双曲线及其标准方程 全国公开课一等奖

2.3双曲线2.3.1双曲线及其标准方程[目标导航]课标要求1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.素养达成通过双曲线及其标准方程的学习,逐步提升学生的直观想象、数学抽象、数学运算等数学核心素养.新知导学课堂探究新知导学·素养养成1.双曲线的定义把平面内与两个定点F1,F2的距离的

等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的

,两焦点间的距离叫做双曲线的

.双曲线的定义用集合语言表示为P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|}.思考:为什么定义中必须要求“常数小于|F1F2|”?答案:当常数等于|F1F2|时,轨迹是以F1,F2为端点的两条射线,当常数大于|F1F2|时,轨迹不存在.差的绝对值焦点焦距a2+b22.双曲线的标准方程名师点津(1)对双曲线定义的两点说明①定义中距离的差要加绝对值,否则只为双曲线的一支,设F1,F2为双曲线的左、右焦点,若|MF1|-|MF2|=2a,则点M在右支上;若|MF2|-|MF1|=2a,则点M在左支上.②双曲线定义的双向运用a.若||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<|F1F2|),则动点M的轨迹为双曲线.b.若动点M在双曲线上,则||MF1|-|MF2||=2a.(2)双曲线的标准方程:①标准方程的代数特征:方程右边是1,左边是关于x,y的平方差,并且分母大小关系不确定.②a,b,c三个量的关系:标准方程中的两个参数a和b,确定双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里b2=c2-a2,与椭圆中b2=a2-c2相区别,且椭圆中a>b>0,而双曲线中a,b大小不确定.题型一课堂探究·素养提升双曲线定义的理解及应用误区警示(1)在解决与双曲线有关的焦点三角形问题时,应注意双曲线定义条件||PF1|-|PF2||=2a的应用.(2)解题的关键是“|PF1||PF2|”形式的“配凑”,将双曲线定义及图形的平面几何性质(结合正、余弦定理)“和谐”地结合起来,注意整体思想的应用,从而达到简化运算的目的.即时训练1-2:若动点P到点F1(-5,0)与F2(5,0)的距离的差为±8,则点P的轨迹方程是(

)题型二双曲线标准方程的求法[例2]求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)焦点在x轴上,a=3,c=5;方法技巧利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤:题型三双曲线标准方程的理解方法技巧(A)焦点在x轴上的椭圆(B)焦点在y轴上的椭圆(C)焦点在x轴上的双曲线(D)焦点在y轴上的双曲线(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件课堂达标1.设k>1,则关于x,y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲线是(

)(A)长轴在y轴上的椭圆(B)长轴在x轴上的椭圆(C)实轴在y轴上的双曲线(D)实轴在x轴上的双曲线C2.已知定点F1(-2,0),F2(2,0)在满足下列条件的平面内,动点P的轨迹为双曲线的是(

)(A)|PF1|-|PF2|=±3(B)|PF1|-|PF2|=±4(C)|PF1|-|PF2|=±5(D)|PF1|2-|PF2|2=±4A解析:由于|F1F2|=4,所以只有当|PF1|-|PF