2022-2023学年广东省梅州市丰顺县东海中学九年级（上）期末数学试卷（含解析）

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图所示的几何体的主视图是()

A.

B.

C.

D.

2.用配方法解方程，变形后的结果正确的是()

A.B.C.D.

3.如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是()

A.B.

C.D.

4.如图所示，是的角平分线，交于，交于，则四边形为()

A.矩形

B.正方形

C.菱形

D.不是平行四边形

5.已知点是一次函数的图象和反比例函数的图象的交点，当一次函数的值大于反比例函数的值时，的取值范围是()

A.或B.

C.或D.

6.如图，在直角坐标系中，矩形的边在轴上，边在轴上，点的坐标为，将矩形沿对角线翻折，点落在点的位置，且交轴于点，那么点的坐标为()

A.

B.

C.

D.

7.有四张质地相同的卡片，它们的背面相同，其中两张的正面印有“粽子”的图标，另外两张的正面印有“龙舟”的图案，现将它们背面朝上，洗均匀后排列在桌面，任意翻开两张，那么两张图案一样的概率是()

A.B.C.D.

8.在中，随的增大而减小，，则在同一平面直角坐标系中，和的图象大致为()

A.B.

C.D.

9.在数学拓展课折叠矩形纸片上，小林折叠矩形纸片进行如下操作：把翻折，点落在边上的点处，折痕交边于点；把翻折，点落在边长的点处，折痕交边于点若，，则的值是()

A.B.C.D.

10.对角线长分别为和的菱形如图所示，点为对角线的交点，过点折叠菱形，使，两点重合，是折痕．若，则的长为()

A.

B.

C.

D.

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11.顺次连接矩形四边中点所得的四边形必定是______．

12.以下给出的几何体：球、正方体、圆柱、圆锥中，主视图是矩形，俯视图是圆形的是______．

13.如图，直线，点，分别在直线，上，且，直线交线段于点，交直线于点，是射线上一点，连接，若，，，是等腰直角三角形，则的值为______．

14.一个正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，则的值为______．

15.在元旦前夕，某通讯公司的每位员工都向本公司的其他员工发出了条祝贺元旦的短信．已知全公司共发出条短信，那么这个公司有员工______人．

16.如图，点是矩形的对角线的中点，交于点，若，，则的长为______．

17.如图，直线，，，分别为直线，，上的动点，连接，，，线段交直线于点设直线，之间的距离为，直线，之间的距离为，若，，且，则的最大值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

18.用适当的方法解下列方程：

．

．

四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.本小题分

在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有个，黄球有个，蓝球有个．现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢赢的一方得电影票游戏规则是：两人各摸次球，先由小明从纸箱里随机摸出个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你利用树状图或列表法说明理由．

20.本小题分

为观看世界杯决赛，名球迷分别乘坐两辆小汽车于某日凌晨一起赶往飞机场，其中一辆小汽车在距机场千米的地方出了故障，此时距规定到达机场的时间仅剩分钟，但唯一可以使用的交通工具只剩一辆小汽车，连司机在内限坐人这辆汽车分两批送这人去机场，平均速度千米时．

方案一：小汽车送走第一批人后，第二批人在原地等待汽车返回接送，那么所有人赶到机场共需______分钟，______能不能在规定时间内赶到机场；

方案二：小汽车送走第一批人的同时，第二批人以千米时的平均速度往机场方向步行，等途中遇到返回的汽车时再上车前行，那么所有人赶到机场共需______小时，______能不能在规定时间内赶到机场．

21.本小题分

如图，在平行四边形中，点在边上，点在的延长线上，且．

求证：∽；

若，，，求的长．

22.本小题分

如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交，其中一个交点的横坐标是．

求的值；

若将一次函数的图象向下平移个单位长度，平移后所得到的图象与反比例函数的图象相交于，两点，求此时线段的长．

23.本小题分

某商品的进价为每件元，售价为每件元，每个月可卖出件；如果每件商品的售价每上涨元，则每个月少卖件每件售价不能高于元设每件商品的售价上涨元为正整数，每个月的销售利润为元．

求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；

每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于元？

24.本小题分

【问题情境】

如图，四边形是正方形，是边上的一点，是边的中点，平分．

【探究展示】

证明：；

是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

【拓展延伸】

若四边形是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图，探究展示、中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．

25.本小题分

在图，，中，已知，，点为线段上的动点，连接，以为边向上作菱形，且．

如图，当点与点重合时，______；

如图，连接．

填空：______填“”，““，“”；

求证：点在的平分线上；

如图，连接，，并延长交的延长线于点，当四边形是平行四边形时，求的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：从正面看，是一个“田”字．

故选：．

找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．

本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．

2.【答案】

【解析】解：，

，

，

，

故选：．

根据解一元二次方程的配方法即可求出答案．

本题考查一元二次方程的解法配方法，解题的关键是掌握解一元二次方程的配方法的步骤和完全平方公式，本题属于基础题型．

3.【答案】

【解析】解：添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是，理由如下：

四边形是平行四边形，

，，

对角线上的两点、满足，

，

即，

四边形是平行四边形，

，

，

四边形是矩形．

故选：．

由平行四边形的性质可知，，，再证，则四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论．

本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．

4.【答案】

【解析】解：，，

四边形是平行四边形，，

是的角平分线，

，

，

，

平行四边形是菱形，

故选：．

先证四边形是平行四边形，，再证，则，然后由菱形的判定即可得出结论．

本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．

5.【答案】

【解析】解：点是一次函数的图象和反比例函数的图象的交点，

代入得：，，

解得：，，

即，，

解方程组得：，，

即两函数的另一个交点坐标是，

当一次函数的值大于反比例函数的值时，的取值范围是或，

故选：．

把点的坐标代入两函数的解析式，求出和，再求出两函数组成的方程组的解，再根据两函数的图象和性质得出即可．

本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数和反比例函数的图象，用待定系数法求出函数的解析式，解方程组等知识点，能求出两函数的解析式是解此题的关键．

6.【答案】

【解析】解：如图，过作于，

点的坐标为，

，，

根据折叠可知：，

而，，

≌，

，，

设，那么，，

在中，，

，

，

又，

，

∽，

而，

，

，

即，

，，

，

的坐标为

故选：．

如图，过作于，根据折叠可以证明≌，然后利用全等三角形的性质得到，，设，那么，，利用勾股定理即可求出的长度，而利用已知条件可以证明∽，而，接着利用相似三角形的性质即可求出、的长度，也就求出了的坐标．

此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．

7.【答案】

【解析】解：列树状图得：

共有种情况，两张图案一样的有种情况，所以概率是，故选A．

列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．

如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率注意本题是不放回实验．

8.【答案】

【解析】解：在中，随的增大而减小，

，

函数图象在二、四象限，

，

，

函数的图象在一、三象限，

故选：．

先根据正比例函数的性质判断出的符号，即可根据判断的符号，再根据正比例函数的性质判断即可．

本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的性质是解答此题的关键．

9.【答案】

【解析】解：四边形是矩形，

，，，

由翻折可知：，，，，

，

在中，，

，

设，在中：，

，

设，在中，，

，

，

，

故选：．

依据折叠的性质以及勾股定理可得，即可得到，设，在中：，求得，设，在中，，求得，即可得到的值．

本题考查矩形的性质，翻折变换等知识，解题时常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．

10.【答案】

【解析】解：连接、，如图，

点为菱形的对角线的交点，

，，，

在中，，

，

，

在和中，

，

≌，

，

过点折叠菱形，使，两点重合，是折痕，

，

，

，

故选：．

连接、，利用菱形的性质得，，，再利用勾股定理计算出，由证得≌得到，然后根据折叠的性质得，则，即可得出结果．

本题考查了折叠的性质、菱形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠与菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

11.【答案】菱形

【解析】解：如图，连接、，

、、、分别是矩形的、、、边上的中点，

，三角形的中位线等于第三边的一半，

矩形的对角线，

，

四边形是菱形．

故答案为：菱形．

作出图形，根据三角形的中位线定理可得，，再根据矩形的对角线相等可得，从而得到四边形的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答．

本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键．

12.【答案】圆柱

【解析】解：俯视图是圆的有球、圆柱、圆锥，

主视图是矩形的有正方体、圆柱，

故答案为：圆柱．

根据三视图的基本知识，分析各个几何体的三视图然后可解答．

本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．

13.【答案】或或

【解析】解：，，

，

为直角三角形，

在中，，，

由勾股定理得：，

，

是等腰直角三角形，

有以下三种情况：

当，时，如图：

，

又，

，

在和中，

，

≌，

，

在中，，，

由勾股定理得：，

，

整理得：，

解得：，不合题意，舍去，

当，时，

过点作于，则，如图：

同理：≌，

，

在中，，，

由勾股定理得：，

在中，，

由勾股定理得：，

，

，

，

整理得：，

解得：，不合题意，舍去，

当，时，

过点作，则，如图：

同理：≌，

，

在中，，，

由勾股定理得：，

，

整理得：，

解得：，不合题意，舍去．

综上所述：当是等腰直角三角形，则的值为或或．

先在中求出，再根据，得，然后由是等腰直角三角形，分三种情况讨论如下：

当，时，证和全等得，然后在中由勾股定理构造关于的方程，再解方程求出即可；

当，时，过点作于，则，同理可证和全等得，然后在中由勾股定理构造关于的方程，再解方程求出即可；

当，时，过点作，则，同理可证和全等得，然后在中由勾股定理构造关于的方程，再解方程求出即可，综上所述即可得的值．

此题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线间的距离，勾股定理，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与技巧，难点是根据是等腰直角三角形进行分类讨论，漏解是解答此题的易错点之一．

14.【答案】

【解析】解：两点在反比例函数的图象上，

，，且，，

，

，

，

，

故答案为：．

先根据解析式及图象上的点，则坐标满足解析式，得：，，由正比例函数的图象与反比例函数的图象的交点关于原点对称，得：，，将所求的式子化简后代入可得结论．

本题考查了反比例函数和正比例函数的交点问题，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，明确正比例函数的图象与反比例函数的图象的交点关于原点对称．

15.【答案】

【解析】解：设这个公司有员工人，则每人需发送条祝贺元旦的短信，

依题意，得：，

解得：，不合题意，舍去．

故答案为：．

设这个公司有员工人，则每人需发送条祝贺元旦的短信，根据全公司共发出条短信，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

16.【答案】

【解析】解：四边形是矩形，

，

是矩形的对角线的中点，，

是的中位线，

，

，

，

，

，

故答案为：

已知是的中位线，再结合已知条件则的长可求出，所以利用勾股定理可求出的长，由直角三角形斜边上中线的性质则的长即可求出．

本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，直角三角形斜边上中线的性质以及三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出的长．

17.【答案】

【解析】解：解：过作于，延长交于，过作于，过作于，

设，，，，

，

，，

，

，

，

∽，

，即，

，

，

∽，

，即，

，

，

，

，

，

，

当时，，

的最大值，

故答案为：．

过作于，延长交于，过作于，过作于，设，，，，得到，，根据相似三角形的性质得到，，由可得，由，由二次函数的性质可求的最大值，即可求解．

本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，二次函数的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

18.【答案】解：移项，得，

所以，

所以．

所以，．

，

．

．

或．

，．

【解析】利用直接开平方法求解比较简便；

利用因式分解法求解比较简便．

本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法、因式分解法是解决本题的关键．

19.【答案】解：此游戏不公平．

理由如下：列树状图如下，

列表如下，

由上述树状图或表格知：所有可能出现的结果共有种．

小明赢，小亮赢．

此游戏对双方不公平，小亮赢的可能性大．

说明：答题时只需用树状图或列表法进行分析即可

【解析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．

本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

20.【答案】不能能

【解析】解：所有人赶到机场共需：

，

，

，

这名球迷不能在规定时间内赶到机场；

故答案为：，不能；

设第二批人走了小时后与小汽车相遇，

根据题意得，

，

解得：，

第二批人坐上小汽车前共走了，

第二批人坐上小汽车后到机场用时，

则所有人赶到机场共需，

，

能在规定时间内赶到机场．

故答案为：，能．

小汽车送完所有人后一共行驶了千米，根据时间路程速度求出所需的时间，再与规定到达机场的时间进行比较即可解答；

设第二批人走了小时后与小汽车相遇，根据“第二批人走的路程小汽车行驶的路程”列出方程解出，再求出第二批人坐上小汽车后到机场所需时间，即可求出所有人赶到机场所需时间，再与规定到达机场的时间进行比较即可解答．

本题主要考查一元一次方程的应用，根据“路程速度时间”找到正确的等量关系是解题关键．

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，

，．

，．

又，

．

∽；

∽，

，

四边形是平行四边形，

．

．

．

．

【解析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，关键是由平行四边形的性质得出，．

由平行四边形的性质可知，所以，，又因为又，进而可证明：∽；

由可知：∽，所以，由平行四边形的性质可知，所以，代入计算即可．

22.【答案】解：将代入，

交点的坐标为，

将代入，

解得：；

将一次函数的图象向下平移个单位长度得到，

由，

解得：或，

，，

．

【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，体现了方程思想，综合性较强．

将代入，故其中交点的坐标为，将代入反比例函数表达式，即可求解；

一次函数的图象向下平移个单位得到，一次函数和反比例函数解析式联立，解方程组求得、的坐标，然后根据勾股定理即可求解．

23.【答案】解：由题意得：

且为整数；

由中的与的解析式配方得：．

，当时，有最大值．

，且为整数，

当时，，元，当时，，元

当售价定为每件或元，每个月的利润最大，最大的月利润是元．

当时，，解得：，．

当时，，当时，．

当售价定为每件或元，每个月的利润为元．

当售价不低于元且不高于元且为整数时，每个月的利润不低于元．

当售价不低于元且不高于元且为整数时，每个月的利润不低于元或当售价分别为，，，，，，，，，元时，每个月的利润不低于元．

【解析】根据题意可知与的函数关系式．

根据题意可知，当时有最大值．

设，解得的值．然后分情况讨论解．

本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，是一道综合题．

24.【答案】方法一：

解：如图过点作交于点，连接，

平分，

在和中，

，，

，

≌

，，

在中，

≌，

，；

方法二：

证明：延长、交于点，如图，

四边形是正方形，．

，

平分，

．

．

．

在和中，

≌，．

．

成立．

方法一：

证明：将绕点顺时针旋转，得到新，如图，

，．

，．

，

．

．

方法二：

证明：过点作，交的延长线于点，如图所示．

四边形是正方形，

，，．

，．

．

在和中，

≌．

，．

，．

，

．

．

．

结论仍然成立．结论不成立．

【解析】

【分析】

本题考查了正方形及矩形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义等知识，考查了基本模型的构造平行