2021-2023年高考数学真题分类汇编（全国通用）：立体几何（选择题、填空题）（理）（教师版含解析）

专题05立体几何（选择题、填空题）（理）知识点目录知识点1：三视图知识点2：空间几何体表面积、体积、侧面积知识点3：空间直线、平面位置关系的判断知识点4：线线角、线面角、二面角知识点5：外接球、内切球问题知识点6：立体几何中的范围与最值问题及定值问题近三年高考真题知识点1：三视图1．（2023•乙卷（理））如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为A．24 B．26 C．28 D．30【答案】【解析】根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体是由两个直四棱柱组成的几何体．如图所示：故该几何体的表面积为：．故选：．2．（2022•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：，则该几何体的体积（单位：是A． B． C． D．【答案】【解析】由三视图可知几何体是上部为半球，中部是圆柱，下部是圆台，所以几何体的体积为：．故选：．3．（2021•北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为A． B． C． D．【答案】【解析】由三视图还原原几何体如图，底面，，，则是边长为的等边三角形，则该四面体的表面积为．故选：．4．（2021•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：，则该几何体的体积（单位：是A． B．3 C． D．【答案】【解析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为直四棱柱，底面四边形为等腰梯形，其中，由三视图可知，延长与相交于一点，且，且，，，等腰梯形的高为，则该几何体的体积．故选：．知识点2：空间几何体表面积、体积、侧面积5．（2023•乙卷（理））已知圆锥的底面半径为，为底面圆心，，为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为A． B． C． D．【答案】【解析】根据题意，设该圆锥的高为，即，取的中点，连接、，由于圆锥的底面半径为，即，而，故，同时，中，，为的中点，则有，又由的面积等于，即，变形可得，而，则有，解可得，故该圆锥的体积．故选：．6．（2022•新高考Ⅰ）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为A． B． C． D．【答案】【解析】，，根据题意，增加的水量约为．故选：．7．（2022•北京）已知正三棱锥的六条棱长均为6，是及其内部的点构成的集合．设集合，则表示的区域的面积为A． B． C． D．【答案】【解析】设点在面内的投影为点，连接，则，所以，由，知表示的区域是以为圆心，1为半径的圆，所以其面积．故选：．8．（2023•天津）在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为A． B． C． D．【答案】【解析】在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，所以，设到平面的距离，到平面的距离，则，则三棱锥的体积为．故三棱锥和三棱锥的体积之比为．故选：．9．（2023•甲卷（理））在四棱锥中，底面为正方形，，，，则的面积为A． B． C． D．【答案】【解析】解法一：四棱锥中，底面为正方形，又，，根据对称性易知，又底面正方形得边长为4，，在中，根据余弦定理可得：，又，，在中，由余弦定理可得：，，的面积为．解法二：如图，设在底面的射影为，连接，设，，且，则，或，易知，又，则根据最小角定理（三余弦定理）可得：，或，或，或，或，又，，，，，，再根据最小角定理可得：，，又，，的面积为．故选：．10．（多选题）（2023•新高考Ⅱ）已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，则A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为 C． D．的面积为【答案】【解析】取中点，则，，由二面角的定义可知，二面角的平面角即为，对于，中，由于，，则，，则，，选项正确．对于，，选项错误．对于，，选项正确．对于，，，选项错误．故选：．11．（2022•天津）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为A．23 B．24 C．26 D．27【答案】【解析】如图，该组合体由直三棱柱和直三棱柱组成，且为正方形，设重叠后的与交点为，作于，因为，，所以，，，方法①：四个形状相同的三棱锥、，、的体积之和，加上正四棱锥的体积：在直三棱柱中，平面，则，由可得平面，正四棱锥的高等于的长，，，该组合体的体积；方法②：两个直三棱柱体积相加，再减去重叠部分（正四棱锥的体积：在直三棱柱中，平面，则，由可得平面，正四棱锥的高等于的长，，，该组合体的体积．故选：．12．（2021•新高考Ⅰ）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为A．2 B． C．4 D．【答案】【解析】由题意，设母线长为，因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，则有，解得，所以该圆锥的母线长为．故选：．13．（多选题）（2022•新高考Ⅱ）如图，四边形为正方形，平面，，．记三棱锥，，的体积分别为，，，则A． B． C． D．【答案】【解析】设，，，如图所示，连接交于点，连接、，则，，，故，，故、正确，、错误．故选：．14．（2021•新高考Ⅱ）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为A． B． C． D．【答案】【解析】解法一：如图为正四棱台，，，．在等腰梯形中，过作，可得，．连接，，，，过作，，，正四棱台的体积为：．解法二：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，该棱台的记，下底面面积，上底面面积，则该棱台的体积为：．故选：．15．（2023•新高考Ⅱ）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为．【解析】如图所示，根据题意易知△，，又，，，又上下底面正方形边长分别为2，4，所得棱台的体积为．故答案为：28．16．（2023•新高考Ⅰ）在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为．【解析】如图，设正四棱台的上下底面中心分别为，，过作，垂足点为，由题意易知，又，，又，，该四棱台的体积为．故答案为：．17．（2022•上海）已知圆柱的高为4，底面积为，则圆柱的侧面积为．【答案】．【解析】因为圆柱的底面积为，即，所以，所以．故答案为：．知识点3：空间直线、平面位置关系的判断18．（2023•上海）如图所示，在正方体中，点为边上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是A． B． C． D．【答案】【解析】对于，当是的中点时，与是相交直线；对于，根据异面直线的定义知，与是异面直线；对于，当点与重合时，与是平行直线；对于，当点与重合时，与是相交直线．故选：．19．（2022•上海）如图正方体中，、、、分别为棱、、、的中点，联结，．空间任意两点、，若线段上不存在点在线段、上，则称两点可视，则下列选项中与点可视的为A．点 B．点 C．点 D．点【答案】【解析】线段上不存在点在线段、上，即直线与线段、不相交，因此所求与可视的点，即求哪条线段不与线段、相交，对选项，如图，连接、、，因为、分别为、的中点，易证，故、、、四点共面，与相交，错误；对、选项，如图，连接、，易证、、、四点共面，故、都与相交，、错误；对选项，连接，由选项分析知、、、四点共面记为平面，平面，平面，且平面，点，与为异面直线，同理由，选项的分析知、、、四点共面记为平面，平面，平面，且平面，点，与为异面直线，故与，都没有公共点，选项正确．故选：．20．（2022•上海）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为A．0 B．2 C．4 D．12【答案】【解析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，每天0点至12点（包含0点，不含12点），相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2，故选：．21．（2021•浙江）如图，已知正方体，，分别是，的中点，则A．直线与直线垂直，直线平面 B．直线与直线平行，直线平面 C．直线与直线相交，直线平面 D．直线与直线异面，直线平面【答案】【解析】连接，如图：由正方体可知，，平面，，由题意知为△的中位线，，又平面，平面，平面．对；由正方体可知与平面相交于点，平面，，直线与直线是异面直线，、错；，不与平面垂直，不与平面垂直，错．故选：．22．（多选题）（2021•新高考Ⅱ）如图，下列正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是A． B． C． D．【答案】【解析】对于，设正方体棱长为2，设与所成角为，则，不满足，故错误；对于，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，则，0，，，0，，，0，，，1，，，0，，，，，，满足，故正确；对于，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，则，2，，，2，，，1，，，0，，，0，，，，，，满足，故正确；对于，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，则，2，，，0，，，1，，，1，，，，，，0，，，不满足，故错误．故选：．知识点4：线线角、线面角、二面角23．（2023·北京·统考高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】如图，过做平面，垂足为，过分别做，，垂足分别为，，连接，

由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为和，所以.因为平面，平面，所以，因为，平面，，所以平面，因为平面，所以，.同理：，又，故四边形是矩形，所以由得，所以，所以，所以在直角三角形中，在直角三角形中，，，又因为，所有棱长之和为.故选：C24．（2023•乙卷（理））已知为等腰直角三角形，为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线与平面所成角的正切值为A． B． C． D．【答案】【解析】如图，取的中点，连接，，则根据题意易得，，二面角的平面角为，，，且，平面，又平面，平面平面，在平面内的射影为，直线与平面所成角为，过作垂直所在直线，垂足点为，设等腰直角三角形的斜边长为2，则可易得，，又，，，，．故选：．25．（2022•浙江）如图，已知正三棱柱，，，分别是棱，上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则A． B． C． D．【答案】【解析】正三棱柱中，，正三棱柱的所有棱长相等，设棱长为1，如图，过作，垂足点为，连接，则，与所成的角为，且，又，，，，与平面所成的角为，且，，，①，再过点作，垂足点为，连接，又易知底面，底面，，又，平面，二面角的平面角为，且，又，，，，，②，又，，③，由①②③得，又，，，，在，单调递增，，故选：．26．（多选题）（2022•新高考Ⅰ）已知正方体，则A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为 C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面所成的角为【答案】【解析】如图，连接，由，，得四边形为平行四边形，可得，，直线与所成的角为，故正确；，，，平面，而平面，，即直线与所成的角为，故正确；设，连接，可得平面，即为直线与平面所成的角，，直线与平面所成的角为，故错误；底面，为直线与平面所成的角为，故正确．故选：．知识点5：外接球、内切球问题27．（2021•天津）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为A． B． C． D．【答案】【解析】如图，设球的半径为，由题意，，可得，则球的直径为4，两个圆锥的高之比为，，，由直角三角形中的射影定理可得：，即．这两个圆锥的体积之和为．故选：．28．（2021•新高考Ⅱ）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为，半径为的球，其上点的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，该卫星信号覆盖地球表面的表面积（单位：，则占地球表面积的百分比约为A． B． C． D．【答案】【解析】由题意，作出地球静止同步卫星轨道的左右两端的竖直截面图，则，那么；卫星信号覆盖的地球表面面积，那么，占地球表面积的百分比为．故选：．29．（2022•新高考Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是A．， B．， C．， D．，【答案】【解析】如图所示，正四棱锥各顶点都在同一球面上，连接与交于点，连接，则球心在直线上，连接，设正四棱锥的底面边长为，高为，在中，，即，球的体积为，球的半径，在中，，即，，，，又，，该正四棱锥体积，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，（4），又，，且，，即该正四棱锥体积的取值范围是，，故选：．30．（2022•新高考Ⅱ）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A． B． C． D．【答案】【解析】当球心在台体外时，由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为，下底面所在平面截球所得圆的半径为，如图，设球的半径为，则轴截面中由几何知识可得，解得，该球的表面积为．当球心在台体内时，如图，此时，无解．综上，该球的表面积为．故选：．31．（2021•甲卷（理））已知，，是半径为1的球的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为A． B． C． D．【答案】【解析】因为，，所以底面为等腰直角三角形，所以所在的截面圆的圆心为斜边的中点，所以平面，在中，，则，在中，，故三棱锥的体积为．故选：．32．（多选题）（2023•新高考Ⅰ）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有A．直径为的球体 B．所有棱长均为的四面体 C．底面直径为，高为的圆柱体 D．底面直径为，高为的圆柱体【答案】【解析】对于，棱长为1的正方体内切球的直径为，选项正确；对于，如图，正方体内部最大的正四面体的棱长为，选项正确；对于，棱长为1的正方体的体对角线为，选项错误；对于，如图，六边形为正六边形，，，，，，为棱的中点，高为0.01米可忽略不计，看作直径为1.2米的平面圆，六边形棱长为米，，所以米，故六边形内切圆直径为米，而，选项正确．故选：．33．（2023•甲卷（理））在正方体中，，分别为，的中点，则以为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为．【答案】12．【解析】在正方体中，，分别为，的中点，设正方体中棱长为2，中点为，取，中点，，侧面的中心为，连接，，，，，如图，由题意得为球心，在正方体中，，，则球心到的距离为，球与棱相切，球面与棱只有一个交点，同理，根据正方体的对称性可知，其余各棱和球面也只有一个交点，以为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12．