人教版高中数学选择性必修第二册第5章 一元函数的导数及其应用 质量评估(含解析)

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第5章一元函数的导数及其应用质量评估(原卷版)

(时间：120分钟，分值：150分)

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)

1．曲线f(x)＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标为()

A．－9B．－3

C．9D．15

2．下列结论正确的个数是()

①若f(x)＝ln2，则f′(x)＝；②若f(x)＝，则f′(3)＝－；③若f(x)＝2x，则f′(x)＝2xln2；④若f(x)＝log2x，则f′(x)＝.

A．0B．1

C．2D．3

3．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()

A．(－∞，2)B．(0,3)

C．(1,4)D．(2，＋∞)

4．函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在(1，f(1))处切线的斜率为()

A．－B．2

C．4D．－

5．如果函数f(x)＝2x3＋ax2＋1(a为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，且在区间(0,2)上单调递减，则a的值为()

A．1B．2

C．－6D．－12

6．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()

A．2B．3

C．6D．9

7．已知函数f(x)的导函数的图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则一定成立的是()

A．f(sinA)>f(cosB)

B．f(sinA)f(sinB)

D．f(cosA)0)．若将A，B两家化工厂作为污染源，且已知A，B两厂的污染强度分别是8p和p.连线上任意一点处的污染指数y等于A，B两家化工厂污染指数的和，若设MA＝xkm.

(1)试将y表示为x的函数；

(2)求当M点处的污染指数y取得最小值时x的值．

22.(12分)已知函数f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋x2.

(1)求f(x)的解析式及单调区间；

(2)若f(x)≥x2＋ax＋b，求(a＋1)b的最大值．

人教版高中数学选择性必修第二册

第5章一元函数的导数及其应用质量评估(解析版)

(时间：120分钟，分值：150分)

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)

1．曲线f(x)＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标为()

A．－9B．－3

C．9D．15

C解析：由已知得切线的斜率k＝f′(1)＝3，所以切线方程为y－12＝3(x－1)，即3x－y＋9＝0.

令x＝0，得y＝9，所以切线与y轴交点的纵坐标为9.

2．下列结论正确的个数是()

①若f(x)＝ln2，则f′(x)＝；②若f(x)＝，则f′(3)＝－；③若f(x)＝2x，则f′(x)＝2xln2；④若f(x)＝log2x，则f′(x)＝.

A．0B．1

C．2D．3

D解析：①y＝ln2为常数，所以y′＝0，①错；②③④均正确，直接利用求导公式即可验证．

3．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()

A．(－∞，2)B．(0,3)

C．(1,4)D．(2，＋∞)

D解析：f′(x)＝(x－2)ex.由f′(x)>0得x>2.所以函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．

4．函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在(1，f(1))处切线的斜率为()

A．－B．2

C．4D．－

C解析：∵y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y＝2x＋1.∴g′(1)＝k＝2，

又f′(x)＝g′(x)＋2x，∴f′(1)＝g′(1)＋2＝4，故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处切线的斜率为4.

5．如果函数f(x)＝2x3＋ax2＋1(a为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，且在区间(0,2)上单调递减，则a的值为()

A．1B．2

C．－6D．－12

C解析：令f′(x)＝6x2＋2ax＝0，得x＝0或x＝－，由题意，知f′(x)＝0的两根为0,2，所以2＝－，所以a＝－6.

6．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()

A．2B．3

C．6D．9

D解析：∵f′(x)＝12x2－2ax－2b，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a>0，b>0，∴a＋b≥2，∴2≤6，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立．

7．已知函数f(x)的导函数的图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则一定成立的是()

A．f(sinA)>f(cosB)

B．f(sinA)f(sinB)

D．f(cosA)0时，f′(x)>0，即f(x)单调递增．

又△ABC为锐角三角形，则A＋B>，即>A>－B>0，故sinA>sin>0，即sinA>cosB>0.故f(sinA)>f(cosB)．

8．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数具有T性质的是()

A．y＝sinxB．y＝lnx

C．y＝exD．y＝x3

A解析：∵(lnx)′＝>0，(ex)′＝ex>0，(x3)′＝3x2≥0.

∴选项B，C，D中的曲线不存在两点，其切线的斜率之积为－1，只有A项符合．

二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a可取的范围有()

A．(－∞，－3]

B．(－∞，－3)

C．[6，＋∞)

D．(6，＋∞)

BD解析：依题意f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，对应的判别式Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＝4a2－12a－72>0，即a2－3a－18>0，即(a－6)(a＋3)>0，解得a6.故选BD．

10．如图是函数y＝f(x)导函数y＝f′(x)的图象，下列选项中正确的是()

A．在x2处导函数y＝f′(x)有极大值

B．在x1，x4处导函数y＝f′(x)有极小值

C．在x3处函数y＝f(x)有极大值

D．在x5处函数y＝f(x)有极小值

ABCD解析：根据导函数f′(x)的图象可知：x1，x4的两侧f′(x)左减右增，所以在x1，x4处导函数y＝f′(x)有极小值；x2的两侧f′(x)左增右减，所以在x2处导函数y＝f′(x)有极大值．

根据导函数f′(x)的图象可知：x3的左侧导数大于零，右侧导数小于零，所以在x3处函数y＝f(x)有极大值.x5的左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以在x5处函数y＝f(x)有极小值．故选ABCD．

11．对于函数f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，下列正确的是()

A．x＝3是函数f(x)的一个极值点

B．f(x)的单调递增区间是(－1,1)，(2，＋∞)

C．f(x)在区间(1,2)上单调递减

D．直线y＝16ln3－16与函数y＝f(x)的图象有3个交点

ACD解析：由题得f′(x)＝＋2x－10＝，x>－1.令2x2－8x＋6＝0，可得x＝1或3，则f(x)在(－1,1)，(3，＋∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减，所以x＝3是函数f(x)的一个极值点，故AC正确，B错误．

因为f(1)＝16ln(1＋1)＋12－10＝16ln2－9，f(3)＝16ln(1＋3)＋32－10×3＝16ln4－21，又y＝16ln3－16＝f(2)，根据f(x)在(1,3)上单调递减得f(1)>f(2)>f(3)，得16ln3－1616ln4－21，

所以直线y＝16ln3－16与函数y＝f(x)的图象有3个交点，故D正确．故选ACD．

12．已知函数f(x)＝x2－3x＋m－2lnx，()

A．m＝3时，f(x)有两个零点

B．m＝3时，f(x)的极小值点为2

C．m＝3时，f(x)≥0恒成立

D．若f(x)只有一个零点，则m＝2＋2ln2

ABD解析：对于选项A，当m＝3时，f(x)＝x2－3x＋3－2lnx，其定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－3－＝＝.

令f′(x)＝0，得x＝2，当02时，f′(x)>0，

∴f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，

∴f(x)min＝f(2)＝1－2ln2＝1－ln40，f(3)＝3－2ln3>0，∴f(x)在定义域内有两个零点，故选项A正确．对于选项B，由上面的推导过程可知，当m＝3时，f(x)的极小值点为2，故选项B正确．对于选项C，由上面的推导过程可知，f(2)0，则函数g(x)的图象与直线y＝－m只有一个交点．g′(x)＝，

令g′(x)＝0,∴x＝2，当02时，g′(x)>0，

∴g(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，

∴g(x)min＝g(2)＝－2－2ln2，且当x→0时，

g(x)→＋∞；当x→＋∞时，g(x)→＋∞.

∴函数g(x)的图象与直线y＝－m只有一个交点时，－m＝－2－2ln2，∴m＝2＋2ln2，故选项D正确．故选ABD．

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝1和x＝－1处均有极值，且f(－1)＝－1，则a＋b＋c＝________.

1解析：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知f′(1)＝3a＋2b＋c＝0，f′(－1)＝3a－2b＋c＝0，又f(－1)＝－a＋b－c＝－1，可解得a＝－，b＝0，c＝，所以a＋b＋c＝1.

14.已知函数f(x)＝x3－3ax2－bx，其中a，b为实数．若f(x)在区间[－1,2]上为减函数，且b＝9a，则a的取值范围是________．

[1，＋∞)解析：由题意知f′(x)＝3x2－6ax－b≤0对x∈[－1，2]恒成立，b＝9a，所以f′(x)＝3x2－6ax－9a≤0，即x2－2ax－3a≤0对x∈[－1,2]恒成立．因为2x＋3>0，所以a≥对x∈[－1,2]恒成立，容易求得a≥1.

15.已知曲线f(x)＝ax3＋lnx，若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为4，则a＝________；若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．

1(－∞，0)解析：f′(x)＝3ax2＋.

令f′(1)＝3a＋1＝4，得a＝1.

∵f(x)存在垂直于y轴的切线，

∴f′(x)＝0有解，

即3ax2＋＝0有解，

∴3a＝－，而x>0，

∴a∈(－∞，0).

16.已知矩形的两个顶点A，D位于x轴上，另两个顶点B，C位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边长为________．

，解析：由题意，设矩形边长AD＝2x，则AB＝4－x2，

∴矩形面积为S＝2x(4－x2)＝8x－2x3(00；

当0，故f(x)在区间(－∞，－2)内为增函数；

当x∈(－2,1)时，f′(x)0，

故f(x)在区间(1，＋∞)内为增函数；

从而函数f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝21，在x2＝1处取得极小值f(1)＝－6.

19.(12分)已知函数f(x)＝x2＋xsinx＋cosx.

(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；

(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．

解：由f(x)＝x2＋xsinx＋cosx，得f′(x)＝x(2＋cosx)．

(1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cosa)＝0，b＝f(a)．

解得a＝0，b＝f(0)＝1.

(2)令f′(x)＝0，得x＝0.

f(x)与f′(x)的变化情况如下：

x(－∞，0)0(0，＋∞)

f′(x)－0＋

f(x)单调递减1单调递增

所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1是f(x)的最小值．

因此b的取值范围是(1，＋∞).

20.(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1处都取得极值．

(1)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；

(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)f(2)＝2＋c，解得c2.

∴c的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).

21.(12分)有A，B两家化工厂，相距48km，现在要在两家化工厂连线上一点M处建造居民小区，考虑点M处的污染指数，据环保部门测定，连线上任意一点处的污染指数与污染源的强度成正比，与到污染源的距离的平方成反比，比例系数分别为k1，k2(k1，k2>0)．若将A，B两家化工厂作为污染源，且已知A，B两厂的污染强度分别是8p和p.连线上任意一点处的污染指数y等于A，B两家化工厂污染指数的和，若设MA＝xkm.

(1)试将y表示为x的函数；

(2)求当M点处的污染指数y取得最小值时x的值．