投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量

国民经济各个部门之间存在着相互依存和制约关系，每个部门将其它部门产品或半成品经过加工（投入）变为自己产品（产出）.依据各部门间投入和产出平衡关系，确定各部门产出水平以满足社会需求.20世纪30年代由美国经济学家列昂节夫提出和研究.从静态扩展到动态，与数量经济分析方法日益融合，应用领域不停扩大.6.1投入产出模型背景建立静态投入产出数学模型，讨论详细应用.投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第1页投入产出表

国民经济各部门间生产和消耗、投入和产出数量关系产出投入农业工业建筑业运输邮电批零餐饮其它服务外部需求总产出农业464788229131271312842918工业499860514444035571223408316814建筑业593202312426912875运输邮电62527128163671464771570批零餐饮79749140431302739272341其它服务146128527222521954227255414初始投入1663485165970312183093总投入2918168142875157023415414中国年投入产出表（产值单位：亿元）投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第2页直接消耗系数表

产出投入农业工业建筑业运输邮电批零餐饮其它服务农业0.1590.0470.0800.0080.0540.002工业0.1710.5120.5020.2570.2380.226建筑业0.0020.0010.0010.0130.0100.023运输邮电0.0210.0310.0450.1040.0290.027批零餐饮0.0270.0450.0490.0270.0560.050其它服务0.0500.0760.0950.1430.0940.100一个部门单位产出对各个部门直接消耗中国年直接消耗系数表

由投入产出表直接得到农业每1亿元产出直接消耗0.159亿元农业产品

直接消耗0.171亿元工业产品反应国民经济各个部门之间投入产出关系投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第3页投入产出数学模型

xi~第i部门总产出di~对第i部门外部需求xij~第i部门对第j部门投入aij~直接消耗系数——第j部门单位产出对第i部门直接消耗xij~第j部门总产出对第i部门直接消耗每个部门总产出等于总投入xj~第j部门总投入设共有n个部门投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第4页技术水平没有显著提升模型应用

假设直接消耗系数不变问题1假如某年对农业、工业、建筑业、运输邮电、批零餐饮和其它服务外部需求分别为1500,4200,3000,500,950,3000亿元,问这6个部门总产出分别应为多少？d=(1500,4200,3000,500,950,3000)T

A由直接消耗系数表给出6个部门总产出x=(3277,17872,3210,1672,2478,5888)（亿元）.求解投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第5页模型应用

总产出对外部需求线性Δd~d增加1个单位

x增量若农业外部需求增加1单位Δx为

第1列

6个部门总产出分别增加1.2266，0.5624，0.0075，0.0549，0.0709，0.1325单位.问题2假如6个部门外部需求分别增加1个单位,问它们总产出应分别增加多少？求解其余外部需求增加1单位Δx为

其余各列

投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第6页6.2CT技术图像重建CT(计算机断层成像)技术是20世纪50至70年代由美国科学家科马克和英国科学家豪斯费尔德创造.1971年第一代供临床应用CT设备问世.螺旋式CT机等新型设备被医疗机构普遍采取.CT技术在工业无损探测、资源勘探、生态监测等领域也得到了广泛应用.背景什么是CT，它与传统X射线成像有什么区分？投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第7页光源人眼光源人眼一个半透明物体嵌入5个不一样透明度球概念图示单方向观察无法确定球数目和透明度让物体旋转从多角度观察能分辨出5个球及各自透明度人体内脏胶片传统X射线成像原理CT技术原理探测器X射线X光管人体内脏CT技术:在不一样深度断面上,从各个角度用探测器接收旋转X光管发出、穿过人体而使强度衰减射线;经过测量和计算将人体器官和组织影像重新构建.图像重建

投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第8页X射线强度衰减与图像重建数学原理

射线强度衰减率与强度成正比.I~射线强度l~物质在射线方向厚度μ~物质对射线衰减系数I0~入射强度

射线沿直线L穿行,穿过由不一样衰减系数物质组成非均匀物体(人体器官).I0L0yxμ(x,y)投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第9页X射线强度衰减与图像重建数学原理

右端数值可从CT测量数据得到多条直线L线积分被积函数μ(x,y)FQ(q)~与Q相距q直线L线积分Pf(L)对全部q平均值

拉东变换拉东逆变换图像重建反应人体器官大小、形状、密度图像数学原理实际上只能在有限条直线上得到投影(线积分).图像重建在数学方法上进展，为CT技术在各个领域成功和不停拓广应用提供了必要条件.投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第10页图像重建代数模型

Δlj每个像素对射线衰减系数是常数m个像素(j=1,…,m),n束射线(i=1,…,n)~Li强度测量数据μj~像素j衰减系数

Δlj~射线在像素j中穿行长度

J(Li)~射线Li穿过像素j集合

像素j

射线Li投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第11页σjLiσlij图像重建代数模型

惯用算法设像素边长和射线宽度均为σ中心线法aij~射线Li中心线在像素j内长度lij与σ之比.面积法aij~射线Li中心线在像素j内面积sij与σ之比.sij中心法aij=1~射线Li经过像素j中心点.投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第12页图像重建代数模型

中心法简化形式假定射线宽度为零,间距σaij=1~Li经过像素j内任一点987654321L4L8L7L6L5L3L2L1σ依据A和b,由确定像素衰减系数向量x

m和n很大且m>n,方程有没有穷多解+测量误差和噪声在x和e满足最优准则下预计x

代数重建技术(ART)投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第13页6.3原子弹爆炸能量预计1945年7月16日美国科学家在新墨西哥州阿拉莫戈多沙漠试爆了全球第一颗原子弹,震惊世界!当初资料是保密,无法准确预计爆炸威力.英国物理学家泰勒研究了两年后美国公开录像带,利用数学模型预计这次爆炸释放能量为19.2千吨.以后公布爆炸实际释放能量21千吨投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第14页t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)0.1011.10.8034.21.5044.43.5361.115.0106.50.2419.90.9436.31.6546.03.8062.925.0130.00.3825.41.0838.91.7946.94.0764.334.0145.00.5228.81.2241.01.9348.74.3465.653.0175.00.6631.91.3642.83.2659.04.6167.362.0185.0泰勒测量：时刻t

所对应“蘑菇云”半径r原子弹爆炸能量预计爆炸产生冲击波以爆炸点为中心呈球面向四面传输,爆炸能量越大，在一定时刻冲击波传输得越远.冲击波由爆炸形成“蘑菇云”反应出来.泰勒用量纲分析方法建立数学模型,辅以小型试验,又利用测量数据对爆炸能量进行预计.投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第15页物理量量纲长度l量纲记L=[l]质量m量纲记M=[m]时间t量纲记T=[t]动力学中基本量纲

L,M,T速度v量纲[v]=LT-1导出量纲加速度a量纲[a]=LT-2力f量纲[f]=LMT-2引力常数k量纲[k]对无量纲量

，[

]=1(=L0M0T0)量纲齐次标准=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2在经验和试验基础上利用物理定律量纲齐次标准,确定各物理量之间关系.投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第16页量纲齐次标准等式两端量纲一致量纲分析~利用量纲齐次标准寻求物理量之间关系.例：单摆运动lmgm求摆动周期t表示式设物理量t,m,l,g之间相关系式

1,

2,

3为待定系数，

为无量纲量(1)量纲表示式与对比投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第17页对x,y,z两组量测值x1,y1,z1

和x2,y2,z2,

p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)为何假设这种形式?设p=f(x,y,z)x,y,z量纲单位缩小a,b,c倍p=f(x,y,z)形式为量纲齐次标准单摆运动投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第18页单摆运动中t,m,l,g普通表示式y1~y4为待定常数,

为无量纲量基本解投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第19页设f(q1,q2,,qm)=0

ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(

1,

2,…,

m-r)=0与

f(q1,q2,,qm)=0等价,F未定.Pi定理(Buckingham)是与量纲单位无关物理定律，X1,X2,

Xn

是基本量纲,n

m,q1,q2,

qm

量纲可表为量纲矩阵记作线性齐次方程组有m-r个基本解，记作为m-r个相互独立无量纲量,且则投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第20页记爆炸能量为E，将“蘑菇云”近似看成一个球形.时刻t球半径为rt,E空气密度ρ,大气压强P基本量纲：L,M,T

原子弹爆炸能量预计量纲分析方法建模

r与哪些原因相关？

rt

E

ρ

P

LMT量纲矩阵

投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第21页y=(1,-2/5,-1/5,1/5,0)

y=(0,6/5,-2/5,-3/5,1)T原子弹爆炸能量预计量纲分析方法建模

有2个基本解两个无量纲量投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第22页原子弹爆炸能量预计数值计算时间t非常短能量E非常大泰勒依据一些小型爆炸试验数据提议用r,t

实际数据做平均空气密度

=1.25(kg/m3)1千吨(TNT能量)=4.184*1012焦尔

E=19.7957(千吨)E=8.2825×1013(焦耳)实际值21千吨投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第23页泰勒计算tr最小二乘法拟合r=atbE=8.0276×1013

(焦耳)即19.2千吨取y平均值得c=6.9038模型检验b=0.4058~2/5投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第24页量纲分析法评注物理量选取基本量纲选取基本解结构结果不足

(…)=0中包含哪些物理量是至关主要.基本量纲个数n;选哪些基本量纲.有目标地结构Ay=0基本解.方法普适性函数F和无量纲量未定.不需要特定专业知识.投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第25页物理模拟示例：波浪对航船阻力航船阻力f航船速度v,船体尺寸l,浸没面积s,海水密度

,重力加速度g.量纲分析在物理模拟中应用物理模拟:按照一定百分比尺寸结构它物理模型,经过对模型研究得出原型结果.量纲分析能够指导物理模拟中百分比尺寸确实定.投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第26页物理模拟示例：波浪对航船阻力π定理原型船模型船模型船均已知当原型船给定后计算f物理模拟投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第27页物理模拟示例：波浪对航船阻力原型船模型船模拟条件量测模型船阻力f'，可计算f.按一定尺寸百分比建造模型船,并调整船速.投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第28页无量纲化示例：火箭发射m1m2xrv0g星球表面竖直发射火箭。初速v,星球半径r,星球表面重力加速度g.研究火箭高度x随时间t改变规律.t=0时x=0,火箭质量m1,星球质量m2牛顿第二定律，万有引力定律——3个独立参数投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第29页用无量纲化方法降低独立参数个数[x]=L,[t]=T,[r]=L,[v]=LT-1,[g]=LT-2变量x,t和独立参数r,v,g量纲用参数r,v,g组合,分别结构与x,t含有相同量纲xc,tc

（特征尺度）—无量纲变量如利用新变量将被简化令投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第30页

xc,tc不一样结构1）令

为无量纲量用无量纲化方法降低独立参数个数不一样简化结果投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第31页3）令

为无量纲量2）令

为无量纲量用无量纲化方法降低独立参数个数投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第32页1)2)3)共同点只含1个参数——无量纲量

解1)2)3)主要差异考查无量纲量在1)2)3)中能否忽略以

为因子项？1)忽略

项无解不能忽略

项无量纲化方法投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第33页2)3)忽略

项不能忽略

项忽略

项1)2)3)主要差异无量纲化方法投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第34页火箭发射过程中引力m1g不变即x+rr原问题能够忽略

项是原问题近似解1)2)3)主要差异无量纲化方法投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第35页为何3)能忽略

项，得到原问题近似解，而1)2)不能?1）令2）令3）令火箭抵达最高点时间为v/g,高度为v2/2g,大致上含有单位尺度项能够忽略项不能忽略无量纲化方法投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第36页选择特征尺度普通讨论见：林家翘著《自然科学中确定性问题应用数学》无量纲化

无量纲化是研究物理问题惯用数学方法.选择特征尺度主要依赖于物理知识和经验.恰当地选择特征尺度能够降低独立参数个数，还能够辅助确定舍弃哪些次要原因.投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第37页6.4市场经济中蛛网模型问题供大于求现象商品数量与价格振荡在什么条件下趋向稳定?当不稳定时政府能采取什么干预伎俩使之稳定?价格下降降低产量增加产量价格上涨供不应求描述商品数量与价格改变规律.商品数量与价格在振荡投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第38页蛛网模型gx0y0P0fxy0xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格.消费者需求关系生产者供给关系减函数增函数需求函数f与g交点P0(x0,y0)~平衡点一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0

供给函数投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第39页xy0fgy0x0P0设x1偏离x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点xy0y0x0P0fg

曲线斜率蛛网模型

投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第40页在P0点附近用直线近似曲线P0稳定P0不稳定方程模型方程模型与蛛网模型一致投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第41页

~商品数量降低1单位,价格上涨幅度

~价格上涨1单位,(下时段)供给增量考查,含义

~消费者对需求敏感程度

~生产者对价格敏感程度

小,有利于经济稳定

小,有利于经济稳定结果解释xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格.经济稳定结果解释投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第42页经济不稳定时政府干预方法1.使

尽可能小，如

=0

以行政伎俩控制价格不变2.使

尽可能小，如

=0靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0x0gf结果解释需求曲线变为水平供给曲线变为竖直投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第43页模型推广生产者依据当前时段和前一时段价格决定下一时段产量.生产者管理水平提升设供给函数为需求函数不变二阶线性常系数差分方程x0为平衡点研究平衡点稳定，即k

,xk

x0条件投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第44页方程通解(c1,c2由初始条件确定)

1,2~特征根，即方程根平衡点稳定，即k

,xk

x0条件:平衡点稳定条件比原来条件放宽了!模型推广投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第45页6.5减肥计划——节食与运动背景多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持.经过控制饮食和适当运动，在不伤害身体前提下，到达减轻体重并维持下去目标.分析体重改变由体内能量守恒破坏引发.饮食（吸收热量）引发体重增加.代谢和运动（消耗热量）引发体重降低.体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.5<BMI<25~正常；BMI>25~超重;BMI>30~肥胖.投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第46页模型假设1）体重增加正比于吸收热量——每8000千卡增加体重1千克；2）代谢引发体重降低正比于体重——每七天每千克体重消耗200千卡~320千卡(因人而异),相当于70千克人天天消耗千卡~3200千卡；3）运动引发体重降低正比于体重，且与运动形式相关；4）为了安全与健康，每七天体重降低不宜超出1.5千克,每七天吸收热量不要小于10000千卡.投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第47页某甲体重100千克，当前每七天吸收0千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克.第一阶段：每七天减肥1千克，每七天吸收热量逐步降低,直至到达下限（10000千卡）；第二阶段：每七天吸收热量保持下限，减肥到达目标.2）若要加紧进程，第二阶段增加运动，试安排计划.1）在不运动情况下安排一个两阶段计划.减肥计划3）给出到达目标后维持体重方案.投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第48页确定某甲代谢消耗系数即每七天每千克体重消耗0/100=200千卡基本模型w(k)~第k周(末)体重c(k)~第k周吸收热量~代谢消耗系数(因人而异)1）不运动情况两阶段减肥计划每七天吸收0千卡w=100千克不变

=1/8000(千克/千卡)投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第49页第一阶段:w(k)每七天减1千克,c(k)减至下限10000千卡第一阶段10周,每七天减1千克，第10周末体重90千克吸收热量为1）不运动情况两阶段减肥计划投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第50页第二阶段：每七天c(k)保持Cm,w(k)减至75千克1）不运动情况两阶段减肥计划基本模型投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第51页第二阶段：每七天c(k)保持Cm,w(k)减至75千克第二阶段19周,每七天吸收热量保持10000千卡,体重按降低至75千克.投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第52页运动

t=24(每七天跳舞8小时或自行车10小时),14周即可.2）第二阶段增加运动减肥计划依据资料每小时每千克体重消耗热量

(千卡):跑步跳舞乒乓自行车(中速)游泳(50米/分)7.03.04.42.57.9t~每七天运动时间(小时)模型)()1()()1(kwkckwkwba¢-++=+tagbb+=¢取t=0.003,

即t=24

=1/8000(千克/千卡),

=0.02514=n投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第53页增加运动相当于提升代谢消耗系数

2）第二阶段增加运动减肥计划提升12%减肥所需时间从19周降至14周降低25%这个模型结果对代谢消耗系数

很敏感.应用该模型时要仔细确定代谢消耗系数

(对不一样人;对同一人在不一样环境).投入产出模型CT技术的图像重建原子弹爆炸的能量第54页3）到达目标体重75千克后维持不变方案每七天吸收热量c(k)保持某常数C，使体重w不变不运动运动(内容同前)投入产出模型CT技术的图像