第二章　§3　第2课时　函数的最值-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册课件(共31张PPT)

第2课时函数的最值激趣诱思知识点拨某超市销售一种饮料,每瓶进价为9元,经市场调查表明,当售价在10元到14元之间(包含10元,14元)浮动时,每瓶饮料售价每增加0.5元,日均销售量减少40瓶;当售价为每瓶12元时,日均销售量为400瓶.那么当销售价格定为每瓶多少元时,所得日均毛利润最大?最大日均毛利润是多少元?同学们,你能帮助超市完成定价吗?激趣诱思知识点拨函数的最值1.定义

f(x)≤Mf(x)≥M最高

最低

激趣诱思知识点拨微思考若函数y=f(x)是定义在区间[a,b]上的增(或减)函数,这个函数有最值吗?如果是区间(a,b)呢?提示:若y=f(x)是定义在区间[a,b]上是增函数,则其最小值为f(a),最大值为f(b);若为减函数,最大值为f(a),最小值为f(b).若为区间(a,b),则没有最值,但可以说值域为(f(a),f(b))(或f(b),f(a)).激趣诱思知识点拨2.函数的最大值和最小值统称为最值.名师点析函数的最值和值域的联系与区别1.联系:函数的最值和值域反映的都是函数的基本性质,针对的是整个定义域.2.区别:(1)函数的值域一定存在,而函数的最大(小)值不一定存在;(2)若函数的最值存在,则最值一定是值域中的元素;(3)若函数的值域是开区间(两端点都取不到),则函数无最值;若函数的值域是闭区间,则闭区间的端点值就是函数的最值.激趣诱思知识点拨微练习已知函数f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则该函数的最小值、最大值分别是(

)A.f(-2),0

B.0,2C.f(-2),2 D.f(2),2答案:C

解析:由题图可知,该函数的最小值为f(-2),最大值为f(1)=2.探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用函数的图象求最值例1已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.分析去绝对值→分段函数→作图→识图→结论由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域为(-∞,2].探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

探究一探究二探究三素养形成当堂检测(1)画出f(x)的图象;(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值.解:(1)函数f(x)的图象如图所示.(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用函数的单调性求最值

(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.分析(1)证明单调性的流程:取值→作差→变形→判断符号→结论;(2)借助最值与单调性的关系,写出最值.探究一探究二探究三素养形成当堂检测∵x1<x2,∴x1-x2<0.当1≤x1<x2≤2时,x1x2>0,1<x1x2<4,即x1x2-4<0.∴f(x1)>f(x2),即f(x)在区间[1,2]上单调递减.(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2),f(2)=2+=4;f(x)的最大值为f(1),f(1)=1+4=5,∴f(x)的最小值为4,最大值为5.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟函数的最值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(或单调递减),则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(或单调递减),在区间(b,c]上单调递减(或单调递增),则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.(3)若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的线,则函数f(x)在区间[a,b]上一定有最值.(4)求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值.探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究本例已知条件不变,判断f(x)在区间[1,3]上的单调性,并求f(x)在区间[1,3]上的最值.解:任取x1,x2∈[1,3],且x1<x2,由本例知,f(x)在区间[1,2]上单调递减;当2<x1<x2≤3时,x1x2>0,4<x1x2<9,即x1x2-4>0,∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在区间(2,3]上单调递增.探究一探究二探究三素养形成当堂检测与最值有关的应用问题例3某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金为3600元时,能租出多少辆?(2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?分析读题→提取信息→建模→解模→解决实际问题探究一探究二探究三素养形成当堂检测所以当x=4

050,即每辆车的租金为4

050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是307

050元.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟1.本题建立的是二次函数模型,应利用配方法求函数的最值.2.解函数应用题的一般程序是:(1)审题.弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系.(2)建模.将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型.(3)求模.求解数学模型,得到数学结论.(4)还原.将用数学方法得到的还原为实际问题的结论.(5)反思回顾.对于数学模型得到的数学解,必须验证这个数学解对实际问题的合理性.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函(1)将利润表示为月产量的函数f(x);(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)探究一探究二探究三素养形成当堂检测当x>400时,f(x)=60

000-100x单调递减,f(x)<60

000-100×400<25

000.∴当x=300时,f(x)max=25

000.即每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25

000元.探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用数形结合思想与分类讨论思想求二次函数的最值典例求函数y=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最值.【审题视角】可变对称轴x=a→与定区间[0,2]的

相对位置关系→结合单调性与图象求解解:y=(x-a)2-1-a2.当a<0时,函数在[0,2]上单调递增,如图①.故函数在x=0处取得最小值-1,在x=2处取得最大值3-4a.当0≤a≤1时,结合函数图象(如图②)知,函数在x=a处取得最小值-a2-1,在x=2处取得最大值3-4a.探究一探究二探究三素养形成当堂检测当1<a≤2时,结合图象(如图③)知,函数在x=a处取得最小值-a2-1,在x=0处取得最大值-1.当a>2时,函数在区间[0,2]上单调递减,如图④.函数在x=0处取得最大值-1,在x=2处取得最小值3-4a.综上,当a<0时,函数在区间[0,2]上的最小值为-1,最大值为3-4a;当0≤a≤1时,函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1,最大值为3-4a;当1<a≤2时,函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1,最大值为-1;当a>2时,函数在区间[0,2]上的最小值为3-4a,最大值为-1.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测方法点睛1.探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=f(x)的图象,再根据函数的单调性进行研究.特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据.二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系通常有三种:(1)对称轴在所给区间的右侧;(2)对称轴在所给区间的左侧;(3)对称轴在所给区间内.探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在区间[m,n]上的最值可作如下讨论:探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练函数f(x)=x2-2x+2(其中x∈[t,t+1],t∈R)的最小值为g(t),求g(t)的表达式.解:由函数f(x)=x2-2x+2知其图象的开口向上,对称轴为x=1.下面分三种情况讨论:当t+1≤1,即t≤0时,如图①所示,此时函数f(x)在[t,t+1]上单调递减,②所示,此时,函数f(x)在[t,1]上单调递减,在(1,t+1]上单调递增,∴g(t)=f(1)=1.当t≥1时,如图③所示,此时,函数f(x)在[t,t+1]上单调递增.∴g(t)=f(t)=t2-2t+2.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:A

探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.函数y=|x+1|+2的最小值是(

)A.0 B.-1 C.2 D.3答案:C

解析:y=|x+1|+2的图象如图所示.由图可知函数的最小值为2.探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.函数y=x2-2x,x∈[0,3]的值域为(

)A.[0,3] B.[-1,0]C.[-1,+∞) D.[-1,3]答案:D

解析:∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],∴当x=1时,函数y取得最小值为-1;当x=