2022-2023学年四川省德阳市高一下期末数学试卷含解析

第第页2022-2023学年四川省德阳市高一（下）期末数学试卷（含解析）2022-2023学年四川省德阳市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.集合，，则()

A.B.C.D.

2.复数，则()

A.B.C.D.

3.若向量，，则函数的零点为()

A.，B.，C.，D.，

4.已知、、是直线，是平面，且，，则“”是“，”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

5.如图，某港口一天中时到时的水深变化曲线近似满足函水深数，据此可知，这段时间水深单位：的最大值为()

A.B.C.D.

6.已知，若，，，则()

A.B.C.D.

7.已知点，函数的图象与轴交于、两点，且，当时，函数的值域为()

A.B.C.D.

8.蹴鞠，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚瞰，踢、蹦的含义，鞠最早系外包皮革、内实米镰的球因而蹴鞠就是指我国古人以脚殿、蹦、踢皮球的活动，类似于今日的足球，年月日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列人第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠球的表面上有四点，，，满是：，均为边长为的正三角形，且二面角的大小为，则该鞠的表面积为()

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.已知一组数据：，，，，，，，，，的平均数为，则()

A.

B.这组数据的第百分位数为

C.若将这组数据每一个都加上，则所有新数据的平均数变为

D.若将这组数据每一个都加上，则所有新数据的方差将增加

10.如图所示的正方体中()

A.

B.异面直线与所成的角为

C.若点是直线上一个动点，则四棱锥的体积随着点的运动而改变

D.直线与平面内任意直线都不平行

11.在中，，()

A.若，则存在两个不同的满足条件

B.的外接圆面积为定值

C.边上的高的最大值为

D.为锐角三角形

12.已知()

A.的最大值为

B.的最小正周期为

C.若在处取得最大值，且，则的取值范围为

D.若在处取得量大值，则关于的方程在无实数根

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.某中学田径队有男运动员人，女运动员人，按性别进行分层随机抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为的样本，如果样本按比例分配，则女运动员应该抽取的人数为______．

14.已知角的终边经过点，则______．

15.已知函数满足，，且当时，，则______．

16.如图，半径为的圆内有一条长度等于半径的弦，若圆内部不含圆上有一动点，则的取值范围为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

为了解某中学高一学生的某次月考的数学成绩，备课组人员随机抽取了名学生的数学成绩并进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图已知不低于分为及格，不低于分为优秀．

求实数的值；

若参加本次月考的学生总人数为，试根据样本的相关信息估计本次月考数学成绩及格和优秀的人数．

18.本小题分

已知平面向量，满足：，，，，．

若，求实数的值；

若向量在向量上的投影向量恰为向量，求实数的值．

19.本小题分

已知函数的最小正周期为．

求实数的值及的单调递增区间；

将的图象向左平移个单位后的图象关于直线对称，求实数的最小值．

20.本小题分

如图，四棱锥中，，，，为正三角形，且平面平面，为侧棱的中点．

求证：平面；

若，求直线与平面所成的角的大小．

21.本小题分

记的内角、、的对边分别为、、，且．

若，求的值；

以、、为边长的正三角形的面积分别记为、、，求的最小值．

22.本小题分

设函数满足．

判定的奇偶性并说明理由；

当为奇函数时，是否存在常数，使得关于的不等式在区间上的解集非空，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：因为集合，，

则．

故选：．

根据题意，由集合的交集运算即可得到结果．

本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．

2.【答案】

【解析】因为，

所以．

故选：．

先利用复数的运算法则求出复数，然后可求出其共轭复数．

本题主要考查共轭复数的定义，属于基础题．

3.【答案】

【解析】解：由题意可得，，

令，可得或，所以函数的零点是，．

故选：．

根据题意，由平面向量数量积的坐标运算即可得到函数的解析式，从而得到结果．

本题主要考查向量的数量积以及函数的零点，属于基础题．

4.【答案】

【解析】解：若，则直线垂直平面中任意一条直线，由，，故，，

由，，若，，不明确，是否相交，所以不能推出，

所以“”是“，”的充分不必要条件．

故选：．

根据线面垂直的判定定理，以及充分条件、必要条件的定义可得结果．

本题主要考查充分必要条件的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题．

5.【答案】

【解析】解：由题意可知函数的最小值为，

由，则，解得，

易知函数的最大值为．

故选：．

根据三角函数的值域，结合题意，建立求最小值的方程，可得参数的值，进而可得答案．

本题考查三角函数的值域等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

6.【答案】

【解析】解：依题意，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

又，

所以，

所以，

故选：．

将写成分段函数的形式，根据各段上的单调性比较即可．

本题考查了分段函数的单调性，函数值的大小比较，属于基础题．

7.【答案】

【解析】解：已知函数的图象与轴交于、两点，

所以方程有两个不相等的实数根，

此时，

解得或，

不妨设方程的两个实数根为，，

解得，，

此时，，

又，

易得，，

因为，

所以，

解得，

所以，

因为函数是开口向上的二次函数，对称轴，

所以当时，函数取得极小值，极小值，

又，，

则当时，函数的值域为．

故选：．

由题意，将函数的图象与轴交于、两点转化成方程有两个不相等的实数根，得到，两点的坐标，将转化成，列出等式求出的值，代入函数解析式中，利用二次函数的性质再求解即可．

本题考查二次函数的性质以及函数值域问题，考查了偶记推理、转化思想和运算能力．

8.【答案】

【解析】解：如图，

取的中点为，连接，，

，均为正三角形，，，

则为二面角的平面角，，即，

记，分别是正三角形和正三角形的外心也是重心，

过点，分别作平面和平面的垂线，交点为，连接，，，，

三棱锥外接球的球心，

平面平面，，平面平面，平面，

平面，则，同理可得，可得四边形是平行四边形，

，，

又，四边形为正方形，得，

，，，，平面，平面，

又平面，，

在直角三角形中，球半径．

外接球体积为．

故选：．

由题意画出图形，找到球心的位置，利用勾股定理列出方程，求出外接球的半径，进而得到球的表面积．

本题考查多面体的外接球，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．

9.【答案】

【解析】解：因为，，，，，，，，，的平均数为，

所以，解得，故A正确；

该组数据从小到大排列为，，，，，，，，，，故这组数据的第百分位数为，故B错误；

若将这组数据每一个都加上后数据变为，，，，，，，，，，

所以新数据的平均数，故C正确；

原数据的方差为：

，

新数据的方差为：

，

所以方差没有变化，故D错误．

故选：．

根据平均数求得原数据，然后利用百分位数的概念及平均数与方差的计算公式逐项判断．

本题考查平均数、方差、百分位数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

10.【答案】

【解析】解：对于，平面，平面，，

又，，平面，平面，平面，

而平面，，故A正确；

对于，由，，得四边形为平行四边形，，

或其补角即为异面直线与所成角，连接，

，为等边三角形，可得，

即异面直线与所成的角为，故B错误；

对于，平面平面，平面，平面，

故直线上一个动点到平面的距离为正方体的棱长，

又四棱锥的底面面积为定值，

四棱锥的体积为定值，故C错误；

对于，直线与平面相交，直线与平面内任意直线都不平行，故D正确．

故选：．

由线面垂直的判定与性质判断；利用平行线作出异面直线所成的角，在三角形中求解判断；先证线面平行，从而确定四棱锥的高为定值判断；利用线面关系判断．

本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．

11.【答案】

【解析】解：由正弦定理得，

又，所以或，当时，，

三角形不存在，故只有一个满足条件，故A错误；

设的外接圆的半径为，由正弦定理得，

所以的外接圆面积为，故B正确；

由余弦定理可知，故，当且仅当时，等号成立，

所以，此时面积的最大值为，设边上的高为，

则，所以，即边上的高的最大值为，故C正确；

因为为锐角三角形，所以，所以，

当时，，所以，

所以为锐角三角形，所以为锐角三角形，故D正确．

故选：．

利用正弦定理判断、，通过余弦定理及基本不等式求解三角形面积的最大值，从而求解高的最大值判断，利用锐角三角形的概念判断及充要条件判断．

本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于中档题．

12.【答案】

【解析】解：，其中，

所以函数的最大值为，故A错误；

因为函数的最小正周期为，

函数的最小正周期为，

根据周期函数的性质知，的最小正周期为，故B正确；

由函数在处取得最大值，所以，

即，所以，

因为，所以，所以，所以，故C错误；

由及知，，所以，

即，若，则，

所以，即，无解，

所以关于的方程在无实数根，故D正确．

故选：．

利用辅助角公式化简函数即可求解最值可判断；利用函数周期的性质判断；利用正弦函数最值时的结论得，然后利用正切函数的值域求解范围，判断；利用极值点及方程消去得，然后解正切函数方程即可判断．

本题主要考查三角函数的性质，辅助角公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．

13.【答案】

【解析】解：根据分层抽样的概念，

女运动员应抽取的人数为．

故答案为：．

由分层抽样的概念即可求得．

本题考查随机抽样中的分层抽样，属基础题．

14.【答案】

【解析】解：因为角的终边经过点，

所以，所以．

故答案为：．

根据三角函数的定义以及诱导公式可求出结果．

本题考查三角函数定义和诱导公式，属于基础题．

15.【答案】

【解析】解：由题意，函数满足，可得函数是周期为的函数，

又因为当时，，，

所以．

故答案为：．

根据题意求得函数是周期为的函数，结合，代入即可求解．

本题主要考查了函数的周期性，属于基础题．

16.【答案】

【解析】解：以为原点建立平面直角坐标系，如图：

由题意三角形是边长为的正三角形，则，

设，则，所以，

所以，

因为，所以，所以的取值范围为．

故答案为：．

建立平面直角坐标系，利用坐标法及点的坐标范围求解即可．

本题主要考查向量数量积运算，解答本题的关键是利用坐标法研究数量积的范围问题，尤其是圆中的数量积的范围问题，利用坐标运算把数量积范围问题转化为函数不等式范围问题解决即可．

17.【答案】解：由，

解得；

由知，样本中及格人数的频率为：，

样本中优秀人数的频率为：，

从而本次月考及格和优秀的人数估计分别为：和．

【解析】利用频率分布直方图中各组频率之和为建立方程求解即可；

先求出本次月考数学成绩及格和优秀的频率，然后求解人数即可．

本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．

18.【答案】解：由题意可知，存在使得，

所以，

所以，

解得或；

由向量在向量上的投影向量恰为向量知，

所以，即，

又，，，

所以，

解得或．

【解析】利用向量共线定理建立方程求解即得；

利用投影向量结合数量积的运算律列方程即可求解．

本题主要考查了平行向量的坐标关系，考查了投影向量的定义，属于基础题．

19.【答案】解：，

由得：，即，

由得：，

所以的单调递增区间为．

由知的图象关于直线对称，

所以，所以，

又，所以．

【解析】利用三角恒等变换化简解析式，利用周期求出解析式，代入增区间结论求解即可；

先利用平移变换求得新函数解析式，然后根据函数的对称性求解，求解即可．

本题主要考查了同角平方关系，和差角公式及辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．

20.【答案】解：证明：取侧棱的中点，连结，，

因为为的中点，所以，且，

又，且，

所以，且，即四边形为平行四边形，

从而，且平面，平面，

所以平面．

取的中点，连结，，

因为为正三角形，所以；

又平面平面，平面平面，

所以平面，从而为在平面内的射影，

所以为直线与平面所成的角．

设，则，

所以，

由已知得：，所以，

在中，，

所以，又为锐角，

所以，即直线与平面所成的角为．

【解析】取侧棱的中点，连结，，可证四边形为平行四边形，可得，从而问题得证；

取的中点，连结，，可由条件证得即为所求，再解即可得答案．

本题考