为.注意到，.不妨设，则欲证，即证.由于，由（Ⅰ）得在上单调递增，故只需证，由已知，即证：，也即.……（4分）【方法一】令，.【方法二】（重新同构）……（5分）【方法三】（比值代换）由对称性，不妨设，，【方法四】（切、割线放缩）1、由于，故，即；……4分2、由方法二知，，故，即，故，；由1、2知，故成立，原命题成立.【方法一】令，.，.由，在单调递增