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文档简介

一、实数与数轴第一节预备知识二、实数绝对值三、区间与邻域第1页一、实数与数轴整数集

无理数

这种无限不循环小数称为无理数.有理数集有理数与无理数统称为实数，实数集记为R.自然数集

第2页

正无理数负无理数(无限不循环小数)正有理数零负有理数实数有理数无理数正整数正分数负整数负分数一条有原点、正方向和长度单位直线称为数轴-3-2-10123实数与数轴上点一一对应x第3页二、实数绝对值例如，|2.78|=2.78，|–9|=9，|0|=0.几何意义:|x|表达点x到原点0距离.而|x-y|表达点x与点y距离实数x绝对值，记为|x|，它是一种非负实数.即|x|=第4页实数绝对值有如下性质：(5)设，则|x|<a充要条件是–a<x<a.(6)设，则充要条件是.(7)设，则|x|>a充要条件是x<–a或者x>a.(8)设，则充要条件是或者.(2)对于任意，有|–x|=|x|.(4)对于任意，有.(1)对于任意，有.当且仅当x=0时，才有|x|=0.(3)对于任意，有.第5页它们几何解释是很直观.例如性质(5)，在数轴上|x|<a表达所有与原点距离不大于a点x组成点集，–a<x<a表达所有位于点–a和点a之间点x组成点集,它们表达同一种点集.性质(6)—(8)可作类似解释.由性质(5)能够推得不等式|x–A|<a与A–a<x<A+a是等价，其中A为实数，a为正实数.第6页有关四则运算绝对值，有下列结论:对任意，恒有第7页仅就结论(1)进行证明.证：由性质(4)，有(相称于性质(6)中)，得根据性质(6)，由于第8页三、区间与邻域区间包括四种有限区间和五种无限区间，它们名称、记号和定义如下(其中a，b为确定实数，分别为区间左端点和右端点):第9页第10页第11页第12页表达分别以为左、右端点开区间，区间长度为.邻域：

称实数集为点a邻域，记作a称为邻域中心，称为邻域半径.由邻域定义知第13页在中去掉中心点a得到实数集称为点a去心邻域，记作.显然，去心邻域

是两个开区间并，即第14页例如:|x-5|<,即为以点a=5为中心，以为半径

邻域，也就是开区间（５－，５＋）＝

（４.5,５.５）

２１２１２１再

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