0611高一数学（人教A版）平面与平面垂直的概念及判定-1教案

教案教学基本信息课题平面与平面垂直的概念及判定学科数学学段：高一年级高一教材书名：普通高中教科书数学必修第二册出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月姓名单位设计者实施者指导者课件制作者其他参与者教学目标及教学重点、难点本节课在类比直线与直线垂直、直线与平面垂直定义的基础上学习“二面角”、“二面角的平面角”、“直二面角”的定义，进而理解平面与平面垂直的概念，掌握平面与平面垂直的判定定理及其简单应用.教学过程中重点关注学生直观想象、逻辑推理能力的发展.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入前面我们已经学习了直线与平面垂直的判定及性质，下面我们来研究平面与平面的垂直.像研究直线与平面垂直一样，我们首先应给出平面与平面垂直的定义.那么，该如何定义呢？我们不妨来回顾一下直线与平面、直线与直线垂直的定义过程.1.在定义直线与平面垂直时，我们利用了直线与直线垂直.所以，直线与直线垂直是研究直线、平面垂直问题的基础；2.在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线垂直这种特殊情况.类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直.从学生的“最近发展区”出发，利用已经学习过的直线与平面垂直、直线与直线垂直的相关知识与研究思路，类比地研究平面与平面的垂直.新课一、二面角的概念如图，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.棱为，面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便，也可以在内（棱以外的半平面部分）分别取点，将二面角记作二面角.如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或二面角.二、二面角的平面角的概念【思考】如图，在日常生活中，我们常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些？受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？如图，在二面角的棱上任取一点,以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.由定义可知，二面角的平面角的范围是：.三、平面与平面垂直的定义【观察】房间中相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？它们的平面角的度数是多少？房间中的墙面所在平面与地面所在平面相交，它们所成的二面角是直二面角，因此我们常说墙面直立于地面上.一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与平面垂直，记作.画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.在明确了两个平面互相垂直的定义的基础上，我们研究两个平面垂直的判定和性质.先研究平面与平面垂直的判定.四、平面与平面垂直的判定【观察】如图，建筑工人在砌墙时，常用铅垂线来检测所砌的墙面与地面是否垂直.如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他认为墙面不垂直于地面.这种方法说明了什么道理？这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直.类似地，在长方体中，平面经过平面的一条垂线,此时，平面垂直于平面.一般地，我们有下面判定两个平面互相垂直的定理：定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.用符号语言表示如下：已知平面，直线.若，则.用图形表示为如下图这个定理说明，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直.直接给出二面角的概念和表示方法，其中“半平面”的概念学生可能会比较陌生：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.可以提前将此概念给学生，另外可以用实物（一本书即可）帮助学生理解,同时还要引导学生体会二面角是一个图象而并非角.从生活经验出发让学生体会二面角之间是有差异的，应该用角度来刻画它们之间的差异，但二面角是“图形”，需要另外定义角——二面角的平面角来刻画.给出二面角的平面角之后，要让学生体会的大小与点在上的位置无关，因为我们有如下定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，此处易证是相等的情况.在定义平面与平面垂直之前，先让学生观察身边存在的面面垂直，便于学生理解和接受.先让学生从实际生活中感知平面与平面垂直的判定方法，再通过观察立方体中的面面垂直来验证，为后面定理的理解做好了铺垫.定理内容实际上就是将面面垂直问题转化为线面垂直问题，引导学生体会“降维”思想的应用例题例题如图所示，在正方体中，求证：平面平面.例题是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任意一点.求证：平面平面.例题如图所示，在正方体中，求证：平面平面.例题如图所示，四边形ABCD为菱形，PC⊥平面ABCD，E为PA的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD．例题如图所示，在四面体S-ABC中，已知∠BSC=90°，∠BSA=∠CSA=60°，且SA=SB=SC．求证：平面ABC⊥平面SBC．课堂练习如图，在三棱锥V-ABC中，已知∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°，判断平面VAB与平面VBC的位置关系，并说明理由．课堂练习如图，在三棱锥V-ABC中，已知∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°，判断平面VAB与平面VBC的位置关系．课堂练习如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VB=AB=AC=BC=2，VC=1，作出二面角V-AB-C的平面角，并求出它的余弦值．课堂练习如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果垂直，请证明，如果不垂直，请说明理由．课堂练习如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=CA=2BD，M为EA的中点．求证：（1）DE=DA；（2）平面BDM⊥平面ECA．进一步巩固平面与平面垂直的判定，同时也可以巩固直线与平面垂直的判定，在证明过程中进一步培养学生的逻辑推理能力.巩固所学知识以及例题中提到的方法.总结本节课我们类比研究直线与直线垂直的方法，首先给出了二面角、二面角的平面角的定义，进而定义了平面与平面垂直，给出了判定平面与平面垂直的定理，将平面与平面的垂直问题转化为直线与平面的垂直.回顾本节课的研究过程，进一步巩固本节课所学.作业1．如图，检查工件的相邻两个（平）面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边和这个面是否密合就可以了．这是为什么？2．已知直线与平面，能使得充分条件是（）（A）