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第六讲不定积分概念与换元积分法1不定积分概念与性质2凑微分法(第一换元积分法)3第二换元积分法1/56例定义：1、原函数与不定积分概念2/56原函数存在定理：简言之：连续函数一定有原函数.问题：(1)原函数是否唯一？例（为任意常数）(2)若不唯一它们之间有什么联系？3/56有关原函数说明：（1）若，则对于任意常数，（2）若和都是原函数，则（为任意常数）证（为任意常数）4/56任意常数积分号被积函数不定积分定义：被积体现式积分变量5/56例1求解解例2求6/56例3设曲线通过点（1，2），且其上任一点处切线斜率等于这点横坐标两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为7/56显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分定义，可知结论：微分运算与求不定积分运算是互逆.8/56实例启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆，因此能够根据求导公式得出积分公式.1.2基本积分表9/56基本积分表

是常数);说明：简写为10/5611/5612/56例4求积分解根据积分公式（2）13/56证等式成立.（此性质可推广到有限多种函数之和情况）1.3不定积分性质14/56例5求积分解15/56例6求积分解16/56例7求积分解17/56例8求积分解说明：以上几例中被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.18/56解所求曲线方程为19/56基本积分表(1)不定积分性质原函数概念：不定积分概念：求微分与求积分互逆关系小结20/56问题？处理办法利用复合函数，设置中间变量.过程令2、第一类换元法21/56在一般情况下：设则假如（可微）由此可得换元法定理22/56第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式关键在于将化为观测重点不一样，所得结论不一样.定理123/56例1求解（一）解（二）解（三）24/56例2求解一般地25/56例3求解26/56例4求解27/56例5求解28/56例6求解29/56例7求解30/56例8求解31/56例9求原式32/56例10求解33/56例11求解说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.34/56例12求解35/56例13求解（一）（使用了三角函数恒等变形）36/56解（二）类似地可推出37/56解例14设求.令38/56例15求解39/56问题处理办法变化中间变量设置办法.过程令（应用“凑微分”即可求出成果）3、第二类换元法40/56证设为原函数,令则则有换元公式定理241/56第二类积分换元公式42/56例16求解令43/56例17求解令44/56例18求解令45/56说明(1)以上几例所使用均为三角代换.三角代换目标是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中具有可令可令可令46/56积分中为了化掉根式是否一定采取三角代换（或双曲代换）并不是绝正确，需根据被积函数情况来定.说明(3)例19求（三角代换很繁琐）令解47/56例20求解令48/56说明(4)当分母阶较高时,可采取倒代换例21求令解49/56例22求解令（分母阶较高）50/5651/56说明(5)当被积函数具有两种或两种以上根式时，可采取令（其中为各根指数最小公倍数）