2021年高考真题-数学（全国乙卷）（理科）

2021年高考真题——数学（全国乙卷）（理科）1.设，则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：复数的有关概念共轭复数复数相等的条件及应用答案：C解析：设则则所以解得因此.故选.总结：本题主要考查复数的基本运算，利用待定系数法建立方程是解决本题的关键，是基础题.2.已知集合，，则

（

）A.

​B.

C.

D.

知识点：交集子集答案：C解析：因为当时，集合中任意元素

所以，于是．

故选C．​总结：本题考查集合的包含关系，以及交集运算.3.已知命题：，；命题：，，则下列命题中为真命题的是

（

）A.

B.

C.

D.

知识点：或、且、非的综合应用非或且命题的真假性判断答案：A解析：对于命题：，，

当时，，故命题为真命题，为假命题；

对于命题：，，

因为，又函数为单调递增函数，故，

故命题为真命题，为假命题，

所以为真命题，为假命题，为假命题，为假命题，

故选A．总结：本题考查了命题真假的判断，解题的关键是掌握全称命题和存在性命题真假的判断方法，考查了逻辑推理能力．4.设函数，则下列函数中为奇函数的是（

）A.

B.

C.

D.

知识点：函数图象的平移变换函数奇、偶性的定义函数的对称性答案：B解析：方法一：所以函数的图象关于点对称.因为奇函数的图象关于原点对称，所以需要将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，故选.

方法二：对于故不是奇函数，故不正确；对于是奇函数，故正确；同理显然的图象均不关于原点对称，因此都不是奇函数，故不正确.故选.总结：本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定的对称中心，考查了逻辑推理能力．5.在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（

）A.

B.

C.

D.

知识点：异面直线所成的角答案：D解析：方法一：如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为则所以所以〈〉又直线与所成的角为锐角，所以直线与所成的角为故选.

方法二：如图，连接易知所以与所成的角即为与所成的角.连接易知为等边三角形，且为的中点，故所以直线与所成的角为故选.

6.将

名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶

个项目进行培训，每名志愿者只分配到

个项目，每个项目至少分配

名志愿者，则不同的分配方案共有（

）A.

种

B.

种

C.

种

D.

种知识点：排列与组合的综合应用答案：C解析：

名志愿者选

个

组，有

种方法，然后

组进行全排列，有

种，共有

种，故选C．​总结：本题主要考查排列组合的应用，利用先分组后排列的方法是解决本题的关键．7.把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则A.

B.

C.

D.

知识点：由的图象变换过程三角函数的图象变换答案：B解析：把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，

把函数的图象，向左平移个单位长度，得到的图象；

再把图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得的图象．

故选B．​总结：本题主要考查函数的图象变换规律，属基础题．8.在区间与中各随机取个数，则两数之和大于的概率为（

）A.

B.

C.

D.

​知识点：简单的线性规划问题事件的互斥与对立几何概型答案：B解析：本题属于几何概型问题，可转化为已知求的概率.如图所示，则所求概率

​​故选.

​总结：本题考查了线性规划知识、三角形的面积、几何概型、对立事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力．9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为表高，称为表距，和都称为表目距，与的差称为表目距的差，则海岛的高

​A.

B.

C.

D.

知识点：用余弦定理、正弦定理解三角形三角函数中的数学文化答案：A解析：，，故，即，

解得：，，

故：．

故选A．​总结：本题考查了相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力．10.设，若为函数的极大值点，则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：导数与极值答案：D解析：因为，

（Ⅰ）所以当时，函数在单调，无极值，不合条件；

(Ⅱ)当时，因为，所以，

①若并且时，，由，得：或，由，得：，所以这时在上单调递增，在上单调递减，是函数的极大值点，符合条件；​

②若，并且时，，由，得：或，由，得：，所以这时在上单调递减，在上单调递增，是函数的极小值点，不符合条件；​

③若，并且时，，由，得：，由，得：或，这时在上单调递减，在上单调递增，是函数的极小值点，不符合条件；

④若，并且时，，由，得：，由，得：或，所以这时在上单调递增，在上单调递增，是函数的极大值点，符合条件；

因此，若为函数的极大值点，则，必须满足条件：并且或并且．由此可见，A，B均错误；又总有成立，所以C错误，D正确．

故选D．

总结：本题考查利用导数研究函数的极值、极值点，考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，属于较难题．11.设是椭圆：的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.

知识点：椭圆的离心率椭圆上点的横坐标与纵坐标的范围答案：C解析：由题意得设则所以

.因为所以当即时，即符合题意，由可得即；当即时即化简得显然该不等式不成立.综上可知的离心率的取值范围是.故选.12.设，，，则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：导数与单调性不等式比较大小答案：B解析：，，

，

令，，

令，则

，

​，

，

在上单调递增，

，

，，

同理令，

再令，则

，

.

，

，

在上单调递减，

，

，

，

．

故选B．总结：本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性和最值的关系，考查了转化思想，属于难题．13.已知双曲线：的一条渐近线为，则的焦距为

​．知识点：双曲线的渐近线双曲线的其他性质答案：4解析：根据题意，双曲线：的一条渐近线为，

则有，解可得，

则双曲线的方程为，

则，

其焦距；

故答案为．14.已知向量，，若，则​​

​．知识点：向量坐标与向量的数量积向量垂直答案：解析：因为向量

则，

又，

所以，

解得．

故答案为．15.记的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，则

​．知识点：余弦定理及其应用答案：解析：的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，

，

又，（负值舍）

故答案为．16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为

​（写出符合要求的一组答案即可）．

知识点：三视图答案：②⑤或③④解析：由题可知侧视图只能是②或③.若侧视图是②，则三棱锥的直观图如图其中平面平面此时俯视图为⑤；若侧视图是③，则三棱锥的直观图如图其中平面此时俯视图为④.综上所述，所选侧视图和俯视图的编号依次为②⑤或③④.

17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了

件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备新设备旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．(1)求，，，；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．知识点：方差与标准差样本平均数与总体平均数答案：(1)由题中的数据可得，

,

,

,

(2)，

，

所以，

故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．解析：(1)略(2)略18.如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为中点，且．

(1)求；(2)求二面角的正弦值．知识点：直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的性质定理用空间向量研究两个平面所成的角答案：(1)连结，因为底面，且平面，则，

又，，，平面，

所以平面，又平面，则，

所以，又，

则有，

所以，

则，所以，解得；

(2)因为两两垂直，故以点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，

则，0，，

所以，，，

设平面的法向量为，

则有即

令，则，，故，

设平面的法向量为，

则有即

令，则，故，

所以，

设二面角的平面角为，

则

，

所以二面角的正弦值为．解析：(1)连结，利用线面垂直的性质定理证明，从而可以证明平面，得到，证明，即可得到的长度；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可．

本题考查了空间中线段长度求解以及二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．19.记为数列的前项和，为数列的前项积，已知．(1)证明：数列是等差数列；(2)求的通项公式．知识点：数列的前n项和等差数列的通项公式等差数列的定义与证明数列的通项公式答案：(1)当时，，

由，解得，

当时，，

代入，消去，

可得，所以

所以是以为首项，为公差的等差数列．(2)由题意，得，

由，可得，

由，可得

当时，，

显然不满足该式，

所以​解析：(1)略(2)略20.己知函数，已知是函数的极值点．(1)求；(2)设函数证明：．知识点：导数与单调性导数与极值利用导数证明不等式答案：(1)由题意，的定义域为，

令，则，，

则，

因为是函数的极值点，则有，

即，所以，

当时，

，且，

因为，

则在上单调递减，

所以当时，，当时，，

所以时，时函数的一个极大值．

综上所述，；​(2)证明：由可知，，

要证，即需证明，

因为当时，，

当时，，

所以需证明，

即，

令，

则，

所以，当时，，

当时，，

所以为的极小值点，所以，

即，

故，所以．​解析：(1)确定函数的定义域，令，由极值的定义得到，求出的值，然后进行证明，即可得到的值；(2)将问题转化为证明，进一步转化为证明，令，利用导数研究的单调性，证明，即可证明．总结：(2)本题考查了导数的综合应用，主要考查了利用导数研究函数的极值问题，利用导数证明不等式问题，此类问题经常构造函数，转化为证明函数的取值范围问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于难题．21.已知抛物线：的焦点为，且与圆：上点的距离的最小值为．(1)求；(2)若点在上，，为的两条切线，，是切点，求面积的最大值．知识点：点到直线的距离利用导数求曲线的切线方程（斜率）抛物线的标准方程抛物线的定义与圆有关的最值问题圆锥曲线的最值（范围）问题答案：(1)点到圆上的点的距离的最小值为，解得；(2)由知，抛物线的方程为，即，则，

设切点，，

则易得，，

从而得到，

设：，联立抛物线方程，消去并整理可得，

，即，且，，

，

，

，

①，

又点在圆：上，故，

代入①得，，

而，

当时，．​解析：(1)由点到圆上的点最小值为建立关于的方程，解出即可；​(2)对求导，由导数的几何意义可得出直线及的方程，进而得到点的坐标，再将的方程与抛物线方程联立，可得，以及点到直线的距离，进而表示出的面积，再求出其最小值即可．总结：(2)本题考查圆锥曲线的综合运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力．22.在直角坐标系中，的圆心为，半径为．(1)写出的一个参数方程；(2)过点作的两条切线.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．知识点：简单曲线的参数方程简单曲线的极坐标方程及应用答案：(1)的圆心为，半径为，

则的标准方程为，

的一个参数方程为（为参数．(2)由题意可知两条切线方程斜率存在，设切线方程为，即，

圆心到切线的距离，

解得，

所以切线方程为，

因为，，

所以这两条切线的极坐标方程为．解析：(1)求出的标准方程，即可求得的参数方程；(2)求出直角坐标系中的切线方程，再由，即可求解这两条切线的极坐标方程．总