超几何分布高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

北师大新版数学选择性必修第一册

第六章

概率4.2超几何分布学习目标1.通过具体实例，了解超几何分布的概念；（重点）2.理解超几何分布与二项分布的区别与联系（难点）3.会用超几何分布解决简单的实际问题.（难点）复习导入1.离散型随机变量

所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列······3.分布列的性质Xx1x2…xi…xnPP1P2…Pi…Pn复习导入2.二项分布X01knP1.n重伯努利试验与二项式定理有联系吗?(其中k=0，1，2，···，n)随机变量X的分布列:

X01kn

P引例：已知在10件产品中有4件次品，现从这10件产品中任取3件，用X表示取得的次品数，试写出X的分布列.

分析

已知在10件产品中有4件次品，故X的可能取值为0,1,2,3.

类似地，“X=1”表示“任取的3件产品中恰有1件次品”，这意味着，取出1件次品和3-1件正品，共有C41C10-43-1种取法。故

事实上，“X=k”（k=0,1,2,3）表示“取出的3件产品中恰有k件次品”，这意味着，从4件次品中取出k件，再从10-4件正品中取出3-k件，共有C4kC10-43-k种取法，故X的分布列为

当总产品个数为N个，其中次品个数为M个，从中任取n件产品，用X表示取出的次品个数，你能写出它的分布列吗？？因此，随机变量X的分布列如下表：X0123P

超几何分布

注意：1.由较明显的两部分组成；2.不放回抽样；3.注意分布列的表达式中，各个字母的含义及随机变量的取值范围.1.公式中个字母的含义N—总体中的个体总数M—总体中的特殊个体总数(如次品总数)n—样本容量k—样本中的特殊个体数(如次品数)2.求分布列时可以直接利用组合数的意义列式计算,不必机械记忆这个概率分布列.3.“任取n件,恰有k件次品”是一次性抽取,用组合数列式.4.各对应的概率和必须为1.

其中n≤N,M≤N,n,M,N∈N+.注意：例1、下列随机变量X是否服从超几何分布？如果服从，那么各分布的参数（即定义中的N,M,n）分别是多少？（1）一个班共有45名同学，其中女生20人，现从中任选7人，用X表示其中女生的人数；是，N=45，M=20，n=7是，N=8，M=6，n=3题型一：判断是否为超几何分布（2）袋中有完全相同的6个黑球和2个白球，从中取出3个球，用X表示取出的黑球的个数.

超几何分布与二项分布的区别与联系（1）由古典概型得出超几何分布，由独立重复试验得出二项分布，放回摸球是二项分布，不放回摸球是超几何分布.（2）对于不放回摸球，当N充分大，且n远远小于N时，各次抽样结果彼此影响很小，可近似认为是独立的.此时，超几何分布可以用二项分布近似.因此X的分布列为X0123P求分布列的步骤:定值

求概率

列表

（1）求取出的3个球的颜色都不相同的概率；

0123

现有10张奖券，其中8张1元的，2张5元的，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．

3711因此，X的分布列为：

X

0

12

3

P变式训练

盒中有16个白球和4个黑球，从中任取3个，设X表示其中黑球的个数，求出X的分布列.若X服从超几何分布,

超几何分布的均值若X服从超几何分布,

探究2

超几何分布的期望

根据国家工信部关于全面推行中国特色企业新型学徒制，加强技能人才培养的通知，我区明确面向各类企业全面推行企业新型学徒制培训，深化产教融合，校企合作，学徒培养以符合企业岗位需要的中、高级技术工人.2022年度某企业共需要学徒制培训200人，培训结束后进行考核，现对考核取得相应岗位证书进行统计，统计情况如下表：岗位证书初级工中级工高级工技师高级技师人数2060604020问题1：.现从这200人中采用分层随机抽样的方式选出10人组成学习技能经验交流团，则交流团中取得技师类（包括技师和高级技师）岗位证书的人数是多少？

0123

方法总结：

解决此类问题的关键是，先判断所给的问题是否是超几何分布问题，若是则直接利用公式求出离散型随机变量X的概率，要注意N,M,n的取值.当然也可以用古典概型来求概率.

（1）从混合的芯片中任取1个，求这个芯片是合格品的概率；

0123

某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（1）

求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

0123

当堂检测2、一批产品共10件，次品率为20﹪，从中任取2件，则正好取到1件次品的概率是（）B10351、设10件产品中有3件次品，现从中抽取5件，用X表示抽到的次品的件数，则X服从参数为___、____、____(即定义中的N,M,n)的超几何分布.

C

D

注意：1.由较明显的两部分组成；2.不放回抽样；3.注意分布列的表达式中，各个字母的含义及随机变量的取值范围.

一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品.从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取岀的n件产品中次品的件数，那么

其中n≤N,M≤N,n,M,N∈N+.1.超几何分布

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