苏科版九年级数学上册《第1章一元二次方程》单元综合优生辅导训练含答案

苏科版九年级数学上册《第1章一元二次方程》单元综合优生辅导训练1．若2﹣是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值是（）A．1 B． C． D．2．已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A．7 B．10 C．11 D．10或113．若实数x，y满足（x2+y2+1）（x2+y2﹣2）＝0，则x2+y2的值是（）A．1 B．2 C．2或﹣1 D．﹣2或﹣14．如果关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根，那么m的取值范围是．5．某商品成本价为360元，两次降价后现价为160元，若每次降价的百分率相同，则降价的百分率是．6．解方程：（2x+1）2＝9（x﹣1）2．7．解方程：（1）x2﹣6x+8＝0（2）x（2x﹣3）+4x﹣6＝0．8．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0．（1）当m为何值时，原方程没有实数根？（2）对m取一个适合的非零整数值，使原方程有两个实数根．并求这两个实根的平方和．9．关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣2）x+（k﹣2）＝0（k≠0）．（1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）要使得方程的两个实数根都是整数，求整数k可能取值．10．阅读解答：题目：已知方程x2+3x+1＝0的两根为a，b，求+的值．解：①∵△＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×1＝5＞0∴a≠b②由一元二次方程根与系数关系得：a+b＝﹣3，ab＝1；③∴+＝+＝＝＝﹣3问题：上面的解题过程是否正确？若不正确，指出错在哪一步？写出正确的解题过程．11．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围．（2）若方程两实数根为x1、x2，且满足5x1+2x2＝2，求实数m的值．12．阅读材料：为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1看作一个整体，设x2﹣1＝y…①，那么原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4，当y＝1时，x2﹣1＝1，∴x2＝2，∴；当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴，故原方程的解为，，，．以上解题方法叫做换元法，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；请利用以上知识解方程：（1）x4﹣x2﹣6＝0．（2）（x2+x）2+（x2+x）＝6．13．已知，关于x的方程x2﹣mx+m2﹣1＝0，（1）不解方程，判断此方程根的情况；（2）若x＝2是该方程的一个根，求m的值．14．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣2）x+m2＝0有实根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22＝56，求m的值．15．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2021年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2019年底全市汽车拥有量为10万辆．（1）求2019年底至2021年底我市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，要求我市到2023年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2021年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）16．已知关于x的方程（k﹣2）x2+（1﹣2k）x+k＝0．（1）若方程有两个实数根，求k的取值范围；（2）如果改为方程有实数根，k的取值范围有变化吗？若有变化，求出此时k的取值范围；若没有变化，请说明理由；（3）方程有实数根，且k为不大于0的整数，求出此时方程的根．17．新学期开始，为鼓励同学努力学习，积极备战中考，李老师和班委会商议，计划在淘宝上为同学们选购一些精美笔记本作为礼物，经大家讨论，选中A型笔记本并决定在八月下旬购买．（1）由于促销，A型笔记本八月下旬的价格比八月上旬的价格下降了20%，若购买60本至少要花费720元，那么该款笔记本八月上句上旬的最低价格为每本多少元？（2）李老师在同类商品推送中发现B型笔记本也非常合适，它的价格为每本12元；同时该店铺也有A型笔记本出售，且价格在（1）中八月下旬的最低价格的基础上下调了a%经过比较，李老师决定两种笔记本都购入．购买数量比原计划增加了a%，其中A型笔记本占总数量的，最终，购买总费用与按原计划以八月下旬的最低价格购买A型笔记本相比增加了a%，求a的值．（商家免运费，a＞0）18．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．（1）求证：方程一定有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．19．某水果经销商销售一种水果，如果每千克盈利1元，每月可售出5000千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价0.1元，月销售量将减少400千克．现该经销商要在批发这种高档水果中保证每月盈利5060元，同时又要价格尽可能的低，那么每千克应涨价多少元？20．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．

参考答案1．解：把2﹣代入方程x2﹣4x+c＝0，得（2﹣）2﹣4（2﹣）+c＝0，解得c＝1；故选：A．2．解：把x＝3代入方程得9﹣3（m+1）+2m＝0，解得m＝6，则原方程为x2﹣7x+12＝0，解得x1＝3，x2＝4，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3＝11；②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4＝10．综上所述，该△ABC的周长为10或11．故选：D．3．解：∵（x2+y2+1）（x2+y2﹣2）＝0，∴x2+y2+1＝0或x2+y2﹣2＝0，∴x2+y2＝﹣1或x2+y2＝2，而x2+y2≥0，∴x2+y2＝2．故选：B．4．解：∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+l＝0有实数根，∴当m﹣2＝0时，m＝2时，﹣2x+l＝0有实数根；当m﹣2≠0时，b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝﹣4m+12≥0，解得m≤3．由以上可知m≤3．故答案为：m≤3．5．解：设降价的百分率是x则，360×（1﹣x）2＝160，解之得x＝≈33.3%，答：降价的百分率是33.3%．6．解：（2x+1）2＝9（x﹣1）2，（2x+1）2﹣9（x﹣1）2＝0，[（2x+1）+3（x﹣1）][（2x+1）﹣3（x﹣1）]＝0，（5x﹣2）（﹣x+4）＝0，解得：x1＝0.4，x2＝4．7．解：（1）分解因式得：（x﹣2）（x﹣4）＝0，可得x﹣2＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝2，x2＝4；（2）分解因式得：（2x﹣3）（x+2）＝0，可得2x﹣3＝0或x+2＝0，解得：x1＝1.5，x2＝﹣2．8．解：（1）∵原方程没有实数根，∴△＜0，∴[﹣2（m+1）]2﹣4m2＜0，解得，m＜﹣，故m＜﹣时，原方程没有实数根．（2）∵原方程有两个实数根，∴△≥0，∴[﹣2（m+1）]2﹣4m2≥0，∴m＞﹣．取，m＝3，两根平方和为46．9．（1）证明：∵kx2﹣（2k﹣2）x+（k﹣2）＝0（k≠0），∴△＝[﹣（2k﹣2）]2﹣4k（k﹣2）＝4＞0，∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由求根公式可求得x1＝1，x2＝1﹣，要使得方程的两个实数根都是整数，则k为2的因数，∴k＝±1或k＝±2．10．解：上面的解题过程不正确，错在③，正确的解题过程如下：①∵△＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×1＝5＞0，∴a≠b；②由一元二次方程根与系数关系得：a+b＝﹣3，ab＝1，∴a＜0，b＜0；③∴+＝+＝＝＝3．11．解：（1）∵方程有实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4m＝16﹣4m≥0，∴m≤4；（2）∵x1+x2＝4，∴5x1+2x2＝2（x1+x2）+3x1＝2×4+3x1＝2，∴x1＝﹣2，把x1＝﹣2代入x2﹣4x+m＝0得：（﹣2）2﹣4×（﹣2）+m＝0，解得：m＝﹣12．12．解：（1）x4﹣x2﹣6＝0设x2＝y，则原方程可化为y2﹣y﹣6＝0，解得y1＝3，y2＝﹣2（舍去），当y＝3时，x2＝3，∴x＝±∴原方程的解为x＝±；（2）（x2+x）2+（x2+x）＝6设x2+x＝y，则原方程可化为y2+y＝6，解得y1＝﹣3（舍去），y2＝2，当y＝2时，x2+x＝2，解得x1＝﹣2，x2＝1，所以原方程的解为x1＝﹣2，x2＝1．13．解：（1）∵△＝（﹣m）2﹣4×1×（m2﹣1）＝m2﹣m2+4＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）将x＝2代入方程，得：4﹣2m+m2﹣1＝0，整理，得：m2﹣8m+12＝0，解得：m＝2或m＝6．14．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣2）x+m2＝0有实根，∴△≥0，即[﹣2（m﹣2）]2﹣4m2≥0，解得m≤1；（2）∵方程的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2＝2（m﹣2），x1x2＝m2，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4（m﹣2）2﹣2m2＝2m2﹣16m+16，∵x12+x22＝56，∴2m2﹣16m+16＝56，解得m＝﹣2或m＝10，∵m≤1，∴m＝﹣2．15．解：（1）设年平均增长率为x，根据题意得：10（1+x）2＝14.4，解得x1＝﹣2.2（不合题意舍去），x2＝0.2．答：年平均增长率为20%；（2）设每年新增汽车数量为y万辆，根据题意得：2022年底汽车数量为14.4×90%+y，2023年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y，∴（14.4×90%+y）×90%+y≤15.464，∴y≤2．答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．16．解：（1）由题意∴k的取值范围是k≥﹣且k≠2．（2）有变化．当k≠2时，k≥﹣；当k＝2时，一元一次方程﹣3x+2＝0有实根，∴k≥﹣．（3）若方程有实根，则k≥﹣．又∵k≤0且k为整数，∴k＝0，当k＝0时，﹣2x2+x＝0，∴x1＝0，x2＝．17．解：（1）设A型笔记本八月上旬的价格为x元，由题意得：x（1﹣20%）×60≥720解得x≥15答：A型笔记本八月上旬的最低价格为每本15元．（2）设原计划购买的总数量为单位“1”，A型笔记本八月下旬的最低价格为每本15×（1﹣20%）＝12元，由题意得：12（1﹣a%）××1×（1+a%）+12××1×（1+a%）＝12×1×（1+a%）令a%＝t，化简得：t2﹣t＝0解得t1＝0（舍），t2＝0.2∴a＝20答：a的值为20．18．（1）证明：∵方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0，∴△＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝m2+4m+4﹣8m+4＝m2﹣4m+4+4＝（m﹣2）2+4＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根；（2）解：把x＝1代入方程可得1﹣（m+2）+2m﹣1＝0，解得m＝2，∴方程为x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或x＝3，∴方程的另一根为x＝3，当边长为1和3的线段为直角三角形的直角边时，则斜边＝＝，此时直角三角形的周长＝4+，当边长为3的直角三角形斜边时，则另一直角边＝＝2，此时直角三角形的周长＝4+2，综上可知直角三角形的周长为4+或4+2．19．解：设每千克应涨价x元，依题意得方程：（5000﹣400×）（1+x）＝5060，整理，得200x2﹣50x+3＝0，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝0.15．又要价格尽可能的低，应取x＝0.1．答：每千克应涨价0.1元．20．解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为3