平行线中拐点问题-七年级上册数学易错题

易错02平行线中拐点问题易错【例题分析】1．（2020·浙江金华市·七年级期中）如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．（1）按小明的思路，求∠APC的度数；（问题迁移）（2）如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；（问题应用）：（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．【解析】（1）过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠CPE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．（2）∠APC=∠α+∠β，理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；（3）如图所示，当P在BD延长线上时，∠CPA=∠α-∠β；如图所示，当P在DB延长线上时，∠CPA=∠β-∠α【小结】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．【巩固提升】1．（2021·全国九年级专题练习）如图，将一块带有60°角的直角三角板放置在一组平行线上，若∠1=35°，则∠2的度数应该是（

）A．60° B．35° C．30°

D．25°【解析】D【小结】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．2．（2021·河南新乡市·七年级期末）如图，已知直线，，，则等于（）A．110° B．100° C．130° D．120°【解析】A【小结】本题考查平行线的性质，是重要考点，作平行辅助线、掌握相关知识是解题关键．3．（2020·四川攀枝花市·七年级期末）如图，某地域的江水经过B、C、D三点处拐弯后，水流的方向与原来相同，若∠ABC＝125°，∠BCD＝75°，则∠CDE的度数为（）A．20° B．25° C．35° D．50°【解析】A【小结】本题考查的知识点是平行线的性质，关键是过C点先作AB的平行线，由平行线的性质求解．4．（2020·重庆市万州第二高级中学期中）如图，直线为直角，则等于（）A． B． C． D．【解析】B【小结】本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．5．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学七年级期末）如图，，，，则（）A． B． C． D．【解析】D【小结】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．6．（2020·湖北随州市·七年级期末）如图，直线a∥b∥c，直角∠BAC的顶点A在直线b上，两边分别与直线a，c相交于点B，C，则∠1＋∠2的度数是___________．【解析】270°【小结】本题主要考查的是平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．7．（2021·福建泉州市·七年级期末）如图，直线∥，△的顶点和分别落在直线和上，若∠1＝60°，且∠1＋∠2＝90°，则的度数是______°．【解析】30【小结】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解决问题的关键．8．（2020·山东青岛市·七年级期中）如图，已知AB∥DE，∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为__°．【解析】46【小结】本题主要考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得到角之间的等量关系．9．（2020·郑州外国语中学九年级月考）如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为_____．【解析】48°【小结】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等这一性质．10．（2021·全国九年级）如图，AEFC是折线，AB//CD，那么∠1，∠2，∠3，∠4的大小所满足的关系式为_______________；【解析】或【小结】此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等与两直线平行，同旁内角互补定理的应用与辅助线的作法．11．（2020·上海静安区·七年级期中）（1）如图所示，，且点在射线与之间，请说明的理由．（2）现在如图所示，仍有，但点在与的上方，①请尝试探索，，三者的数量关系．②请说明理由．【解析】（1）过点E作EF∥AB，∴∠A=∠AEF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FEC=∠C，∵∠AEC=∠AEF+∠FEC，∴∠AEC=∠A+∠C；（2）①∠1+∠2-∠E=180°，②过点E作EF∥AB，∴∠AEF+∠1=180°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FEC=∠2，即∠CEA+∠AEF=∠2，∴∠AEF=∠2-∠CEA，∴∠2-∠CEA+∠1=180°，即∠1+∠2-∠AEC=180°．【小结】本题考查了平行线的性质，作辅助线并熟记性质是解题的关键．12．（2018·上海七年级零模）已知：AB∥DE．（1）如图1，点C是夹在AB和DE之间的一点，当AC⊥CD时，垂足为点C，你知道∠A+∠D是多少吗？这一题的解决方法有很多，例如（i）过点C作AB的平行线；（ii）过点C作DE的平行线；（iii）联结AD；（iv）延长AC、DE相交于一点．请你选择一种方法（可以不选上述四种），并说明理由．（2）如图2，点C1、C2是夹在AB和DE之间的两点，请想一想：∠A+∠C1+∠C2++∠D=度，并说明理由．（3）如图3，随着AB与CD之间点增加，那么∠A+∠C1+∠C2++…+∠Cn+1+∠D=度．（不必说明理由）【解析】（1）如图1，过点作的平行线，∵，∴，∴，，∴，又∵，∴．（2）如图2，过作，过作，则∵，∴，∴，，，∴，故答案为：540；（3）如图3，由（1）（2）可得：，故答案为：．【小结】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．13．（2020·浙江金华市·七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．（1）如图（2）所示，已知，请问，，有何关系并说明理由；（2）如图（3）所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由；（3）如图（4）所示，已知，请问与有何关系并说明理由．【解析】（1），理由如下：如图所示，过点E作直线a，使得，则，，（两直线平行，内错角相等），∴，即：；（2），理由如下：如图所示，过点E作直线b，使得，则，，（两直线平行，同旁内角互补），∴，∵，∴，即：；（3），理由如下：如图所示，过点E，F，G作直线c，d，e，使得，则，，，，（两直线平行，内错角相等），∵，，∴，∴，即：．【小结】本题考查平行线性质的运用，准确掌握平行线的性质并灵活运用是解题关键14．（2020·佛山市顺德区杏坛梁銶琚初级中学七年级月考）问题情境1：如图1，AB∥CD，P是ABCD内部一点，P在BD的右侧，探究∠B，∠P，∠D之间的关系？小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠B，∠P，∠D之间满足关系．（直接写出结论）问题情境2如图3，AB∥CD，P是AB，CD内部一点，P在BD的左侧，可得∠B，∠P，∠D之间满足关系．（直接写出结论）问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F（1）如图4，若∠E＝80°，求∠BFD的度数；（2）如图5中，∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，设∠E＝m°，用含有n，m°的代数式直接写出∠M＝．【解析】问题情境1：如图2，∠B+∠BPD+∠D＝360°，理由是：过P作PE∥AB，∵AB∥CD，PE∥AB，∴AB∥PE∥CD，∴∠B+∠BPE＝180°，∠D+∠DPE＝180°，∴∠B+∠BPE+∠D+∠DPE＝360°，即∠B+∠BPD+∠D＝360°，故答案为∠B+∠P+∠D＝360°；问题情境2如图3，∠P＝∠B+∠D，理由是：过点P作EP∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EP，∴∠B＝∠BPE，∠D＝∠DPE，∴∠BPD＝∠B+∠D，即∠P＝∠B+∠D；故答案为∠P＝∠B+∠D；问题迁移：（1）如图4，∵BF、DF分别是∠ABE和∠CDE的平分线，∴∠EBF＝∠ABE，∠EDF＝∠CDE，由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∵∠E＝80°，∴∠ABE+∠CDE＝280°，∴∠EBF+∠EDF＝140°，∴∠BFD＝360°﹣80°﹣140°＝140°；（2）如图5，∠E+∠M＝60°，理由是：∵设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∴6x+6y+∠E＝360°，∠E＝60﹣x﹣y，∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，∴∠M＝x+y，∴∠E+∠M＝60°；（3）如图5，∵设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝（n﹣1）x，∠EBF＝nx，∠FDM＝（n﹣1）y，∠EDF＝ny，由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∴2nx+2ny+∠E＝360°，∴x+y＝，∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴2nx+2ny+∠E＝∠M+（2n﹣1）x+（2n﹣1）y+∠E，∴∠M＝；【小结】本题主要考查了平行线的性质和角平分线、n等分线及四边形的内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用。15．（2020·宁夏石嘴山市·七年级期末）已知，点E、F分别在、上，点G为平面内一点，连接、．（1）如图，当点G在、之间时，请直接写出、与之间的数量关系__________．（2）如图，当点G在上方时，且，求证：；（3）如图，在（2）的条件下