江苏省南京市、盐城市2024届高三第一次模拟考试数学试题

江苏省南京市、盐城市2024届高三第一次模拟考试数学试题

一、单选题

1.已知全集。与集合a2的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为()

A.A^BB.NUa5C.D.3U&/

2.复数z满足(1-丁2=1+1,(i为虚数单位)，贝曲|

3.等比数列｛%｝的前〃项和为S“，已知$3=出+5%,%=4,则4=()

11।1

A.-B.——C.-D.——

4422

4.德国天文学家约翰尼斯开普勒根据丹麦天文学家第谷布拉赫等人的观测资料和星表,

通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律一一

绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长。与公转周期7有

如下关系：T=-^-a\其中M为太阳质量，G为引力常量.已知火星的公转周期

yJGM

约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的()

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

5.关于函数/(x)=/sin(0x+e)(A>0,®>0,0<?若)，有下列四个说法：

①/(x)的最大值为3

②/(x)的图像可由》=3sinx的图像平移得到

③/(x)的图像上相邻两个对称中心间的距离为］

®f(x)的图像关于直线x=f对称

若有且仅有一个说法是错误的，则/()

A.普

6.设。为坐标原点，圆及■：@一1)2+(>-2)2=4与工轴切于点人，直线x-伤+2百=0

试卷第1页，共4页

交圆河于3,C两点，其中B在第二象限，则次.前=()

AV15036「V15「3A/5

4422

7.在棱长为2ag>0)的正方体A8CD-4耳G2中，点”，N分别为棱0G的中

点.已知动点尸在该正方体的表面上，且西.丽=0，则点尸的轨迹长度为()

A.12aB.12兀QC.24。D.24兀。

8.用min{x,y}表示x,了中的最小数.已知函数/(x)=j,则min{〃x)J(x+ln2)}

的最大值为()

A.B.—C.——D.In2

e2e2

二、多选题

9.已知尤jeR,且12、=3,⑵=4，贝1K)

A.y>xB.x+y>l

C.xy<—D.<V2

10.有〃(〃eN*,"N10)个编号分别为1,2,3,〃的盒子，1号盒子中有2个

白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球.现从1号盒子任取一球放入2

号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从i号盒子取出的球

是白球”为事件43=1，2,3,〃),则()

14

A.尸(44)=§B-尸(4=w

71

c.尸(4+4)=§D.P(4)=5

11.已知抛物线£：f=4y的焦点为凡过尸的直线4交£于点/(%,必)，B(x2,y2),

E在8处的切线为4,过/作与4平行的直线4,交E于另一点。(尤3，%)，记4与V轴

的交点为。，贝U()

A.yxy2=1B.x{+x3=3x2

C.AF=DFD."BC面积的最小值为16

三、填空题

12.展开式的常数项为

试卷第2页，共4页

22

13.设双曲线C：\-4=l(a>0,6>0)的一个焦点为凡过?作一条渐近线的垂线,

ab

垂足为瓦若线段骸的中点在。上，则。的离心率为.

14.已知a,/?^［。为)且sina-sin/?=-g,cosa-cos/?=；,贝|

tani+tan/?=.

四、解答题

15.在“SC中,sin(5-4)+行sin4=sinC.

⑴求5的大小；

____JT

(2)延长8c至点使得2就=心祝.^ZCAM=-,求/A4c的大小.

16.如图，己知四棱台/BCD-44GA的上、下底面分别是边长为2和4的正方形,

平面44QQ1平面/BCD,//=2。=而，点尸是棱。A的中点，点。在棱3c

上.

(1)若BQ=30C,证明：尸。〃平面44；

(2)若二面角尸的正弦值为餐，求3。的长.

17.已知某种机器的电源电压。(单位V)服从正态分布N(220,202).其电压通常有

3种状态：①不超过200V；②在200V〜240V之间③超过240V.在上述三种状态下,

该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15,0.05,0.2.

(1)求该机器生产的零件为不合格品的概率；

⑵从该机器生产的零件中随机抽取〃(«>2)件，记其中恰有2件不合格品的概率为

P,,,求P„取得最大值时"的值.

附：若Z〜耳〃,〃)，取P(//-cr<Z<〃+cr)=0.68,P(〃-2<T<Z<〃+2CF)=0.95.

22

18.已知椭圆C：♦+方=l(a>6>0)的右焦点为尸(1,0),右顶点为/,直线/：I

试卷第3页，共4页

与x轴交于点M,且|/叫=4/刊

(1)求C的方程；

(2)3为/上的动点，过8作C的两条切线，分别交y轴于点P,Q,

①证明：直线2尸，BF,30的斜率成等差数列；

②ON经过8,P,0三点，是否存在点8,使得，NPNQ=9Q°?若存在，求忸叫；若

不存在，请说明理由.

19.已知。>0,函数〃x)=axsinx+cosox-l,0<x<：.

⑴若“=2,证明：/(x)>0;

(2)若/(x)>0,求。的取值范围；

(3)设集合P={a»\an=£cos西台u，〃eN*},对于正整数加，集合2K={x\m<x<1m},

记尸CO”,中元素的个数为超，求数列{九}的通项公式.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.A

【分析】

利用韦恩图表示的集合运算，直接写出结果即可.

【详解】

观察韦恩图知，阴影部分在集合/中，不在集合8中，所以所求集合为

故选：A

2.C

【分析】

根据复数的运算求出复数z,再求模长即可求解.

【详解】

1+i1+i（l+i）i11.

由己知得：2=百=五=二^=一］+9，

所以，回=j（一；y+（；）2=日.

故选：C.

3.A

【分析】

把等比数列｛%｝各项用基本量％和9表示，根据已知条件列方程即可求解.

【详解】

设等比数列｛%｝的公比为/

由邑=。2+5%,得：％+%+%=。2+5%,

2

即：a3-4%=axq,

所以，［2=4,

又。5=4,所以，=%(02)2=%x42=4,

所以，

故选：A.

4.B

答案第1页，共20页

【分析】

根据已知的公式，由周期的倍数关系求出长半轴长的倍数关系即可.

【详解】

设火星的公转周期为长半轴长为弓，火星的公转周期为（，长半轴长为出，

2%3

4=碎①

4GM

则，1=8＜，且

3

2%加②

4GM

SW：/管=8,

所以，：=4,即：％=4电.

故选：B.

5.D

【分析】

根据题意，由条件可得②和③相互矛盾，然后分别验证①②④成立时与①③④成立时的

结论，即可得到结果.

【详解】

TTTOjr

说法②可得0=1,说法③可得彳=G，则T=兀=一，则0=2,②和③相互矛盾;

22coJ一

jrjr

当①②④成立时，由题意4=3,co=\,—+(p=2kn+—,keZ.

因为9”,]Tl71

,故左=0,0=:，即/(%)=3sinx+—

6

/jrjr

说法①③④成立时，由题意4=3,3=2,(p-2kji+—,kEZJ,

9=2左)一.任(0,|^,故不合题意.

故选：D.

6.D

【分析】

先根据圆的弦长公式求出线段的长度，再求出直线x-回+26=0的倾斜角，即可求

得刀与死的的夹角，进而可得出答案.

答案第2页，共20页

【详解】

由题意」(1,0),圆心

河(1,2)至I］直线》一回；+2百=0距离为，

所以叱=2/_：=病,

直线工-«了+2«=0的斜率为出,则其倾斜角为

36

则近与前的的夹角为?，

6

所以刀.灰？=|方卜前jcosE,灰？=lxjf?xg=竽.

故选：D.

7.B

【分析】根据条件得到尸点轨迹为以"N为直径的球，进而得出点尸的轨迹是六个半径为。

的圆，即可求出结果.

【详解】因为两•丽=0,故P点轨迹为以"N为直径的球，

如图，易知MN中点即为正方体中心。，球心在每个面上的射影为面的中心，

设。在底面/BCD上的射影为0,又正方体的棱长为2a,所以MN=2亚a，

易知。。1="，0}M=a,又动点尸在正方体的表面上运动,

所以点P的轨迹是六个半径为。的圆，轨迹长度为6*2私=12兀°,

8.C

答案第3页，共20页

【分析】

利用导数研究〃x)=?的单调性，作出其图象，根据图象平移作出y=/(x+ln2)的图象,

数形结合即可得到答案.

【详解】•••/(加十，.."(x)=(，

根据导数易知/(x)在(-双1)上单调递增，在(1,+“)上单调递减；

由题意令/(x)=/(x+ln2),即己普，解得x=ln2；

则min{/(x),/(x+ln2)}的最大值为两函数图象交点处函数值，为殍.

故选：C.

9.ACD

【分析】

用对数表示x,小利用对数函数的性质、对数的计算、基本不等式等即可逐项计算得到答

案.

【详解】

,•・12'=3,.0=1。8123,同理y=log124,

,.j=logi2X在x>0时递增，故N>x,故A正确；

•.•x+y=log]212=l,错误；

1•1x>0,y>0,；.=',当且仅当x=V时等号成立，而x<y,故孙<},

正确；

+6)=x+y+2y[xy=1+2y[xy<2,即人<四,'D正确.

故选：ACD.

10.BC

答案第4页，共20页

【分析】

根据题意，由概率的公式即可判断AC,由条件概率的公式即可判断B,由p（4）与尸（4_J

的关系，即可得到尸（4）=；［l+g］，从而判断D

【详解】

对A,P（44）=f7xj?=^4所以A错误；

,、22115z、尸（44）4

对B,P（4）=fx|+ixi="故P（//4）=+所以B正确；

2547

对C,P（Al+A2）=P（Al）+P（A2）-P（AlA2）=-+---=-,所以C正确；

对D,由题意:尸（4）=*（4T）+；［I-尸（&）］，所以尸（4）-；=!尸（4-）—，

「（4）=|，p（4）-|=|-rr所以尸⑷-9：、出"=">

所以尸（4）=；1i+g］，

则P（&））=；11+JJ，所以D错误.

故选：BC.

11.ACD

【分析】

A选项，求出焦点坐标与准线方程，设直线4的方程为>=6+1,联立抛物线方程，得到两

根之积，从而求出M%=1；B选项，求导，得到切线方程，联立抛物线方程，得到

再+$=2xz；C选项,求出。（0,必+2）,。下|=%+1,结合焦半径公式求出|/下|=弘+1,C

正确；D选项，作出辅助线，结合B选项，得到S/BC=2S〃BM，表达出S△皿，利用基本

不等式求出最小值，从而得到。8C面积最小值.

【详解】

A选项，由题意得尸（0」），准线方程为了=-1,

直线4的斜率存在，故设直线4的方程为y=b+l,

联立x2=4y,得/一414=0,xtx2=-4,故%％=4x；x；=l,A正确；

答案第5页，共20页

B选项，/=gx,直线4的斜率为;马，故直线4的方程为Pf=£（x-xJ,

即夕=三工+弘+2,联立/=4了，得/-2尤2x-2（H+2）=0,故网+毛=2工2，

所以B错误；

C选项，由直线。的方程令x=0得了=/（一玉）+乂，

又再迎=一4,所以了=必+2,

故仇0,%+2）,故口口|=M+1,

又由焦半径公式得|/尸|=必+1,所以C正确；

D选项，不妨设再＜/，过8向4作垂线交4于M，

根据B选项知，再+七=2X2,

故S.ABC=2sAABM,

根据直线4的方程y-必=字（》-西），

22

x+

当工二12时，y=-Y（^2~dy[=£+y一手_二5~+必+2，

故M（工2，1+凹+2,

x2再2x2空+2」1+?

故忸MJ71+2-%=22

TH44x：4(xj

1(44丫

］士+二|-|^+―

再X"

当且仅当X|=一,即再=2时，等号成立,

再

答案第6页，共20页

故AABC的面积最小值为16,D正确.

故选：ACD

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：

(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决

(2)代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，

再求这个函数的最值或范围.

12.15

【分析】

利用二项式的展开式通项公式求解.

【详解】展开式的通项公式为加=或针[-5：=(-1)«4匕

令6-3左=0,解得左=2,

所以常数项为“=屋=15,

故答案为：15.

13.V2

【分析】

由直线E尸与渐近线方程联立求出E的坐标，代入双曲线标准方程即可求出离心率.

【详解】

b

)=一"'2h

直线即与渐近线方程联立得a解得乙=幺，yE=—,

a(\cc

y=--^-c),

,.S一一、r(/+。2Clb]

••,EF中点M的坐标为——,

I2c2c)

又M点在双曲线上，代入其标准方程，得()+一)工=i，

4a2c24c2

化简得c2=2a2,：.e1=2,e-V2.

故答案为：V2.

14.52

33

【分析】

答案第7页，共20页

IT

变形后得到sina+cosa=sin/?+cosp,利用辅助角公式得到a+尸="得到

13、

sina-cosa,两边平方后得到sinacosa=^,利用同角三角函数关系求出

28

c18

tan+tan/>=--------------=—.

sinacosa3

【详解】

由题可知sincr-sin/?=-cosa+cos4,所以sina+coscr=sin/?+cos/7,

所以也5由（二+：）=行51111/7+：）,

因为所以a+*"!，/?+'eg,力

-r—»cLLtvt兀C兀I»c兀

又aw尸，所以。+:+尸+：=兀，故&+/?=「，

442

所以sina—sin夕=sina-cos6if=-—,

一’13

两边平方后得sin2a-2sinacosa+cos2a=—,故sinacosa=一,

48

八1sin。cosa18

tana+tan//=tana+-------=---------1--------=--------------=—.

tanacosasinasinacosa3

o

故答案为：—

71

15.⑴8=“

（2）NB/C=2或2.

71212

【分析】（1）由sinC=sin（/+8）,代入已知等式中，利用两角和与差的正弦公式化简得

cos5=——，可得5的大小；

2

（2）设BC=x,/BAC=e,在和△4CM中，由正弦定理表示边角关系，化简求

NA4。的大小.

【详解】（1）在A^8C中，A+B+C=TI,所以sinC=sin（Z+5）.

因为sin（5-/）+亚sinZ=sinC,所以sin（5-/）+V^sin/=sin（4+8）,

BPsinBcosA-cos5sin/+/sinZ=sinBcosA+cosBsinA

化简得J^sin/=2cosBsin/.

因为/£（。,兀），所以sin/lwO,cosB=.

答案第8页，共20页

TT

因为0<8<兀，所以8=—.

4

⑵法1：设5C=x,ABAC=0,贝ljCM=2x.

Ji

由(1)知5=—,又/CAM=—,所以在中，Z.AMC=--6.

442

4C

BCAC

在。5c中，由正弦定理得，即sin3sin工①，

sinABACsin5

2x

CMAC

在△/CM中，由正弦定理得，lPsin-

sinZCAMsinM

4

V2

①+②，得2,即2sin6cose=:，所以sin26=2.

zsinU7222

因为6/0,当，2ejo,汩，所以20=2或与，故6*或泮

V4766"12

法2：设8C=x,则CM=2x,BM=3x.

所以所因此含=黑

所以4/2=9,CN=6X2,AM=46X.

3x_V6x

BMAM

在△力?河中，由正弦定理得即sinZR4M-V2，

sinZBAMsin5

V

化简得sin/AW=@.

2

因为也］,所以48/〃=巴或四,ABAC=ABAM--,

k4J334

故4/C=A或3

16.(1)证明见解析;

(2)1.

【分析】

答案第9页，共20页

(1)取441的中点初，先证明四边形"I"。是平行四边形得到线线平行，再由线面平行性

质定理可得；

(2)法一：应用面面垂直性质定理得到线面垂直，建立空间直角坐标系，再利用共线条件

设西=X而(0<2<1),利用向量加减法几何意义表示所需向量的坐标，再由法向量方法

表示面面角，建立方程求解可得；法二：同法一建立空间直角坐标系后，直接设点。坐标

0(4,Z,O)(-l<f<3),进而表示所需向量坐标求解两平面的法向量及夹角，建立方程求解入

法三：一作二证三求，设80=M()4X44),利用面面垂直性质定理，作辅助线作角，先证

明所作角即为二面角的平面角，再利用已知条件解三角形建立方程求解可得.

【详解】(1)证明：取441的中点/，连接MP,MB.

在四棱台/geo-44GA中，四边形是梯形，44=2,AD=4,

AD-L-AD

又点M,尸分别是棱9。的中点，所以且曾=4；=3.

在正方形/3CD中，BC//AD,8c=4,又BQ=3QC,所以8。=3.

从而M尸〃50且〃尸=20,所以四边形2Mp。是平行四边形，所以尸。〃M3.

又因为Affiu平面耳4，尸。U平面所以尸。〃平面48耳4；

(2)在平面44a。中，作4。，40于。.

因为平面44。。，平面48CD,平面44QOc平面48cz>=4D,Afi±AD,/Qu平面

AAXD｛D,

所以4。，平面/BCD.

在正方形4BCD中，过。作N2的平行线交2。于点N,则CW_L0D.

以｛丽，砺，两｝为正交基底，建立空间直角坐标系。-孙z.

答案第10页，共20页

因为四边形44。。是等腰梯形，44=2,34,所以/。=1,又4/=。。=而，所

以40=4.

易得2（4,-1,0）,Z＞（0,3,0）,C（4,3,0）,A（0,2,4）,Plo,|,2j,所以皮=（4,0,0）,

法1：设函=4怎=（0,-4/1,0）（04241）,所以殖=皮+西=（4,一440）.

m-DP=0—y+2z—0/、

设平面PD0的法向量为玩=（x,y,z）,由＜，得2尸，取应=（4彳,4,1）,

m•DO=04x-4Ay=0

另取平面DCQ的一个法向量为反=（0,0,1）.

设二面角尸-0D-C的平面角为仇由题意得|cosq=Jl-sin26=与.

，26

\m'n\11_1

又|cosq=|cosm,H|=

阿,同7（42）2+17’所以而莎7二忘'

33

解得4=±二（舍负），因止匕CQ=：x4=3,BQ=\.

44

所以当二面角尸-纱-C的正弦值为旭时，20的长为1.

26

法2：设。（4/⑼（―1«区3）,所以而=（4,"3,0）.

「一[1

/、m•DP=0—y+2z=0

设平面PD0的法向量为玩=（x,y,z）,由＜_.，得|2，，取

[m-DQ=0[4x+«-3）y=0

=（3-Z,4,l）,

另取平面DCQ的一个法向量为方=（0,0,1）.

设二面角尸-0D-C的平面角为仇由题意得|cos《=a-sin?6=£

726

答案第11页，共20页

又必砰…,小品;而入,所以;F二二看'

解得:0或6（舍），因此8。=1.

所以当二面角尸-8-C的正弦值为阻时，8。的长为1.

法3：在平面4/0。中，作PH_L4D,垂足为

因为平面440,，平面48CD,平面44DAPI平面/8CZ）=Z。，PH1AD,PHu平面

A]ADD],

所以尸HL平面/BCQ,又。。u平面/BCQ,所以尸H，。。.

在平面N8CD中，作垂足为G,连接尸G.

因为尸HG±DQ,PHCHG=H,PH,HGu平面P〃G,

所以。01平面尸HG,又尸Gu平面尸HG,所以。。，尸G.

因为〃G，。。，PG1DQ,所以/PG〃是二面角「一。。一/的平面角.

在四棱台/BCD-44aA中，四边形4〃。。是梯形，

44=2，AD=4,4/=DQ=&7,点P是棱的中点，

所以尸〃=2,DH=g.

设也=x（OVx<4）,则C0=4-x,吟胪+依-4=6-8x+32,

在中，一X—X4=—X7X^8^+32X//G,从而HG=r.

、222VX2-8X+32

因为二面角尸-QD-C的平面角与二面角P-0。-/的平面角互补，

且二面角P-QD-C的正弦值为空1,所以sinNPGH=二羽，从而tan/PG〃=5.

2626

所以在Rt^PHG中，驾=6-8x+32=5,解得尤=1或x=7（舍）.

HCJ

答案第12页，共20页

所以当二面角尸-纱-C的正弦值为%区时，30的长为1.

26

17.(1)0.09；

⑵〃=22.

【分析】

(1)根据题意，由正态分布的概率公式代入计算，再由全概率公式，即可得到结果；

(2)根据题意，由二项分布的概率公式代入计算，即可得到结果.

【详解】(1)记电压“不超过200V”、“在200V〜240V之间”、“超过240V”分别为事件B,

C,“该机器生产的零件为不合格品”为事件。.

因为。〜N(220,206所以尸(/)二尸(UW20O)=l_P(〃一+

P(B)=尸(200<U<240)=尸(〃一b<Z<〃+b)=0.68,

P(C)=P(U>240)=——上------------I=—产=0.16.

所以尸(。)=尸⑷尸⑷4)+尸⑻尸(。5)+P(C)尸(。C)

=0.16x0.15+0.68x0.05+0.16x0.2=0.09,

所以该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09.

(2)从该机器生产的零件中随机抽取〃件，设不合格品件数为X,则X〜8(”,0.09),

所以p,=P（X=2）=C>0.91"-4-0.092.

解得24〃<与-.

所以当2V时，pn<p„+l；

当"222时,pn>pn+i；所以。22最大.

因此当〃=22时，p”最大.

22

18.⑴土+匕=1

43

(2)①证明见解析；②存在，|W|=V7

【分析】

答案第13页，共20页

(1)先求出右顶点。和"的坐标，利用题中条件列等式，分类讨论计算得出椭圆的方程;

(2)设直线的方程为y—=Mx-4),将直线方程与椭圆方程联立，得出韦达定理，由题意,

将韦达定理代入可出答案.

【详解】⑴由右焦点为尸(1,0),得C=l,

因为|4四|=4/尸|,所以|4-4="0-1),

若贝l]a-4=a("l),得/_24+4=0,无解，

若。＜4,则4一。=。(°-1),得/=4,所以〃=3,因此。的方程[+:=1.

(2)设8(4,。，易知过8且与C相切的直线斜率存在，

设为了—=碎-4),

y-t=后(工一4)

联立,消去〉得(3+4/卜2+8左«-4左)x+4«-4左丫-12=0,

143

由A=6仅2“-砌2-4(3+仅2)&«_44-12]=0,得12f-8%+/_3=0,

设两条切线8P，80的斜率分别为左，k2,则左+内==彳，klk2=^.

12312

①设BF的斜率为k3,则左3=；1=；，

2/

因为占+L=W=2/，所以5PBF,5。的斜率成等差数列，

W②法1：在y_[=,(K-4)中,令x=0,得力=t-4左—所以尸(0,4左),

同理，得0(0,-4切,所以尸0的中垂线为y=f—2&+占),

易得8P中点为(2,"2幻，所以2P的中垂线为y=-；(x-2)+f-2勺，

答案第14页，共20页

V=%—2（左+1左2）

联立_"上，_。沙，解得N（2上店+2,/-2（左+七））,

）—（X/J十IK]

IK

所以标=（一2%肉_22k2_2勺），NQ=（一2勺右一22k「2kJ,

要使标屣=0,即4（桃2+1）2-4（勺-e）2=0,整理得|桃2+1|=归-目，

所以;^+1=号"解得/=7，/=±5，因此忸叫=疗,

故存在符合题意的点3,使得标•而=0,此时忸叫=疗.

法2：在yT±%（x—4）中,令x=0,得力=7-4%,因此尸（0J-4%）,

同理可得。（0J-4田，所以尸0的中垂线为了="2（尢+心），

因为95中点为（2,"2左），所以2P的中垂线为y=-；（x-2）+f-2勺,

y=t-2(kx+k2)

联立,1,小,，，解得知=2先4+2,

y=-----{x-2)+t-2k

[kix^

要使丽•而=0,则/PN0=g,所以风卜幽，即|2岫+2|=2归-周,

22

所以；^+1="^，解得/=7，/=土疗，因此忸闾=疗,

故存在符合题意的点8,使得标•而=o,此时忸M|=V7.

答案第15页，共20页

法3：要使NPNQ=90。，即/尸8。=45。或135。,

左一左2|二］

从而『的/尸=1,又tanNPBQ=所以

1+左］&1+桃2|

所以与£=1+彳解得『=7，/=土不，所以忸叫=后,

故存在符合题意的点3,使得而•而=0,此时忸叫=近.

法4：要使NPNO=90。，即/尸8。=45。或135。,

BPBQ

从而|cosNP8Q|V2

BP\-\BQ2

在y_（=《（x_4）中，令x=0,得力=（_4左，故尸（0,7_4左）,

同理可得。（0J-4冬）,

因此丽=（一4,一4勺），皿=（一4,-4仅），

JPJQ_16+16^2_V2

所以回@=4而奸-4曲F=W'

故（1+k、k、）=Jl+k；k：+k；+k£,即2+2k；后+4左色=1+左［传+k;+k：,

整理得将代+6派2+1=（K+初2，

答案第16页，共20页

所以+6,1F+I=（f））整理得〃+2/-63=0,解得"=7或一9（舍去）,

因此r=±J7,忸M|=J7,

故存在符合题意的点3,使得标•而=0,此时忸叫=疗.

在）_/=左（尤一4）中，令x=0,得力=/-4左],故P（O/—%）,

同理可得。（0,”能），

由等面积法得瓦|=之9/研.做卜?，

即"缺一4局・4=；・4而行.4y/l+k1■乎，整理得化+初2=k/+6k芯+1,

所以（,：=[+6.23+晨整理得〃+2/-63=0,解得r=7或-9（舍去），

因此/=±5，忸叫=J7,

故存在符合题意的点3,使得而•而=0,此时忸叫=疗.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为（七,必）,（孙力）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或了）的一元二次方程，注意△的判断;

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为项+%、为尤2（或“+%、乂%）的形式;

（5）代入韦达定理求解.

19.（1）证明见解析;

⑵（0,2];

答案第17页，共20页

(3)bm=m.

【分析】

(1)通过构造函数，利用导数判断函数单调性，求最小值即可证明；

(2)对。的值分类讨论，利用导数判断函数单调性，求最小值，判断能否满足/(x)>0；

(3)利用(1)中结论，++通过放缩并用裂项相消法求

弋71-1S兀

>COS——-----,有〃-COS——7-----<«,可得8=m

台2M左+1)'e£2左化+1)，J何加.

[详解】(1)因为Q=2,所以/(x)=2xsinx+cos2x—l=2(x—sinx)sinx,

兀

0<x<—,2sinx>0.

4

设g(x)=x-sinx,0<xv：,

则g<x)=1-cosx>0,所以g(x)在上单调递增，

所以g(x)>g(O)=O,

因此〃x)>0.

(2)函数/(x)=axsinx+cosax-l,0<x<^,

方法一：

/'(%)=a(sinx+xcosx-sin(7x),

当0<QK2时，

71

注意到0<oxW2X<—,故sin办<sin2x,

2

因止匕/'(%)2。(sinx+xcosx-sin2x)=a[sirtr(1-cosx)+(x—sinx)cosx],

由(1)得x-sinx>0,因止匕

所以/(X)在(o,[上单调递增，从而〃x)>〃o)=o,满足题意；

当a>2时，令〃(%)=/<x)=a(sinjr+xcosx-sinax),

=a(2cosx-xsinx-acosax)<a(2-acosax)=a11--cosax|,

答案第18页，共20页

因为0<2<1,所以存在aee(0，M，使得cosaO=2,

a<2ja

则当xe(0,6)时，axG(Q,a0),”(x)</仔