【解析】2023年七年级上册数学人教版单元分层测试 第二章 整式的加减 B卷

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2023年七年级上册数学人教版单元分层测试第二章整式的加减B卷

一、选择题

1．（2023七下·金华期末）下列说法中，正确的是（）

A．的系数是B．的常数项是1

C．次数是2次D．是二次多项式

【答案】D

【知识点】单项式的次数和系数；多项式的项和次数

【解析】【解答】解：A、的系数是，A错误；

B、的常数项是-1，B错误；

C、次数是3次，C错误；

D、是二次多项式，D正确，

故答案为：D.

【分析】单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，次数最高的项的次数就是这个多项式的次数.

2．已知-4a与一个多项式的积是，则这个多项式是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知识点】多项式除以单项式

【解析】【解答】解：∵-4a与一个多项式的积是，

∴这个多项式为：

故答案为：D.

【分析】-4a与一个多项式的积为，则直接利用整式的除法运算法则得出答案.

3．（2023七下·南宁期末）现用同品质的A，B两种钢板制作某产品，有如下两种用料方案：方案1用5块A型钢板，9块B型钢板：方案2用4块A型钢板，10块B型钢板．已知每块A型钢板的面积比B型钢板大．设每块A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y．从省料角度考虑，应选（）

A．方案1B．方案2

C．方案1与方案2都一样D．无法确定

【答案】B

【知识点】整式的加减运算

【解析】【解答】解：根据题意得，方案1的钢板面积为：5x十9y，方案2的钢板面积为：4x十10y，

∴（5x+9y）-（4x+10y）=5x+9y-4x-10y=x-y>0，

∴5x+9y>4x+10y，

∴从省料的角度考虑，应选方案2.

故答案为：B.

【分析】设每块A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y，根据题意写出方案1和方案2所用钢板面积的表达式，作差比较大小，得出方案2省料.

4．（2023七下·扬州月考）有若干个形状大小完全相同的小长方形，现将其中个如图摆放，构造一个正方形；其中个如图摆放，构造一个新的长方形各小长方形之间不重叠且不留空隙若图和图中阴影部分的面积分别为和，则每个小长方形的面积为()

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】整式的混合运算

【解析】【解答】解：设小长方形的宽为a，长为b，

由图1得：，

，

由图2得：，

，

则，

即，

则53-ab=39，

得到：ab=14，

故答案为：B.

【分析】设小长方形的长和宽分别为a和b，根据阴影部分的面积分别为39和106，列方程求解即可.

5．（2023·宜昌）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（）．

日一二三四五六

1234

567891011

12131415161718

19202122232425

262728293031

A．左上角的数字为

B．左下角的数字为

C．右下角的数字为

D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数

【答案】D

【知识点】整式的加减运算

【解析】【解答】解：A、左上角的数字为a-1，故A错误；

B、左下角的数字为a+6，故B错误；

C、右下角的数字为a+7，故C错误；

D、方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数，故D正确.

故答案为：D.

【分析】根据右上角的数字为a，可知左上角的数字比右上角的数字小1，左下角的数字比右上角的数字大6，右下角的数字比右上角的数字大7，即可作判断.

6．（2023七下·石阡期中）在矩形内，将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b的正方形纸片（），按图1，图2两种方式放置（两个图中均有重叠部分），矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，当时，的值是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】整式的混合运算

【解析】【解答】解：由图可得：

由图1得：S1=AD·AB-a2-b(AD-a)，

由图2得：S2=AD·AB-a2-b(AB-a)-b2，

∴=AD·AB-a2-b(AD-a)-[AD·AB-a2-b(AB-a)-b2]

=AD·AB-a2-b·AD+ab-AD·AB+a2+b·AB-ab+b2

=-b（AD-AB）+b2，

∵AD-AB=2，

∴原式=-2b+b2，

故答案为：C.

【分析】根据图形先求出S1=AD·AB-a2-b(AD-a)，再求出S2=AD·AB-a2-b(AB-a)-b2，最后计算求解即可。

7．（2023七上·景德镇期中）记，则（）

A．一个偶数B．一个质数

C．一个整数的平方D．一个整数的立方

【答案】C

【知识点】整式的混合运算

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴是一个整数的平方；

故答案为：C.

【分析】本题利用平方差公式计算即可，关键在等式两边同时乘（3-1）。

8．（2023八上·内江期中）如图，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形（正方形和正方形）.3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为（）

A．90B．96C．98D．100

【答案】A

【知识点】整式的混合运算

【解析】【解答】解：设长方形ABCD的长为a，宽为b，则由已知及图形可得：

S1的长为：8-6=2，宽为：b-8，故S1=2（b-8），

S2的长为：8+6-a=14-a，宽为：6+6-b=12-b，故S2=（14-a）（12-b），

S3的长为：a-8，宽为：b-6，故S3=（a-8）（b-6），

∵2S3+S1-S2=2，

∴2（a-8）（b-6）+2（b-8）-（14-a）（12-b）=2，

∴2（ab-6a-8b+48）+2b-16-（168-14b-12a+ab）=2，

∴ab-88=2，

∴ab=90.

故答案为：A.

【分析】设长方形ABCD的长为a，宽为b，则由已知及图形可求出S1、S2、S3的长，宽及面积，再结合2S3+S1-S2=2，可整体求出ab的值，即得长方形的面积.

二、填空题

9．（2023七下·鄠邑期末）化简：.

【答案】

【知识点】整式的混合运算

【解析】【解答】解：原式=3a2-2a2+a=a2+a.

故答案为：a2+a

【分析】利用单项式乘以多项式的法则，先去括号，再合并同类项.

10．（2023七下·海曙期末）若的展开式中不含和项，则的值为．

【答案】17

【知识点】整式的混合运算

【解析】【解答】解：展开原式=x4-3x3+nx2+mx3-3mx2+mnx-8x2+24x-8n；

合并同类项，得=x4+（m-3）x3+（n-3m-8）x2+（mn+24）x-8n；

由题意可得，则n=17.

故答案为17.

【分析】展开原式，并根据题意得到方程组.

11．（2023七下·开州期末）若一个四位正整数（各个数位均不为0），百位数字比千位数字小3，个位数字比十位数字小2，则称该数为“和平数”，例如：4131，9642都是“和平数”，将一个四位正整数的百位和十位交换位置后得到四位数，若为“和平数”，且能被9整除，则满足条件的所有值中，的最大值是．

【答案】

【知识点】整式的混合运算

【解析】【解答】解：设P的千位数为m，十位数为n，由题意得P=1000m+100（m-3）+10n+n-2，

∵能被9整除，

∴m+m-3+n+n-2=2m+2n-5可以被9整除，

∵3≤n≤9，4≤m≤9，

当2m+2n-5=9时，m+n=7，

∴m=4，n=3，

∴P=4131，

∴=-2，

当2m+2n-5=18时，m+n=11.5，不合题意；

当2m+2n-5=27时，m+n=16，

∴m=9，n=7，故P=9675，则=-1，

m=8，n=8，故P=8586，则=-3，

m=7，n=9，故P=7497，则=-5，

∴的最大值是-1，

故答案为：-1

【分析】设P的千位数为m，十位数为n，先根据整式的加减结合整式的除法进行分类讨论，进而得到P的值即可得到。

12．（2023七下·瓯海期中）如图，5张长为a，宽为b(a>b)的小长方形纸片，不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示。设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，S始终保持不变，则a，b满足的关系是．

【答案】a=2b

【知识点】整式的混合运算；多项式的项和次数

【解析】【解答】解：如图，

左上角阴影部分的长为AE，宽为AF=2b，右下角阴影部分的长为PC，宽为CG=a，

∵AD=AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=3b+PC，AD=BC，

∴AE+a=3b+PC，即AE-PC=3b-a，

∴阴影部分的面积差为S=AE·AF-PC·CG=2b·AE-a·PC=2b（3b-a+PC）-aPC=（2b-a）PC+6b2-2ab，

∵S始终保持不变，

∴2b-a=0，

∴a=2b.

故答案为：a=2b.

【分析】左上角阴影部分的长为AE，宽为AF=2b，右下角阴影部分的长为PC，宽为CG=a，由AD=BC可得AE-PC=3b-a，进而表示出左上角与右下角的面积，求出其差，由差与BC无关可得a与b的关系式.

三、计算题

13．（2023七下·电白期末）计算下列各题：

（1）；

（2）．

【答案】（1）解：

（2）解：

【知识点】整式的混合运算

【解析】【分析】（1）根据积的乘方、幂的乘方法则可得原式=8x6y3·(-7xy2)÷14x4y3，然后根据单项式与单项式的乘除法法则进行计算；

（2）根据多项式与多项式的乘法法则、合并同类项法则以及多项式与单项式的除法法则进行计算.

四、解答题

14．（2023七下·南宁月考）化简求值：，其中x＝3，．

【答案】解：原式=3x2y-（2xy-2xy+3x2y+xy）=3x2y-2xy+2xy-3x2y-xy=-xy

当x＝3，时，

原式=

【知识点】利用整式的加减运算化简求值

【解析】【分析】先去括号（括号前的数要与括号里的每一项相乘，不能漏乘；括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号），再合并同类项（同类项才能合并），然后将x、y的值代入化简后的代数式求值即可.

15．（2023七下·达州月考）如果关于的多项式的值与无关，你能确定的值吗？并求的值

【答案】解：

=3x2+2mx-x+1+2x2-mx+5-5x2+4mx+6x

它的值与x的取值无关，

，

当时，

【知识点】整式的加减运算；利用整式的加减运算化简求值

【解析】【分析】先根据整式加法法则计算题干给出的第一个多项式，进而由该式的值与x的取值没有关系可得含x项的系数为0，从而可得关于字母m的方程，求解得出m的值，最后将待求式子根据整式加法法则计算化简后代入m的值计算即可得出答案.

16．（2023七下·西安月考）某县学校分为初中部和小学部，做广播操时，两部分别站两个不同的操场上进行，站队时，做到了整齐划一，初中部排成的是一个规范的长方形方阵，每排人，站有排；小学部站的方阵更特别，排数和每排人数都是.试求：该县直学校初中部比小学部多多少名学生；

【答案】解：由题意，得：初中部的学生人数为：，

小学部的学生人数为，

，

∴该县直学校初中部比小学部多名学生.

【知识点】整式的混合运算

【解析】【分析】根据排数乘以每排的人数结合多项式乘以多项式的法则分别算出初中部与小学部的人数，最后再根据整式的减法运算方法求差即可.

五、综合题

17．（2022七上·宁波期中）已知口，、△分别代表19中的三个自然数．

（1）如果用△表示一个两位数，将它的个位和十位上的数字交换后得到一个新的两位数Δ，若Δ与Δ的和恰好为某自然数的平方，则该自然数是；

（2）如果在一个两位数Δ前揷入一个数口后得到一个三位数口△，设△代表的两位数为x，口代表的数为y，则三位数口Δ用含x，y的式子可表示为；

（3）设a表示一个两位数，b表示一个三位数，把a放在b的左边组成一个五位数m，再把b放在a的左边、组成一个新五位数n．试探索：m﹣n能否被9整除？并说明你的理由．

【答案】（1）11

（2）100y+x

（3）解：∵a表示一个两位数，b表示一个三位数，

∴把a放在b的左边组成一个五位数m＝1000a+b，

把b放在a的左边100b+a，

∴m﹣n＝（1000a+b）﹣（100b+a）

＝1000a+b﹣100b﹣a

＝999a﹣99b

＝9（111a﹣11b），

∴m﹣n能被9整除．

【知识点】整式的加减运算

【解析】【解答】解：（1）设＝a，Δ＝b，

∴10a+b+10b+a＝11a+11b＝11（a+b），

由题意可知，a+b=11，该自然数为11.

（2）∵x是两位数，y是一位数，

∴该三位数为：100y+x，

故答案为：100y+x；

【分析】（1）设＝a，Δ＝b，用十位上的数字乘以10加上个位上的数字可以表示出这两个两位数，由整式加法法则算出这两个两位数的和，并将和由乘法分配律逆用进行变形为11（a+b），由两个两位数的和恰好为某自然数的平方即可得出答案；

（2）根据放在两位数的左边就扩大100倍，故用百位上的数字y乘以100加上△代表的两位数为x即可得出答案；

（3）根据放在三位数的左边扩大1000倍，放两位数的左边九扩大100倍，故用a×1000＋b可表示出m，用100×b＋a可表示出n，进而根据整式加法法则算出m-n，将结果逆用乘法分配律变形得9（111a﹣11b）即可判断得出答案.

18．（2022七下·鄞州期末）给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于x的二次多项式的特征系数对，把关于x的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式.

（1）关于x的二次多项式的特征系数对为；

（2）求有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积；

（3）若有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积的结果为；直接写出的值为.

【答案】（1）（3，2，-1）（3，2，-1）

（2）解：∵有序实数对的特征多项式为，有序实数对的特征多项式为，∴；

（3）-6

【知识点】整式的混合运算

【解析】【解答】解：（1）∵我们把有序实数对叫做关于x的二次多项式的特征系数对，∴关于x的二次多项式3x2+2x+1的特征系数对为（3，2，-1）（3，2，-1）.

（2）解：若有序实数对的特征多项式为px2+qx-1有序实数对的特征多项式为mx2+nx-2由题意得（px2+qx-1）（mx2+nx-2）=2x4+x3-10x2-x+2令，则，∴，∴，∴，∴.

【分析】（1）利用定义：我们把有序实数对叫做关于x的二次多项式的特征系数对，可得到关于x的二次多项式3x2+2x+1的特征系数对.

（2）利用特征数对系数的定义，分别得到（1，4，4），（1，-4，4）对应的二次多项式；然后利用多项式乘以多项式的法则先去括号，再合并同类项，可得答案.

（3）利用特征系数对的定义，结合已知可得到（px2+qx-1）（mx2+nx-2）=2x4+x3-10x2-x+2；再观察所求的（4p-2q-1）（2m-n-1）的值中的4p-2q-1，可设x=-2，代入（px2+qx-1）（mx2+nx-2）=2x4+x3-10x2-x+2中，然后进行化简，可求出（4p-2q-1）（2m-n-1）的值.

19．（2022七下·江阴期中）提出问题：怎么运用矩形面积表示（y+2）（y+3）与2y+5的大小关系（其中y>0）？

几何建模：

（1）画长y+3，宽y+2的矩形，按图方式分割

（2）变形：2y+5=（y+2）+（y+3）

（3）分析：图中大矩形的面积可以表示为（y+2）（y+3）；阴影部分面积可以表示为（y+3）×1，画点部分的面积可表示为y+2，由图形的部分与整体的关系可知：

（y+2）（y+3）＞（y+2）+（y+3），即（y+2）（y+3）＞2y+5

归纳提炼：

当a>2，b>2时，表示ab与a+b的大小关系．根据题意，设a=2+m，b=2+n（m>0，n>0），要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用铅笔画图，并标注相关线段的长）

【答案】解：（1）画长为2+m，宽为2+n的矩形，并按图方式分割．

（2）变形：a+b=（2+m）+（2+n）

（3）图中大矩形面积可表示为（2+m）（2+n）；阴影部分面积可表示为2+m与2+n的和．由图形的部分与整体的关系可知，（2+m）（2+n）＞（2+m）+（2+n），即ab＞a+b．

【知识点】整式的混合运算

【解析】【分析】画长为2+m，宽为2+n的矩形，并按图方式分割，图中大矩形面积可表示为（2+m）（2+n）；阴影部分面积可表示为2+m与2+n的和．由图形的部分与整体的关系可知，（2+m）（2+n）＞（2+m）+（2+n），即ab＞a+b．

20．（2022七下·太原期末）阅读下面材料，完成相应的任务：

阿贝尔公式数学界三大奖项之一的阿贝尔奖，是为了纪念挪威著名数学家阿贝尔所设．阿贝尔是近代数学发展的先驱，他年轻时利用阶梯图形，发现了重要的恒等式——阿贝尔公式．如右图，用两种方法将一个二级阶梯图形分别分割成两个长方形．按图1的方法，该阶梯图形的面积为；按图2的方法，长方形①的面积为，长方形②的面积为，根据图1、图2面积相等，可得到二级阶梯图形对应的阿贝尔公式：．

任务：

（1）推理验证：材料中的阿贝尔公式可用代数运算验证，请补全如下说理过程：

因为右边＝．

左边＝a1b1＋a2b2，左边＝右边，

所以，a1b1＋a2b2＝a1（b1－b2）＋（a1＋a2）b2．

（2）类比探究：如下图，用两种方法将一个三级阶梯图形分别分割成三个长方形．

①图4中长方形B的长为a1＋a2，宽为▲；

②由图3、图4面积相等，可得三级阶梯图形对应的阿贝尔公式为：a1b1＋a2b2＋a3b3＝al（bl－b2）＋▲＋▲．

请补全该公式，并进行验证．

【答案】（1）

（2）解：①；

②；

理由：因为右边

左边，左边=右边，

所以，．

【知识点】整式的混合运算

【解析】【分析】（1）将公式右边去括号、合并得解，可得左边=右边，即可验证；

（2）由图形直接可得①；②由图3的面积=图4中A的面积+B的面积+C的面积填空即可；将等式右边利用去括号、合并进行整理，可得左边=右边，即可验证.

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2023年七年级上册数学人教版单元分层测试第二章整式的加减B卷

一、选择题

1．（2023七下·金华期末）下列说法中，正确的是（）

A．的系数是B．的常数项是1

C．次数是2次D．是二次多项式

2．已知-4a与一个多项式的积是，则这个多项式是（）

A．B．

C．D．

3．（2023七下·南宁期末）现用同品质的A，B两种钢板制作某产品，有如下两种用料方案：方案1用5块A型钢板，9块B型钢板：方案2用4块A型钢板，10块B型钢板．已知每块A型钢板的面积比B型钢板大．设每块A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y．从省料角度考虑，应选（）

A．方案1B．方案2

C．方案1与方案2都一样D．无法确定

4．（2023七下·扬州月考）有若干个形状大小完全相同的小长方形，现将其中个如图摆放，构造一个正方形；其中个如图摆放，构造一个新的长方形各小长方形之间不重叠且不留空隙若图和图中阴影部分的面积分别为和，则每个小长方形的面积为()

A．B．C．D．

5．（2023·宜昌）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（）．

日一二三四五六

1234

567891011

12131415161718

19202122232425

262728293031

A．左上角的数字为

B．左下角的数字为

C．右下角的数字为

D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数

6．（2023七下·石阡期中）在矩形内，将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b的正方形纸片（），按图1，图2两种方式放置（两个图中均有重叠部分），矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，当时，的值是（）

A．B．C．D．

7．（2023七上·景德镇期中）记，则（）

A．一个偶数B．一个质数

C．一个整数的平方D．一个整数的立方

8．（2023八上·内江期中）如图，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形（正方形和正方形）.3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为（）

A．90B．96C．98D．100

二、填空题

9．（2023七下·鄠邑期末）化简：.

10．（2023七下·海曙期末）若的展开式中不含和项，则的值为．

11．（2023七下·开州期末）若一个四位正整数（各个数位均不为0），百位数字比千位数字小3，个位数字比十位数字小2，则称该数为“和平数”，例如：4131，9642都是“和平数”，将一个四位正整数的百位和十位交换位置后得到四位数，若为“和平数”，且能被9整除，则满足条件的所有值中，的最大值是．

12．（2023七下·瓯海期中）如图，5张长为a，宽为b(a>b)的小长方形纸片，不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示。设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，S始终保持不变，则a，b满足的关系是．

三、计算题

13．（2023七下·电白期末）计算下列各题：

（1）；

（2）．

四、解答题

14．（2023七下·南宁月考）化简求值：，其中x＝3，．

15．（2023七下·达州月考）如果关于的多项式的值与无关，你能确定的值吗？并求的值

16．（2023七下·西安月考）某县学校分为初中部和小学部，做广播操时，两部分别站两个不同的操场上进行，站队时，做到了整齐划一，初中部排成的是一个规范的长方形方阵，每排人，站有排；小学部站的方阵更特别，排数和每排人数都是.试求：该县直学校初中部比小学部多多少名学生；

五、综合题

17．（2022七上·宁波期中）已知口，、△分别代表19中的三个自然数．

（1）如果用△表示一个两位数，将它的个位和十位上的数字交换后得到一个新的两位数Δ，若Δ与Δ的和恰好为某自然数的平方，则该自然数是；

（2）如果在一个两位数Δ前揷入一个数口后得到一个三位数口△，设△代表的两位数为x，口代表的数为y，则三位数口Δ用含x，y的式子可表示为；

（3）设a表示一个两位数，b表示一个三位数，把a放在b的左边组成一个五位数m，再把b放在a的左边、组成一个新五位数n．试探索：m﹣n能否被9整除？并说明你的理由．

18．（2022七下·鄞州期末）给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于x的二次多项式的特征系数对，把关于x的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式.

（1）关于x的二次多项式的特征系数对为；

（2）求有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积；

（3）若有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积的结果为；直接写出的值为.

19．（2022七下·江阴期中）提出问题：怎么运用矩形面积表示（y+2）（y+3）与2y+5的大小关系（其中y>0）？

几何建模：

（1）画长y+3，宽y+2的矩形，按图方式分割

（2）变形：2y+5=（y+2）+（y+3）

（3）分析：图中大矩形的面积可以表示为（y+2）（y+3）；阴影部分面积可以表示为（y+3）×1，画点部分的面积可表示为y+2，由图形的部分与整体的关系可知：

（y+2）（y+3）＞（y+2）+（y+3），即（y+2）（y+3）＞2y+5

归纳提炼：

当a>2，b>2时，表示ab与a+b的大小关系．根据题意，设a=2+m，b=2+n（m>0，n>0），要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用铅笔画图，并标注相关线段的长）

20．（2022七下·太原期末）阅读下面材料，完成相应的任务：

阿贝尔公式数学界三大奖项之一的阿贝尔奖，是为了纪念挪威著名数学家阿贝尔所设．阿贝尔是近代数学发展的先驱，他年轻时利用阶梯图形，发现了重要的恒等式——阿贝尔公式．如右图，用两种方法将一个二级阶梯图形分别分割成两个长方形．按图1的方法，该阶梯图形的面积为；按图2的方法，长方形①的面积为，长方形②的面积为，根据图1、图2面积相等，可得到二级阶梯图形对应的阿贝尔公式：．

任务：

（1）推理验证：材料中的阿贝尔公式可用代数运算验证，请补全如下说理过程：

因为右边＝．

左边＝a1b1＋a2b2，左边＝右边，

所以，a1b1＋a2b2＝a1（b1－b2）＋（a1＋a2）b2．

（2）类比探究：如下图，用两种方法将一个三级阶梯图形分别分割成三个长方形．

①图4中长方形B的长为a1＋a2，宽为▲；

②由图3、图4面积相等，可得三级阶梯图形对应的阿贝尔公式为：a1b1＋a2b2＋a3b3＝al（bl－b2）＋▲＋▲．

请补全该公式，并进行验证．

答案解析部分

1．【答案】D

【知识点】单项式的次数和系数；多项式的项和次数

【解析】【解答】解：A、的系数是，A错误；

B、的常数项是-1，B错误；

C、次数是3次，C错误；

D、是二次多项式，D正确，

故答案为：D.

【分析】单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，次数最高的项的次数就是这个多项式的次数.

2．【答案】D

【知识点】多项式除以单项式

【解析】【解答】解：∵-4a与一个多项式的积是，

∴这个多项式为：

故答案为：D.

【分析】-4a与一个多项式的积为，则直接利用整式的除法运算法则得出答案.

3．【答案】B

【知识点】整式的加减运算

【解析】【解答】解：根据题意得，方案1的钢板面积为：5x十9y，方案2的钢板面积为：4x十10y，

∴（5x+9y）-（4x+10y）=5x+9y-4x-10y=x-y>0，

∴5x+9y>4x+10y，

∴从省料的角度考虑，应选方案2.

故答案为：B.

【分析】设每块A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y，根据题意写出方案1和方案2所用钢板面积的表达式，作差比较大小，得出方案2省料.

4．【答案】B

【知识点】整式的混合运算

【解析】【解答】解：设小长方形的宽为a，长为b，

由图1得：，

，

由图2得：，

，

则，

即，

则53-ab=39，

得到：ab=14，

故答案为：B.

【分析】设小长方形的长和宽分别为a和b，根据阴影部分的面积分别为39和106，列方程求解即可.

5．【答案】D

【知识点】整式的加减运算

【解析】【解答】解：A、左上角的数字为a-1，故A错误；

B、左下角的数字为a+6，故B错误；

C、右下角的数字为a+7，故C错误；

D、方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数，故D正确.

故答案为：D.

【分析】根据右上角的数字为a，可知左上角的数字比右上角的数字小1，左下角的数字比右上角的数字大6，右下角的数字比右上角的数字大7，即可作判断.

6．【答案】C

【知识点】整式的混合运算

【解析】【解答】解：由图可得：

由图1得：S1=AD·AB-a2-b(AD-a)，

由图2得：S2=AD·AB-a2-b(AB-a)-b2，

∴=AD·AB-a2-b(AD-a)-[AD·AB-a2-b(AB-a)-b2]

=AD·AB-a2-b·AD+ab-AD·AB+a2+b·AB-ab+b2

=-b（AD-AB）+b2，

∵AD-AB=2，

∴原式=-2b+b2，

故答案为：C.

【分析】根据图形先求出S1=AD·AB-a2-b(AD-a)，再求出S2=AD·AB-a2-b(AB-a)-b2，最后计算求解即可。

7．【答案】C

【知识点】整式的混合运算

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴是一个整数的平方；

故答案为：C.

【分析】本题利用平方差公式计算即可，关键在等式两边同时乘（3-1）。

8．【答案】A

【知识点】整式的混合运算

【解析】【解答】解：设长方形ABCD的长为a，宽为b，则由已知及图形可得：

S1的长为：8-6=2，宽为：b-8，故S1=2（b-8），

S2的长为：8+6-a=14-a，宽为：6+6-b=12-b，故S2=（14-a）（12-b），

S3的长为：a-8，宽为：b-6，故S3=（a-8）（b-6），

∵2S3+S1-S2=2，

∴2（a-8）（b-6）+2（b-8）-（14-a）（12-b）=2，

∴2（ab-6a-8b+48）+2b-16-（168-14b-12a+ab）=2，

∴ab-88=2，

∴ab=90.

故答案为：A.

【分析】设长方形ABCD的长为a，宽为b，则由已知及图形可求出S1、S2、S3的长，宽及面积，再结合2S3+S1-S2=2，可整体求出ab的值，即得长方形的面积.

9．【答案】

【知识点】整式的混合运算

【解析】【解答】解：原式=3a2-2a2+a=a2+a.

故答案为：a2+a

【分析】利用单项式乘以多项式的法则，先去括号，再合并同类项.

10．【答案】17

【知识点】整式的混合运算

【解析】【解答】解：展开原式=x4-3x3+nx2+mx3-3mx2+mnx-8x2+24x-8n；

合并同类项，得=x4+（m-3）x3+（n-3m-8）x2+（mn+24）x-8n；

由题意可得，则n=17.

故答案为17.

【分析】展开原式，并根据题意得到方程组.

11．【答案】

【知识点】整式的混合运算

【解析】【解答】解：设P的千位数为m，十位数为n，由题意得P=1000m+100（m-3）+10n+n-2，

∵能被9整除，

∴m+m-3+n+n-2=2m+2n-5可以被9整除，

∵3≤n≤9，4≤m≤9，

当2m+2n-5=9时，m+n=7，

∴m=4，n=3，

∴P=4131，

∴=-2，

当2m+2n-5=18时，m+n=11.5，不合题意；

当2m+2n-5=27时，m+n=16，

∴m=9，n=7，故P=9675，则=-1，

m=8，n=8，故P=8586，则=-3，

m=7，n=9，故P=7497，则=-5，

∴的最大值是-1，

故答案为：-1

【分析】设P的千位数为m，十位数为n，先根据整式的加减结合整式的除法进行分类讨论，进而得到P的值即可得到。

12．【答案】a=2b

【知识点】整式的混合运算；多项式的项和次数

【解析】【解答】解：如图，

左上角阴影部分的长为AE，宽为AF=2b，右下角阴影部分的长为PC，宽为CG=a，

∵AD=AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=3b+PC，AD=BC，

∴AE+a=3b+PC，即AE-PC=3b-a，

∴阴影部分的面积差为S=AE·AF-PC·CG=2b·AE-a·PC=2b（3b-a+PC）-aPC=（2b-a）PC+6b2-2ab，

∵S始终保持不变，

∴2b-a=0，

∴a=2b.

故答案为：a=2b.

【分析】左上角阴影部分的长为AE，宽为AF=2b，右下角阴影部分的长为PC，宽为CG=a，由AD=BC可得AE-PC=3b-a，进而表示出左上角与右下角的面积，求出其差，由差与BC无关可得a与b的关系式.

13．【答案】（1）解：

（2）解：

【知识点】整式的混合运算

【解析】【分析】（1）根据积的乘方、幂的乘方法则可得原式=8x6y3·(-7xy2)÷14x4y3，然后根据单项式与单项式的乘除法法则进行计算；

（2）根据多项式与多项式的乘法法则、合并同类项法则以及多项式与单项式的除法法则进行计算.

14．【答案】解：原式=3x2y-（2xy-2xy+3x2y+xy）=3x2y-2xy+2xy-3x2y-xy=-xy

当x＝3，时，

原式=

【知识点】利用整式的加减运算化简求值

【解析】【分析】先去括号（括号前的数要与括号里的每一项相乘，不能漏乘；括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号），再合并同类项（同类项才能合并），然后将x、y的值代入化简后的代数式求值即可.

15．【答案】解：

=3x2+2mx-x+1+2x2-mx+5-5x2+4mx+6x

它的值与x的取值无关，

，

当时，

【知识点】整式的加减运算；利用整式的加减运算化简求值

【解析】【分析】先根据整式加法法则计算题干给出的第一个多项式，进而由该式的值与x的取值没有关系可得含x项的系数为0，从而可得关于字母m的方程，求解得出m的值，最后将待求式子根据整式加法法则计算化简后代入m的值计算即可得出答案.

16．【答案】解：由题意，得：初中部的学生人数为：，

小学部的学生人数为，

，

∴该县直学校初中部比小学部多名学生.

【知识点】整式的混合运算

【解析】【分析】根据排数乘以每排的人数结合多项式乘以多项式的法则分别算出初中部与小学部的人数，最后再根据整式的减法运算方法求差即可.

17．【答案】（1）11

（2）100y+x

（3）解：∵a表示一个两位数，b表示一个三位数，

∴把a放在b的左边组成一个五位数m＝1000a+b，

把b放在a的左边100b+a，

∴m﹣n＝（1000a+b）