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文档简介
第1页10、函数的奇偶性与周期性第2页1.若对于函数
f(x)
定义域内任意一种
x,都有
f(-x)=f(x),则称
f(x)
为偶函数.一、函数奇偶性2.若对于函数
f(x)
定义域内任意一种
x,都有
f(-x)=-f(x),则称
f(x)
为奇函数.二、简单性质研究半个区间!1.奇函数图象有关原点对称,偶函数图象有关
y
轴对称.反之成立!2.单调性:3.奇函数:f(0)=0(0
在定义域中),偶函数:f(x)=f(|x|).
3.若函数
f(x)
不具有上述性质,则称
f(x)
不具有奇偶性;若函数同步具有上述两条性质,则
f(x)
既是奇函数,又是偶函数.例:函数
f(x)=0(x∈D,D有关原点对称)是既奇又偶函数.第3页三、函数奇偶性判定办法1.根据定义判定:首先看函数定义域是否有关原点对称,若不对称,则函数是非奇非偶函数;若对称,再判定
f(-x)=f(x)
或
f(-x)=-f(x).2.利用定理,借助函数图象判定:
3.性质法判定:
在公共定义域内,两奇函数之积(商)为偶函数;两偶函数之积(商)也为偶函数;
一奇一偶函数之积(商)为奇函数.
(注意取商时分母不为零!)有时判定
f(-x)=±f(x)
比较困难,可考虑判定
f(-x)
f(x)=0或判定
=
1.f(x)f(-x)第4页四、函数周期性假如存在一种非零常数
T,使得对于函数定义域内任意
x,都有
f(x+T)=f(x),则称函数
f(x)
为周期函数,T
为函数一种周期.若f(x)周期中,存在一种最小正数,则称它为函数最小正周期.若周期函数
f(x)
最小正周期为
T,则
f(
x)(
0)
也为周期函数,且最小正周期为.
|
|T
第5页六、奇偶性推广(周期)证明用解析法第6页第7页第8页第9页六、典型例题1.判断下列函数奇偶性:偶函数奇函数既奇又偶函数非奇非偶函数(1)f(x)=
;2x(1+2x)2(2)f(x)=lg(x+
x2+1);(3)f(x)=log2(1-x2+
x2-1
+1);(4)f(x)=(1-x)
;1-x
1+x
奇函数(5)f(x)=
;|x+3|-3
lg(1-x2)
偶函数(6)f(x)=x(+
).3x-1
1
12【解题回忆】本题应先化简f(x),再判断f(x)奇偶性,若直接判断f(x)奇偶性。第10页2.(1)设函数
f(x)
定义域有关原点对称,判断下列函数奇偶性:①F(x)=
[f(x)+f(-x)];②G(x)=
[f(x)-f(-x)];1212(2)试将函数
y=2x
表达为一种奇函数与一种偶函数和.3.设f(x)与g(x)分别为奇函数和偶函数,若f(x)-g(x)=(
)x,比12较
f(1)、g(0)、g(-2)
大小.4.设函数
f(x)
定义域有关原点对称,且满足:①
存在正常数
a,使
f(a)=1;②
f(x1-
x2)=.求证:
(1)
f(x)
是奇函数;(2)
f(x)
是周期函数,并且有一种周期为
4a.f(x1)f(x2)+1f(x2)-f(x1)f(1)>g(0)>g(-2)偶函数奇函数y=
(2x-2-x)+
(2x+2-x)1212g(x)=-
(2-x+2x).12f(x)=(2-x-2x),12f(a+x)=1-,f(x)+12f(2a+x)=-
,f(x)1f(4a+x)=f(x).第11页5.已知定义在
R
上函数
y=f(x)
满足
f(2+x)=f(2-x),且
f(x)是偶函数,当
x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,求
x∈[-4,0]时
f(x)
体现式.6.已知
f(x)
是定义在
R
上不恒为零函数,且对于任意
a,
b∈R
都满足:f(ab)=af(b)+bf(a).(1)求
f(0),f(1)
值;(2)判断
f(x)
奇偶性,并证明你结论.7.已知
f(x)
是定义在
R
上函数,且对于任意
a,b∈R
都满足:f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b)
且
f(0)
0.(1)求证:f(x)是偶函数;(2)若存在正数
m,使
f(m)=0,求满足
f(x+T)=f(x)
一种
T(T
0)值.f(x)=2x+7(-4≤x≤-2)-2x-1
(-2<x≤0)0,0,f(-1)=0,f(-b)=-f(b),
奇函数(1)f(0)=1,f(-b)=f(b),
(2)考虑
f(a+m),f(a+2m),f(a+4m).
第12页1.设
f(x)(x∈R)是以
3
为周期奇函数,且
f(1)>1,f(2)=a,则()A.a>2B.a<-2C.a>1D.a<-12.已知奇函数
f(x)
在
x>0
时体现式为
f(x)=2x
-
,则当
x<-
时有()1214A.f(x)>0B.f(x)<0C.f(x)+f(-x)<0D.f(x)+f(-x)>0课堂练习3.函数f(x)=奇偶性是()A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数|x-2|4-x2
DBC4.已知
y=f(x-1)
是偶函数,则
y=f(x)
图象有关()A.直线
x+1=0
对称B.直线
x-1=0
对称C.直线
x-=0
对称
D.y
轴对称12A第13页5.奇函数
f(x)
在[3,7]上是增函数,在[3,6]上最大值为
8,最小值为
-1,则
2f(-6)+f(-3)
值为()A.5B.-5C.-13
D.-156.奇函数
f(x)
在[-1,0]上是减函数,
,
是锐角三角形两个内角,且
,则下列不等式中正确是()A.f(cos
)>f(cos
)B.f(sin
)>f(sin
)C.f(cos
)<f(cos
)
D.f(sin
)<f(cos
)DD7.已知
f(x)
图象有关直线
x=a
对称,又有关点
(m,n)
对称,
其中
m
a.求证
f(x)
是以
4(a-m)
为周期周期函数.证:由已知,f(x)=f(2a-x),且f(x)+f(2m-x)=2n,
∴
f[4(a-m)
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