流体力学流体运动学

流体力学流体运动学第1页，课件共69页，创作于2023年2月引言

静止（包括相对静止）是流体的一种特殊的存在形态，运动（或流动）才是流体更普遍的存在形态，也更能反映流体的本质特征。因此相对流体静力学而言，研究流体的运动规律及其特征具有更加深刻的意义。这也为流体动力学——研究在外力作用下流体的运动规律，打下了理论的基础。第2页，课件共69页，创作于2023年2月

§3－l流体运动的描述方法

把流体流动占据的空间称为流场。在流场中，每个质点均有确定的速度和压力，都是空间坐标和时间的连续函数。流场也可以理解为速度场和压力场的综合。表征流体运动的量，如速度、压力等统称为运动要素。

一、拉格朗日法

拉格朗日法研究对象是单个流体质点，研究其运动要素（位置、速度）等的变化过程，显然是一种质点系法。拉格朗日法着眼于流体各质点本身的运动情况，也就是要表示出每个流体质点自始自终的运动过程。把任一流体质点在初始时刻t0时的坐标（a，b，c）作为该质点的标志，则不同的（a，b，c）就表示流动空间的不同质点。这样，不同的（a，b，c）变数表示流场中的不同质点。第3页，课件共69页，创作于2023年2月

运动开始前，质点的起始坐标为（a，b，c），经过时间t，它运动到（x，y，z）。x、y、z表示任一流体质点经过时间t的位置，是（a，b，c）及t的函数，即

这种通过描述每一质点的运动达到了解流体运动的方法，称为拉格朗日法。表达式中的自变量（a，b，c），称为拉格朗日变量。流体质点的速度为第4页，课件共69页，创作于2023年2月流体质点的加速度

流体质点的压力p和密度ρ也同样是（a，b，c）和的函数第5页，课件共69页，创作于2023年2月二、欧拉法

物理学中场定义为物理量在空间的分布，如速度场、压力场等。流体力学中，流场是指流体质点运动经过的全部空间。欧拉法以流场为研究对象，以空间点为着眼点，研究空间点上各质点的运动要素及其变化规律，来获得整个流场的运动特性。

欧拉法不是跟踪个别质点，而是在同一时间研究流场中各质点的流速、压力的变化。质点的流速、压力和密度均是空间坐标（x，y，z）和时间t的函数，变量x，y，z，t统称为欧拉变量。即第6页，课件共69页，创作于2023年2月加速度可用速度对时间的导数来表示，由全导数公式有

dx，dy，dz表示在无穷小一段时间内流体质点的位移分量，由位移分量对时间的导数得出速度分量表达式则

式中，右边第一项表示流体质点在某一点（x，y，z）的速度随时间的变化率，称为当地加速度（时变加速度）。后三项之和则表示流体质点在同一时间内，因坐标位置变化而形成的加速度，称为位变加速度（迁移加速度）。第7页，课件共69页，创作于2023年2月同理可得：用矢量表示哈密尔顿算子(Hamiton)式中第8页，课件共69页，创作于2023年2月

对比拉格朗日法和欧拉法的不同变量，就可以看出两者的区别：前者以a、b、c为变量，是以一定质点为对象；后者以x、y、z为变量，是以固定空间点为对象。只要对流动的描述是以固定空间，固定断面，或固定点为对象，应采用欧拉法，而不是拉格朗日法。第9页，课件共69页，创作于2023年2月§3－2流场的基本概念

恒定流与非恒定流迹线和流线一维、二维、三维流动流管、流束及总流过流断面、流量和平均流速均匀流和非均匀流第10页，课件共69页，创作于2023年2月

§3－2流场的基本概念一、恒定流与非恒定流（定常流与非定常流）

恒定流动是指流场中流动参数不随时间变化而改变的流动。它满足下列条件：其速度和压强表示为：

第11页，课件共69页，创作于2023年2月若流场的流动参数的全部或其中之一与时间变化有关，即随时间变化而改变，则这类流场的流动称为非恒定流，其速度和压强的描述为

实际中，恒定流只是相对的，绝对的恒定流是不存在的。本课程主要研究恒定流动问题。第12页，课件共69页，创作于2023年2月

二、迹线和流线

1、迹线迹线是流体质点在一段时间过程中运动的轨迹线。迹线的特点是：对于每一个质点都有一个运动轨迹，所以迹线是一族曲线。如图所示AB曲线是质点M的迹线，在这一迹线上取微元长度ds表示该质点M在dt时间内的微小位移，则其速度为速度的分量为

(3-1)上式为迹线的微分方程，表示质点M的轨迹。dx、dy、dz为ds在各坐标轴上的投影，由上式得dsczyxBAzyxu第13页，课件共69页，创作于2023年2月2、流线流线是在同一时刻流场中连续不同位置质点的流动方向线。流线的特点：①流线上各质点的流速都与流线相切。②流线不能相交，即某瞬时通过流场中固定点只能有一条流线。③恒定流时，流线与迹线重合。④流线是光滑曲线不能转折。

第14页，课件共69页，创作于2023年2月边界急剧变化处，液体质点受惯性作用会脱离固体边界，主流与边界之间产生旋涡区。而且随着边界的变化，流线有疏有密。流线密，表示流速大，流线疏，表示流速小。第15页，课件共69页，创作于2023年2月

★流线微分方程在流线上过任意点取微元有向线段，，过该点的速度与该点切线重合，即。则有设得流线的微分方程表达式为第16页，课件共69页，创作于2023年2月迹线与流线的比较：①流线由无穷多个质点组成的，它是表示这无穷多个流体质点在某一固定瞬间运动的曲线。迹线则表示在一段时间过程中同一流体质点运动的曲线。

②流线与迹线方程是不相同的，迹线方程式以时间t为自变量，由此决定其运动轨迹。流线方程式中，时间t是给定量，随时间t不同，流线方程式也不相同。③在恒定流中，流线与迹线相重合。即流线和迹线是一致的，没有区别。第17页，课件共69页，创作于2023年2月积分得例：流体运动的速度函数为ux＝x＋t，uy＝－y＋t，uz＝0求t＝0时过M(－1，－1)点的流线和迹线。解：流线的微分方程为

当t＝0时，x＝－1，y＝－1代入上式得：C＝－1。当t＝0时，过M(－1，－1)点的流线是即(等边双曲线方程)第18页，课件共69页，创作于2023年2月

则

那么

将(3)、(4)式代入(1)式得

迹线的微分方程

(1)、(2)式为非齐次常系数的线性常微分方程。由(1)式得(3)(4)(2)(1)第19页，课件共69页，创作于2023年2月

(分部积分公式：)同理

得用分部积分得(5)将(5)式代入(3)式得当t＝0时，x＝－1，y＝－1代入上式得A＝B＝0。当t＝0时，过M(－1，－1)质点的迹线为消去t后得

(直线方程)由此可见，当流动与时间t有关时，流线和迹线是不相重合的。第20页，课件共69页，创作于2023年2月三、一维、二维、三维流动流体的运动要素是空间坐标和时间的函数。按照流体运动要素与空间坐标有关的个数（维数），可以把流体分为一维流、二维流、三维流。

一维（一元）流动，若流场中的运动参数仅与一个空间自变量有关，这种流动称为一维流动。即

二维（二元）流动，若流动参数与两个空间自变量有关，则称之为二维流动。在直角坐标系中，二维空间是个平面，因而二维流动又称平面流动。

三维（三元）流动，运动参数与三个空间自变量有关，则称为三维流动（空间流动）。第21页，课件共69页，创作于2023年2月四、流管、流束及总流

1、流管

在流场中取任意封闭曲线，通过这个闭合曲线上各点作流线，这些流线所围成的管，称为流管。

2、流束充满在流管内部的全部流体，称为流束。断面无穷小的流束，称为微小流束或元流。

3、总流在流动周界内全部微小流束（元流）的总和称为总流。第22页，课件共69页，创作于2023年2月

2、流量

单位时间内流经过流断面的流体量，称为流量。通常用体积流量Q，质量流量M和重力流量G表示，其相应的单位是m3/s，kg/s和N/s。

1、过流断面（过水断面）

垂直于所有流线的流体横断面称为过流断面。如果流线互相平行，这时过流断面为平面，否则过流断面为曲面。五、过流断面、流量和平均流速第23页，课件共69页，创作于2023年2月

设微小流束过流断面积为dA，经过时间dt，微小流束以流速u相对于断面1—1的位移为udt，则该时段内通过微小流束断面1—1的流体体积。将等式两边同除dt，可得微小流束的体积流量总流的体积流量Q则应是微小流束流量dQ对总流过流断面面积A的积分，即第24页，课件共69页，创作于2023年2月

3、平均流速平均流速是一种设想的速度，即假设总流同一过流断面上各点的速度都相等，大小均等于断面平均流速v。那么，以断面平均流速通过的流量等于该过流断面上各点实际流速所通过的流量，即则

把v定义为断面平均流速。总流的流量等于断面平均流速v与过流断面面积A的乘积。即

Q＝

vA第25页，课件共69页，创作于2023年2月

六、均匀流和非均匀流均匀流——流线是平行直线的流动，即则

也就是说均匀流中位变加速度（迁移加速度）为零。均匀流中各过流断面上的流速分布图沿程不变，过流断面是平面，沿程各过流断面的形状和大小都保持一样。

例：等直径直管中的液流或者断面形状和水深不变的长直渠道中的水流都是均匀流。非均匀流——流线不是平行直线的流动，即非均匀流中流场中相应点的流速大小或方向或同时二者沿程改变，即沿流程方向速度分布不均。第26页，课件共69页，创作于2023年2月

渐变流（缓变流）：流速沿流程变化缓慢，流线间的夹角很小，近似为相互平行的直线。

急变流：流速沿程变化急剧，流线间的夹角很大非均匀流第27页，课件共69页，创作于2023年2月

§3-3流体微团的运动微团运动的分解微团运动的组成分析无旋流动和有旋流动流体质点是可以忽略线性尺度效应的最小单元。流体微团则是由大量流体质点所组成的具有线性尺度效应的微小流体团。第28页，课件共69页，创作于2023年2月一、微团运动的分解从理论力学知道，刚体的运动可以分解为平移和绕某瞬时轴的转动之和。流体微团基本运动形式除了平移和转动之外，还有变形运动。

刚体运动＝平移＋转动

流体微团运动＝平移＋转动＋变形

怎样把平移、转动和变形这三种基本运动显示出来？自19世纪40年代，英国数学家斯托克斯（Stokes,1845），德国力学家亥姆霍兹（Helmhotz,H.1858）先后提出速度分解定理，从理论上解决了这个问题。第29页，课件共69页，创作于2023年2月在流场中取一微团，设其上一点P的流体的速度分量为ux(x,y,z)、uy(x,y,z)、uz(x,y,z)，在同一瞬间，微团上另一点Q的速度分量为、、

三元函数的泰勒级数为

一元函数的泰勒级数为第30页，课件共69页，创作于2023年2月Q点速度按泰勒级数展开，并略去二阶向量以上的各项，在此则（1）由上式可见，Q点的速度可以用P点的速度及九个速度分量的偏导数来表示。第31页，课件共69页，创作于2023年2月用上列类似的配项方法，其余二式得：上式的第一式右方加减及并重新加以组合得：，第32页，课件共69页，创作于2023年2月

为了简化起见，引用下列符号：代入前式，则

(2)上式即为流体微团的速度分解公式，亦称亥姆霍兹(Helmhotz)速度分解定理。第33页，课件共69页，创作于2023年2月二、微团运动的组成分析从形式上看，速度分解定理把比较简单的式（1）变为结果反而更复杂的式（2），但这不是没有原因的。为了便于讨论，仅以二维流动为例来分析矩形微团ABCD的运动，设微团的边长为dx及dy，A点的速度（ux，uy），按二元泰勒级数展开（忽略二阶以上微量）得微团ABCD各点的速度分量：

A点

坐标(0,0)速度（ux，uy）

第34页，课件共69页，创作于2023年2月x方向f(x0,y0)＝ux速度y方向f(x0,y0)＝uy速度

C点坐标（dx,0）即h＝dx，k＝0x方向f(x0,y0)＝ux速度y方向f(x0,y0)＝uy速度

B点坐标（0，dy）即h＝0，k＝dy第35页，课件共69页，创作于2023年2月第36页，课件共69页，创作于2023年2月

D点

坐标（dx,dy）即h＝dx，k＝dyx方向f(x0,y0)＝ux速度y方向f(x0,y0)＝uy速度设流体微团从初始位置ABCD，经过dt时间后，矩形平面ABCD将变成A1B′D′C′的形状和位置。第37页，课件共69页，创作于2023年2月

点x方向的速度分量y方向的速度分量ABCD各点各方向速度分量第38页，课件共69页，创作于2023年2月整个变化过程可以看作是由以下几种基本运动形成所组成。1、平移运动A点的速度分量ux，uy是矩形微团其它各点相应速度分量的组成部分。若不考虑B、C、D各点的速度与A点相差部分，则经过dt时间后，微团平移到新的位置A1B1D1C1，其形状及大小没有改变。由此可知ux、uy是微团在x、y方向的平移速度。同理，对于空间流场，ux、uy、uz为平移速度。第39页，课件共69页，创作于2023年2月

在x方向上C点速度分量要比A点大(∂ux/∂x)dx；D点比B点大(∂ux/∂x)dx。故边长AC和BD在x方向要拉长（或缩短）(∂ux/∂x)dxdt（拉长为正，缩短为负），即A1C1拉长到A1C2，B1D1拉长到B1D2。同理，边长AB和CD在y方向拉长（缩短）均为(∂uy/∂y)dydt。2、变形运动（1）线变形线变形是直线线段单位长度单位时间的线变形。由于矩形微团ABCD各角点在x方向的速度分量的不相同。第40页，课件共69页，创作于2023年2月

线变形(线变形速率)为(3)同理

这里称εxx为微团在x方向的线变形或线变率，εyy为y方向的线变形，εzz为z方向的线变形。由于线变形使微团ABCD变成A1B2D2C2。第41页，课件共69页，创作于2023年2月

（2）角变形如图，因C点在y方向的速度分量比A点在y方向的速度分量有增量(∂uy/∂x)dx，使AC边，即A1C2边逆时针偏转dα角。同理B点在x方向比A点在x方向有速度增量(∂ux/∂y)dy，使AB边，即A1B2边顺时针偏转dβ角。考虑到dα和dβ是很小的角，所以：第42页，课件共69页，创作于2023年2月分母中第二项与第一项比是高阶微量，可略去不计，于是：

因此，A1C2边和A1B2边的旋转角速度分别为

第43页，课件共69页，创作于2023年2月

通常把微团的旋转角速度之和的一半称为角变形(角变形速率)。角变形同理

εxy表示微团在xoy平面上的角变形，或称为绕z轴的剪切角速度。绕x轴的剪切角速度绕y轴的剪切角速度上式说明角变形是流体微团中某一直角减少速度的一半。第44页，课件共69页，创作于2023年2月

3、旋转运动在一般情况下，dα≠dβ，流体微团在xoy平面上除了产生剪切变形外，还有绕z轴的旋转。对角线A1D1经过dt时间转到A1D′，旋转的角度为dγ。∠B′A1C′的等分角线A1D′。第45页，课件共69页，创作于2023年2月由此可见，ωz代表流体微团绕z轴的旋转角速度。

绕x轴的旋转角速度绕y轴的旋转角速度结论：流场中任何微团的运动一般都可以认为由平移、变形及转动所组成。同理第46页，课件共69页，创作于2023年2月此运动称为无旋流动或有势流动。三、无旋流动和有旋流动流体运动根据流体微团有无旋转角速度而划分为有旋（有涡）流动和无旋（无涡）运动两种。1、无旋（无涡）流动在流动空间中，流体微团仅有平移和变形运动，而没有旋转运动，即在流动空间中有第47页，课件共69页，创作于2023年2月

2、有旋（有涡）流动在流场中，流体微团存在旋转运动，即ωx、ωy、ωz三者中，至少有一个不为零，则称为有旋流动。一般来讲，无旋流存在于无粘性的理想流体中，有旋流存在于有粘性的实际流体中。但实际流体运动在某些情况下也可以是无旋流，如实际流体的层状渗流便是。流动究竟是有旋还是无旋，要根据流体微团本身是否绕自身轴旋转来决定，而不是根据流体微团的轨迹形状来决定。第48页，课件共69页，创作于2023年2月

判断流体是否有旋与判断刚体运动是否转动是完全不同的。刚体只要质点作圆周运动，那么处处有旋；如果作直线运动，那么就处处无旋。而且对于刚体，圆心一点有旋，则点点有旋。而流体则不同，圆心一点有旋，其它点不一定有旋，一点不能代表全体，必须逐点检验。如图所示的运动中微团运动轨迹是一条直线，但微团本身却发生了转动，这种运动是有旋流动。如图所示的流动中，微团的轨迹是一个圆，但微团本身并没有旋转，因此这种流动是无旋流动。第49页，课件共69页，创作于2023年2月例：判别下列流动是有旋流动还是无旋流动。（1）已知速度场ux＝ay，uy＝uz＝0，其中a为常数，流线是平行于x轴的直线。（2）已知速度场ur＝0，uθ＝b/r，其中b是常数，流线是以原点为中心的同心圆。uyuxθ第50页，课件共69页，创作于2023年2月

是无旋流动。解：（1）本题为平面流动，只需判别ωz是否为零。是有旋流动。（2）取直线坐标，任意点P(x,y)的速度分量第51页，课件共69页，创作于2023年2月则称Ω为涡量。与速度场u对应，Ω也构成一个场，称之为涡量场。上式中▽为哈密尔顿（Hamilton）算子，其定义为

3、涡量定义设有速度场u，令在直角坐标系中，，根据定义式可写出涡量分量式为第52页，课件共69页，创作于2023年2月

或

则此流场为无旋流动。涡量是表明流体旋转运动的一个物理量。若流体流动中Ω≠0，即Ωx、Ωy、Ωz三个分量中只要有一个不为零，则称该流场中流体流动为有旋流动，又称为旋涡运动。若流场中处处有Ω＝0，则该流场中流体流动称为无旋流动。即流场满足下列方程第53页，课件共69页，创作于2023年2月§3－4连续性方程

三维流动的连续性方程微小流束的连续性方程总流连续性方程第54页，课件共69页，创作于2023年2月一、三维流动的连续性方程(continuityequation)

在流场中任取一点C（x，y，z）为中心的微小六面体，其边长为dx，dy，dz。六面体中心点C的流速为u，u={ux，uy，uz}，流体密度为ρ。由于流体的连续性，在dt时间内：六面体的质量差值＝流入量－流出量在x方向质量差值用泰勒级数展开得：1—2面速度密度第55页，课件共69页，创作于2023年2月密度3—4面速度

密度流出3—4面的质量为在dt时间内，流入1—2面的质量为第56页，课件共69页，创作于2023年2月六面体x方向流体质量的差值为同理，y方向

z方向

在dt时间内，流体流入六面体与流出六面体质量之差总值为第57页，课件共69页，创作于2023年2月

流体密度随时间的变化也影响六面体中的质量。设在t时刻流体密度为ρ，在t+dt时刻密度为，在dt时间内由于密度变化而使六面体中增加的流体质量为根据质量守恒定律，dt时间内流入与流出六面体的流体质量之差必等于六面体在该时间内流体质量的增量，即则得：

上式为可压缩流体非恒定流的连续性方程。第58页，课件共69页，创作于2023年2月

可压缩流体恒定流（）的连续性方程为

不可压缩流体（ρ=常数）恒定流或非恒定流的连续性方程为

例1：已知空气流动速度场为

ux=6(x+y2),uy=2y+z3,uz=x+y+4z试分析这种流动状况是否连续？解：根据连续性方程所以说明空气的流动是不连续的。

第59页，课件共69页，创作于2023年2月例2：下面的平面流场，流动是否连续？ux=x3siny,uy=3x2cosy解：因为所以这个流动是连续的。第60页，课件共69页，创作于2023年2月二、微小流束的连续性方程在总流中，任取一流段1，2的微小流束，其过流断面面积分别为dA1和dA2，相应的流速为u1和u2，密度分别为ρ1和ρ2。经过dt时间，从1—1断面流入的流体质量为从2—2断面流出的流体质量为流入和流出微小流束的质量差值为第61页，课件共69页，创作于2023年2月

设在t时刻微小流束内的流体密度为ρ，t+dt时刻，密度为，在dt时间由于密度变化而使微小流束增加的流体质量为根据质量守恒定律，dt时间内流入与流出微小流束的流体质量之差必等于微小流束在该时间内流体质量的增量。即得式中dV——微小流束的体积。上式