2023年高考真题-数学（全国甲卷）（理科）

2023年高考真题——数学（全国甲卷）（理科）1.设集合，，为整数集，则（

）​​​​A.

​B.

​C.

​D.

​知识点：交集全集与补集答案：A解析：整数集，所以.2.若复数，则（

）​​A.

B.

C.

D.

知识点：复数相等的条件及应用复数的乘法答案：C解析：，所以解得.故选C.3.执行下面的程序框图，输出的（

）

​​A.

B.

C.

D.

知识点：算法与程序框图答案：B解析：，，，，，，，，，，，结束，输出.​4.向量，且，则（

）​​​​​A.

​B.

​C.

​D.

​知识点：数量积的性质数量积的运算律答案：D解析：因为，所以，平方得同理得所以同理

所以故选D.​​​​​​5.已知等比数列中，​的前项和为，，则（

）​A.

B.

C.

D.

知识点：等比数列前n项和的应用答案：C解析：，当时，不成立，当时，，解得，，故选C.6.百分之六十的人喜欢滑雪，百分之五十的人喜欢滑冰，百分之七十的喜欢清雪或滑冰，问一个人在喜欢滑冰的前提下，他又喜欢滑雪的概率是多少（

）​​A.

B.

C.

D.

知识点：Venn图条件概率的应用答案：A解析：由韦恩图易知既喜欢滑冰又喜欢滑雪为，所以，故选A.​​7.“”是“”的（

）​A.

充分条件但不是必要条件​B.

必要条件但不是充分条件​C.

充要条件​D.

既不是充分条件也不是必要条件​知识点：充分、必要条件的判定同角三角函数的平方关系答案：B解析：故​​“”是“”的必要不充分条件，故选B.​8.已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于两点,则（

）​A.

B.

C.

​D.

​知识点：双曲线的离心率双曲线的渐近线直线与圆相交答案：D解析：双曲线的离心率为，即，所以，所以渐近线方程为，圆心到渐近线的距离，​故选D.​9.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，​则两天中恰有人连续参加两天服务的选择种数为​（

）A.

B.

C.

D.

知识点：排列与组合的综合应用答案：B解析：.​10.已知为函数向左平移个单位所得函数，则与​的交点个数为（

）​A.

B.

C.

D.

知识点：三角函数的图象变换函数零点个数的判定答案：C解析：由题可知，由图可知有个交点.​

​11.在四棱锥中，底面为正方形，，，，​则的面积为（

）​A.

B.

C.

D.

知识点：余弦定理及其应用棱锥的结构特征及其性质三角形的面积（公式）答案：C解析：由题可知，由余弦定理，由几何关系可得，所以，从而，所以.12.已知椭圆，为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，​则（

）​A.

B.

C.

D.

知识点：椭圆的标准方程椭圆的定义答案：B解析：由焦点三角形面积公式知，代入数据，代入方程得，所以.​​​​​​13.若为偶函数，则

​​知识点：函数奇、偶性的定义余弦（型）函数的奇偶性答案：解析：为偶函数，则，所以​​​14.设满足约束条件，设则的最大值为

​.​​​​知识点：根据线性规划求最值或范围答案：解析：通过作图（图略）可知，当过点时，得最大值.​15.在正方体中，分别为的中点，则以为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为

​​​知识点：与球有关的切、接问题答案：解析：由于球心是正方体的中心，球的半径为，交于正方体每条棱的中点，所以交点总数为个.​16.已知中，平分交于点则

​.​​​​​​知识点：余弦定理及其应用三角形的面积（公式）答案：解析：由余弦定理得，可得，由等面积法可知化简得，代入得​​​​​​17.已知数列​中，，​设​为​前项和，.​​(1)求的通项公式.(2)求数列的前项和.​知识点：数列的递推公式累乘法求数列通项错位相减法求和答案：(1)①，时，②，①②得，，所以，当时，，是从第项开始的常数数列，，所以，当时，，，所以.​(2)，，，两式相减，，所以解析：(1)略(2)略18.在三棱柱中，底面到平面的距离为.

​(1)证明：​(2)​​若直线与距离为求与平面所成角的正弦值.​知识点：点到平面的距离平面与平面垂直的判定定理平面与平面垂直的性质定理直线与平面所成的角答案：(1)证明：底面平面，即，平面，

平面，平面平面，

过作交于

平面平面，平面，平面

​​​​到平面的距离为，

在中，

设则

解得​​​​​​(2)，

过作交于则为中点，​​

​，​

且到平面的距离也为，

则与平面所成角的正弦值为​.​解析：(1)略(2)略19.为探究某药物对小鼠的生长作用，将只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）.​(1)设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为求的分布列和数学期望；​(2)测得只小鼠体重如下（单位：）:（已按从小到大排好）

对照组：

​​

实验组：

​​​①求只小鼠体重的中位数并完成下面列联表：

对照组

实验组

​​②根据列联表，能否有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.

参考数据：​知识点：列联表众数、中位数和平均数超几何分布独立性检验及其应用离散型随机变量的均值或数学期望答案：(1)的可能取值为，

，，，

​的分布列为​​(2)①中位数为，所以，

列联表为：

对照组实验组②故能有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.​解析：(1)略(2)①略②略20.直线与交于两点，.​​​​​(1)求的值.(2)为的焦点，为抛物线上的两点，且，求面积的最小值.​知识点：抛物线的标准方程直线与抛物线的综合应用圆锥曲线的弦长及中点弦问题圆锥曲线的最值（范围）问题答案：(1)设，联立，得，​​，且，所以，​，，解得（舍），.​​​​(2)由（1）可知，设直线方程为，联立，得，，

所以，，，所以，所以或，当​​​​​​

​时，​解析：(1)略(2)略21.已知函数.​​(1)当时,讨论函数的单调性.​(2)若，求的取值范围.​知识点：利用导数求参数的取值范围利用导数讨论函数单调性导数中不等式恒成立与存在性问题答案：(1)，令，则，则，当​​​​时，，当，即，当，即，所以在上单调递增，在上单调递减.(2)恒成立，即恒成立，令，则，，令，再令​，​，（扩充因式分解​），所以由复合函数单调性易知在上单调递减，当时，，当时，，所以存在唯一的零点，使得，则当时，在上单调递增，则，不满足；当时，，所以在上单调递减，所以，满足；综上，的取值范围是.​​​​​​​​​解析：(1)略(2)略22.已知，直线为参数)，为的倾斜角，​​与轴正半轴，轴正半轴分别交于两点，且.​​(1)求的值；(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程.知识点：参数方程和普通方程的互化简单曲线的参数方程极坐标和直角坐标的互化答案：(1)因为与轴，轴正半轴交于两点，所以，

令，，令，，

所以，所以，

即，解得，

因为，所以．(2)由（1）可知，直线的斜率为，且过点，

所以直线的普通方程为：，即，

由可得直线的极坐标方程为．解析：(1)略(2)